Контрольные задания для проверки остаточных знаний студентов по модулям I

ВАРИАНТ 1

1. Если а и b – различные действительные числа (а < b), то числовое множество обозначается в виде:

1) [ a,b ]; 2){ a,b }; 3) (a,b); 4) (-¥,+ ¥).

2. Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству А и множеству В одновременно, называется:

1) пересечением множеств А и В и обозначается А Ç В;

2) объединением множеств А и В и обозначается А È В;

3) разностью множеств А и В и обозначается А \ В;

4) декартовым произведением двух множеств А и В и обозначается А ´ В.

3. Укажите множество А = В \ С, которое является разностью множеств В ={10, 12, 16, 19, 21} и С ={10, 16, 21}:

1) А={10, 12, 16, 19, 21}; 3) А={10, 16, 21};

2) А={12, 19}; 4) А=Æ.

4. Запишите для множеств А, В и С свойство ассоциативности пересечения.

5. А – множество прямоугольников, В – множество правильных многоугольников, С – множество треугольников. Постройте круги Эйлера для данных множеств и отметьте штриховкой область, изображающую множество .

6. У кажите характеристическое свойство элементов множества Y=K Ç L \ ,

если K ={ x/ x Î R, x <4}, L ={ x/ x Î R, -5< x <40}, M ={ x/ x Î R, x ³ 0}.

7. Из 80 школьников 40 играют в футбол, а 50 – в волейбол. Каким может быть число школьников, играющих в обе игры? Хотя бы в одну из игр?

8. Проиллюстрируйте на кругах Эйлера, что для любых множеств А и В верно равенство: (А \ В)È(А Ç В)= А.

9. Изобразите на координатной плоскости А ´ В, если А =(-3;3], В =(1;3).

10. Правило суммы в комбинаторике для двух непересекающихся множеств формулируется как:

1) n (А È В)= n (A)· n (B);

2) n (А È В)= n (A)+ n (B)- n (А Ç В);

3) n (А È В)= n (A) n (B)- n (А È В);

4) n (А È В)= n (A)+ n (B);

11. m! обозначает:

1) произведение всех целых чисел;

2) произведение всех натуральных чисел от 1 до m;

3) сумму всех натуральных чисел от 0 до m;

4) произведение всех неотрицательных целых чисел.

12. Упорядоченные k -элементные множества, составленные из элементов m -элементного множества X, называются:

1) размещениями с повторениями;

2) сочетаниями без повторений;

3) перестановками без повторений;

4) размещениями без повторений.

13. На тарелке лежат 5 яблок и 4 груши. Сколькими способами можно выбрать один плод?

1) 14 способами; 3) 5 способами;

2) 20 способами; 4) 4 способами.

14. Сочетания без повторений из m по k вычисляются по формуле:

1) m × k; 2) m^k; 3) ; 4) .

15. Сколькими способами из 10 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек?

16. Найдите значение выражения: .

17. Вычислите: .

18. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4 при условии, что каждая цифра входит в пятизначное число только один раз?

19. Перечислите свойства, входящие в содержание понятия «прямоугольник».

20. Высказывание «если А, то В» называется:

1) конъюнкцией высказываний А и В;

2) дизъюнкцией высказываний А и В;

3) импликацией высказываний А и В;

4) эквиваленцией высказываний А и В.

21. Дизъюнкция двух высказываний А и В ложна тогда и только тогда, когда:

1) А – «И», В – «Л»; 3) А – «И», В – «И»;

2) А – «Л», В – «И»; 4) А – «Л», В – «Л».

22. Сформулируйте правило заключения и приведите пример умозаключения, которое построено по этому правилу.

23. Составьте таблицу истинности для высказывания: (ĀÚВ)ÞС.

24. Даны предикаты A (x): «x > 3» и B (x): «x < 4». Найдите множество истинности Т _А_Ù_В предиката А (x)Ù В (x).

25. Между элементами множеств Х =(1, 2, 3, 4, 5) и Y =(1, 4, 6) задано соответствие Р – «х < y», причем х Î Х, y Î Y. Постройте график соответствия Р.

26. Если отношение R на множестве X транзитивно и антисимметрично, то R является отношением:

1) строгого порядка; 3) нестрогого порядка;

2) эквивалентности; 4) биективным.

27. Докажите, что множество натуральных чисел равномощно множеству нечетных натуральных чисел.

28. Является ли отношение «больше», заданное на множестве натуральных чисел, отношением эквивалентности?

29. В каком случае классификация выполнена верно:

1) множество всех треугольников можно разбить на остроугольные, тупоугольные и прямоугольные;

2) множество всех треугольников можно разбить на классы равнобедренных, равносторонних и разносторонних треугольников;

3) натуральные числа делятся на однозначные, двузначные и трехзначные;

4) параллелограммы могут быть прямоугольниками, квадратами и ромбами.

30. Является ли отношение «выражения х и у имеют одинаковое числовое выражение» на множестве числовых выражений отношением эквивалентности? На какие классы разбивает это отношение заданное множество числовых выражений.

31. Перечислите свойства множества целых неотрицательных чисел N ₀.

32. С помощью метода математической индукции докажите, что для любого целого неотрицательного числа n выражение (4 ⁿ +15 n -1) делится на 9.

33. Докажите методом математической индукции, что для любого натурального числа .

34. При делении чисел a, b и c на 7 получаются остатки 1, 4 и 5 соответственно. Какой остаток при делении на 7 дает число a+b+c?

1) 6; 2) 3; 3) 0; 4) 7.

35. Правила деления суммы на число и разности на число.

36. Решите задачу и обоснуйте выбор действий, используя терминологию: а) теоретико-множественную; б) принятую в начальном курсе математики.

Для школьного сада привезли 24 саженца яблонь и 6 саженцев груш. Их посадили поровну в 6 рядов. Сколько саженцев посадили в каждом ряду?

37. Решите различными способами приведенную ниже задачу. Дайте к ней наиболее целесообразную графическую иллюстрацию:

Мост через реку имеет три пролета. Длина первого пролета 24 м. Третий пролет на 12 м длиннее первого, а второй на 7 метров короче первого. Найдите длину моста

38. Запишите число 6455 в восьмеричной системе счисления:

1) 14467₈; 2) 1256₈; 3) 5562₈; 4) 27233₈.

39. Запишите число 1876₉ в двоичной системе счисления:

1) 1000101₂; 3) 10110100110₂;

2) 10000011₂; 4) 1011₂.

40. Найдите значение выражения (41213₆:45₆):

1) 513₆; 2) 123_6; 3) 23₆; 4) 502₆.

41. Число тогда и только тогда делится на 9, когда:

1) произведение его цифр делится на 9;

2) сумма его цифр делится на 9;

3) последние две цифры образуют число, делящееся на 9;

4) если оно оканчивается нечетной цифрой.

42. Не выполняя сложения, установите, делится ли на 36 сумма: 1872+23152.

43. Докажите, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число нечетное.

44. Множество N ₀ разбивается на попарно непересекающиеся подмножества:

1) числа простые и составные;

2) числа простые, составные и 0;

3) простые, составные и 1;

4) простые, составные, 1 и 0.

45. Простых чисел в промежутке от 1 до 35 всего:

1) 25; 2)11; 3)12; 4)13.

46. Каноническим разложением числа 84 является:

1) 2³×3×7; 2)4×21; 3)2²×3×7; 4)2×42.

47. НОК для чисел 5, 14 и 35 равно:

1) 70; 2)35; 3)140; 4)210.

48. Найдите все числа вида , делящиеся на 25:

1) 51730, 51710, 51780; 3) 25;

2) 517700; 4) 51700, 51725, 51750, 51775.

49. В чем заключается алгоритм Евклида?

50. Определите, какие из чисел 471, 247 и 253 являются простыми, а какие составными?

51. Найдите НОД(а,b) и НОК (а,b) чисел а =548 и b =2466, представив их в каноническом виде.

52. Найдите НОД(а,b) чисел а =548 и b =2466 с помощью алгоритма Евклида.

53. На новогодней елке ребята получили одинаковые подарки. Во всех подарках было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на елке?

54. Изобразить на координатной прямой решение уравнения .

55. Вычислить 18 + 16 – .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

56. Решите уравнение .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

57. Найдите произведение .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

58. Выполните деление .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

59. Найдите значение выражения .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

60. Сократите дробь .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

61. Сравните и .

1) >; 2) <; 3) =; 4) ³.

62. Представьте в виде несократимой обыкновенной дроби 6,2(7).

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

63. Сравните и .

1) >; 2) <; 3) =; 4) .

64. Выполните сложение .

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

65. Запишите коммутативный закон сложения положительных рациональных чисел и докажите его.

66. Докажите, что: .

67. В трех цехах завода работает 2740 человек. Во втором цехе работает на 140 человек больше, чем в первом, а в третьем цехе – в 1,2 раза больше, чем во втором. Сколько человек работает в каждом цехе?

68. Докажите, что если дробь сократима, то дробь тоже сократима.

69. Найдите пересечение и объединение множества натуральных чисел и множества положительных действительных чисел.

70. Найдите значение выражения .

71. Каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения:

72. Найдите приближенное значение суммы х + y, разности х – y, произведения х·y, частного х: y, с двумя верными десятичными знаками после запятой, если х = 0,666…, у = 0, 57079…

73. Вычислите результат с точностью до сотых 4, 723 + .