В ходе изучения выделенных модулей программы допустим вариативный подход. Этот подход может быть распространен, прежде всего, на последовательность изучения отдельных тем внутри модуля. Однако при всяком обоснованном творческом подходе к изменению структуры предлагаемого программой материала следует сохранять примерное число часов, рекомендуемых для изучения отдельных тем.
Уровень строгости и методы изучения разделов программы различны, причем строгость их изложения нельзя считать самоцелью.
Целью изучения модуля «Общие понятия» является формирование понятий, применяемых при рассмотрении остальных модулей курса, в первую очередь модуля «Целые неотрицательные числа». К их числу относятся понятия множества, отношения, некоторые логические понятия, а также представления об алгоритмах.
Изучение этого модуля целесообразно разделить на темы: «Множества и операции над ними», «Соответствия», «Элементы комбинаторики», «Математические утверждения и их структура», «Алгоритмы».
Понятие бесконечного множества в этом разделе используется без определения. Законы операций над множествами иллюстрируются при помощи кругов Эйлера и доказываются на основе «принципа объемности». При изучении числовых множеств необходимо обобщить знания студентов о координатной прямой, координатной плоскости, обратить внимание на роль координатного метода при решении задач.
В начальных классах происходит знакомство учащихся с самыми разнообразными отношениями между различными объектами, с зависимостью между величинами. Познакомить студентов с общим понятием отношения, научить их классифицировать отношения, определять их свойства – задачи изучения темы «Соответствия». При этом следует учесть, что связь бинарного отношения, заданного на множестве, с разбиением этого множества на классы необходимо уметь доказывать в виде теоремы и иллюстрировать на примерах.
Элементы комбинаторики изучаются с опорой на теоретико-множественные понятия, причем среди задач, решаемых на практических занятиях, должны быть и задачи комбинаторного характера из учебников математики для начальных классов.
Тема «Математические утверждения и их структура» включает материал, изучение которого должно способствовать совершенствованию логической грамотности студентов. Здесь рассматривается логическая структура различных предложений и простейших рассуждений, используемых в математике. Изучая вопросы, связанные с определением понятий, необходимо проанализировать структуру основных определений, встречающихся как в курсе математики, так и в других предметах начальной школы, а также выполнить и теоретически обосновать решения всех задач на распознавание фигур и других объектов из учебников математики начальных классов.
При изучении темы «Алгоритмы» среди задач, решаемых на практических занятиях, должны быть задачи из учебников математики для начальных классов (к примеру, из учебников Л.Г. Петерсон).
Изучение тем первого модуля может проходить и в другой последовательности. Например, после темы «Множества и операции над ними» может быть рассмотрена тема «Математические утверждения и их структура», затем тема «Соответствия» и, наконец, тема «Алгоритмы».
Материал второго модуля программы «Целые неотрицательные числа» важен как в профессиональном отношении, так и в плане математического развития студентов – при изучении данного раздела студенты углубляют свои знания о различных подходах к числу и знакомятся с примером аксиоматического построения теории. Изучение этого модуля целесообразно начать с аксиоматического построения множества целых неотрицательных чисел. После этого рассматривается теоретико-множественное построение множества целых неотрицательных чисел, что больше соответствует тому подходу, который принят в школьном курсе, и, кроме того, создается возможность применения знаний, полученных при изучении первого раздела. Далее рассматривается натуральное число как результат измерения величины.
При изучении темы «Системы счисления» основное внимание должно быть обращено на особенности десятичной системы счисления и алгоритмы действий над числами в этой системе. На основе десятичной системы выводятся алгоритмы арифметических действий и в других позиционных системах счисления.
Различные подходы к числу и операциям над числами, теоретико-множественные и логические понятия, понятия отношения и алгоритма создают основу для осмысленного решения текстовых задач различными способами, а также условия для отработки умения записывать найденное решение в различных формах. Поэтому среди задач, решаемых на практических занятиях в связи с изучением второго раздела, должны быть текстовые задачи, в которых значения величин выражены натуральными числами.
Изучение темы «Делимость чисел» связано с решением двух задач. Первая – дать обоснование тем вопросам, которые необходимы учителю для понимания ряда приемов вычислений, изучаемых в начальных классах, и вторая – обобщить знания студентов о делимости чисел, полученные ими ранее. Эти задачи определяют уровень строгости изучения темы: подробно, с доказательствами рассматриваются свойства отношения делимости, делимости суммы, разности, произведения, признаки делимости. Остальные вопросы могут быть рассмотрены в обзорном порядке, с привлечением примеров. Изучение этой темы создает благоприятные возможности для совершенствования логической грамотности и алгоритмической культуры студентов на основе применения тех понятий курса, которые были ими уже изучены.
Задачи изучения модуля «Расширение понятия числа» – обобщить и углубить знание студентов о целых, рациональных и действительных числах, показать перспективу использования в курсе математики средней школы понятия целого неотрицательного числа и операций над ними. В ходе изучения данного раздела следует обратить внимание на его прикладную направленность – действия с дробями, правила округления и действия с приближенными числами.
Задачей изучения модуля «Функции, уравнения, неравенства» является обобщение знаний студентов, полученных ими в курсе математики средней школы. Обобщение идет на материале тем «Множества и операции над ними» и «Математические утверждения и их структура». Теоремы о равносильности уравнений и неравенств с одной переменной доказываются. Особое внимание должно быть обращено на правильное употребление студентами терминов «числовое выражение», «выражение с переменной», «числовое равенство», «уравнение», «неравенство с переменной». Изучение этого раздела можно включить и в первый раздел.
Важно подчеркнуть, что изучение понятия функции в этом разделе проводится не в абстрактном плане, как это допустимо в первом модуле, например при ознакомлении с понятием множества, отношения и др., а на конкретных примерах, демонстрирующих прикладной, практический характер этого важного понятия.
Основным методом построения графиков функции является метод геометрических преобразований; применяются известные из школы преобразования (параллельный перенос, симметрия, растяжение (сжатие)).
Изучение модуля «Элементы геометрии» имеет целью не только обобщение и систематизацию геометрических знаний и умений, совершенствование определенных навыков (в частности, построения фигур), но и формирование умений определять геометрические понятия, классифицировать их, находить логические ошибки в рассуждениях, определениях, т. е. умений, необходимых учителю начальных классов в его практической деятельности. Этот модуль даст возможность рассмотреть примеры аксиоматического построения теории на основе неопределяемых понятий (точка, прямая и т.д.) и теоретико-множественных отношений между ними, а также показать независимость геометрических понятий от понятий величины и ее измерения.
Далее рассматриваются геометрические задачи на вычисление, доказательство, построение. Задачам на построение уделяется основное учебное время на лекциях и практических занятиях.
Методы изображения фигур на плоскости позволяют не просто вспомнить определения и виды геометрических фигур в пространстве, но и, изучив основные свойства параллельного проектирования, правильно их изображать.
В начальном курсе математики принят физический взгляд на понятие величины – величины рассматриваются как свойства объектов реального мира. В связи с этим в модуле «Величины и их измерение» изучение величин должно проходить на этой же основе. Аксиоматическое определение скалярной величины может быть дано на заключительном этапе изучения данного раздела. Включение в программу таких величин, как масса и время, диктуется целями профессиональной подготовки учителя начальных классов.
При выборе той или иной последовательности изучения тем курса необходимо учитывать распределение часов не только по модулям, но и по семестрам – в каждом из них должна изучаться логически завершенная часть программного материала.
Время на проведение контрольных работ и коллоквиумов включено в число часов, отведенных на проведение практических занятий.
Тематика контрольных работ и коллоквиумов приведена в программе по каждому разделу.
2.4.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ И ЗАДАНИЙ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
1.Операции над множествами. Законы операций над множествами.
2.Отношения на множестве и их свойства.
3.Комбинаторные задачи. Правила суммы и произведения.
4.Способы определения понятий.
5.Суть теоретико-множественного подхода к построению множества целых неотрицательных чисел.
6.Аксиомы Пеано.
7.Натуральное число как результат измерения величин.
8.Понятие системы счисления.
9.Уравнение линии.
10. Величины и их измерение.
2.4.2. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ
1. Декартово произведение множеств.
2. Соответствия и отношения.
3. Отображения и функции.
4. Понятие алгоритма.
5. Основная теорема арифметики.
6. Свойства множества рациональных чисел.
7. Уравнения и неравенства с одной переменной.
8. Понятие геометрической фигуры. Примеры геометрических фигур и их свойства.
9. Основные задачи на построение геометрических фигур.
10. Основные свойства скалярных величин.
2.4.3. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ РАБОТ
1. Комбинаторные задачи в курсе математики начальной школы.
2. Математические утверждения и их структура в начальной математике.
3. Системы счисления, изучаемые в начальной школе.
4. Задачи для младших школьников на простые и составные числа.
5. Простейшие геометрические построения в курсе начальной математики.
6. Технология изучения понятия величины на уроках математики в начальной школе.
