Отношения между множествами

Как в практической жизни, так и в теоретических рассуждениях часто приходится выбирать из нескольких множеств элементы и образовывать из них новые множества, устанавливать различные отношения между имеющимися множествами.

Особый интерес представляют отношения между множествами, имеющими одинаковую природу элементов.

I. Отношение нестрогого включения.

Рассмотрим пример. Пусть А – множество всех учащихся данного класса, В – множество учащихся этого класса, которые успевают по всем предметам.

Выясним зависимость между принадлежностью одного и того же элемента множествам А и В.

Известно, что х Î В. Можно ли утверждать, что х Î А? (Да). Может ли быть, что х Î В, но х Ï А? (Нет, не может).

Заметим, что каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что В является подмножеством (частью) множества А.

Определение. Если каждый элемент множества В является элементом множества А, то множество В называют подмножеством множества А. Обозначается это так: В А. (Символ обозначает отношение нестрогого включения).

В этом случае говорят также, что множество В включается в множество А, или множество А включает множество В, а также, что множества А и В находятся в отношении нестрогого включения.

П р и м е р ы.

1) Множество учащихся некоторого класса, изучающих английский язык, является подмножеством множества всех учащихся этого класса;

2) Множество книг по математике в некоторой библиотеке является подмножеством множества книг этой библиотеки;

3) Множество прямоугольников включается в множество параллелограммов.

Чтобы наглядно изображать множества и отношения между множествами рисуют геометрические фигуры, которые находятся между собой в этих отношениях.

Изображение множеств с помощью множеств точек плоскости, ограниченных замкнутыми кривыми, называется диаграммой Эйлера-Венна[1]. На рис. 1 дана диаграмма Эйлера-Венна для случая, когда В А.

А

В

Рис. 1

Свойства отношения нестрогого включения.

1°. Всякое множество А есть подмножество самого себя т.е. для всякого А верно А А.

2°. Для любых множеств А, В, С, если А В и В С, то А С. Очевидно, что часть части данного множества всегда является его частью.

3°. Пустое множество считается подмножеством любого множества А:

Æ А.

II. Отношение равенства.

Отношение равенства является частным случаем нестрогого включения.

Определение. Множества А и В, состоящие из одних и тех же элементов, называют равными.

Равенство множеств обозначают так: А = В. Из определения равенства множеств следует, что важен лишь состав множества, и не существенен порядок следования элементов множества.

Например, множества А = { а, в, с }, В = { в, а, с }, С = { с, а, в } равны между собой.

П р и м е р ы.

1) А = {1, 2², 3², 4²} и В = {1, , , }.

Эти множества равны, т. к. они состоят из чисел 1, 4, 9, 16.

2) А – множество ромбов с прямыми углами;

В – множество квадратов. А = В.

Равенство множеств характеризуется тремя свойствами (этими свойствами обладает и отношение равенства чисел).

1°. Для всякого множества А справедливо А = А.

2°. Для любых двух множеств А, В, если А = В, то В = А.

3°. Для любых 3-х множеств А, В, С, если А = В и В = С, то А = С.

Заметим, что очевидно А = В тогда и только тогда, когда  и .

III. Отношение строгого включения.

Если в отношении «множество В является подмножеством множества А» () хотят подчеркнуть, что А содержит и другие элементы, кроме элементов из В, то говорят, что В строго включено в А или является правильной частью множества А.

Определение. Если каждый элемент множества В является элементом множества А, и в А существует хотя бы один элемент не принадлежащий множеству В, то множество В строго включается в множество А. Обозначается .

Множество В в этом случае называется собственным подмножеством множества А, т.е.  если  и .

Так, например, N Ì Z, Z Ì Q, Q Ì R.