Объем дисциплины и виды учебной работы

Р.В. Канбекова

МАТЕМАТИКА

Учебно-методический комплекс
для бакалавров по направлению подготовки
«050100 – Педагогическое образование.
Профиль: Начальное образование»

Стерлитамак 2012

УДК 51(07) ISBN 978-5-86111-389-2

ББК 221_Я7

К 19

Рецензенты:

доктор философских наук, профессор С.А. Мухамедьянов (Институт развития образования Республики Башкортостан, г. Уфа); доктор педагогических наук, профессор А.В. Дорофеев (Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой); кафедра теории и методики начального образования (Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой); кафедра психологии (Стерлитамакский институт академии ВЭГУ)

Ответственный редактор – доктор педагогических наук, профессор
Римма Валеевна Канбекова (Стерлитамакская государственная
педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой)

К 19	КАНБЕКОВА Р.В. Математика: учебно-методический комплекс для бакалавров по направлению подготовки «050100 – Педагогическое образование. Профиль: Начальное образование». – Уфа: БашГУ; Стерлитамак: Стерлитамак. гос. пед. академия им. Зайнаб Биишевой, 2012. – 208 с. ISBN 978-5-86111-389-2

Учебно-методический комплекс по дисциплине «Математика» составлен в соответствии с основной образовательной программой бакалавриата. В УМК изложены теоретические и методические основы изучения математики будущими учителями начальных классов.

Учебное издание предназначено для студентов и преподавателей высших педагогических учебных заведений, учащихся педагогических училищ и колледжей.

ISBN 978-5-86111-389-2 © Канбекова Р.В., 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ВЫПИСКА ИЗ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА..................... 4

2. УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА............................................................................................................. 5

2.1. ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................................ 5

2.2. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ.................................................... 5

2.3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ.......................................................................................... 5

2.3.1. РАЗДЕЛЫ (МОДУЛИ) ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ................................... 5

2.3.2. МОДУЛИ ДИСЦИПЛИНЫ.......................................................................................... 6

2.4. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ОРГАНИЗАЦИИ ИЗУЧЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ..................................................................................................................... 8

2.4.1. ПЕРЕЧЕНЬ ПРИМЕРНЫХ КОНТРОЛЬНЫХ ВОПРОСОВ
И ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ.............................................. 10

2.4.2. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ К ЭКЗАМЕНУ.......................................... 10

2.4.3. ПРИМЕРНАЯ ТЕМАТИКА КУРСОВЫХ РАБОТ..................................................... 11

2.5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ....................................... 11

2.5.1. СРЕДСТВА ОБЕСПЕЧЕНИЯ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ................................... 11

2.5.2. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ................... 11

3. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА........................................................................................................... 12

3.1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА.......................................................................................... 12

3.2. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН).......................................... 12

3.2.1. ТЕМАТИКА ЛЕКЦИЙ И ТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.................... 14

3.2.2. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ......................................................... 20

3.3. МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ..................................... 20

3.4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ.......................................................... 21

3.5. МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПРОВЕДЕНИЯ ПРОМЕЖУТОЧНЫХ И ИТОГОВЫХ АТТЕСТАЦИЙ
ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ДНЕВНОГО ОТДЕЛЕНИЯ С 1 ПО 3 КУРС...... 22

3.6. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРОВЕРКИ ОСТАТОЧНЫХ ЗНАНИЙ
СТУДЕНТОВ ПО МОДУЛЯМ I–VI.................................................................................... 29

3.7. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ...................... 44

4. ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА»
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ДНЕВНОГО ОТДЕЛЕНИЯ......................................................................... 53

ВЫПИСКА ИЗ ГОСУДАРСТВЕННОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ «050100 – ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ (КВАЛИФИКАЦИЯ (СТЕПЕНЬ) «БАКАЛАВР»)» от 22 декабря 2009 г. № 788

Наименование основной образовательной программы (ОПП) – основная образовательная программа бакалавриата, код квалификации – 62, наименование «бакалавр». Нормативный срок освоения ОПП для очной формы обучения – 4 года, для заочной формы обучения – 5 лет, для заочной сокращенной формы обучения – 3,5 года.

Дисциплина «Математика» включена в перечень дисциплин модуля «Теоретические основы и технологии начального математического образования» вариативной части профессионального цикла ОПП бакалавриата. Код дисциплины Б. 3. В. 3. 1. Коды формируемых компетенций в процессе реализации ОПП бакалавриата при изучении математики:

Общекультурные компетенции (ОК):

− владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения (ОК-1);

− способен анализировать мировоззренческие, социально и личностно значимые философские проблемы (ОК-2);

− способен использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4);

− способен логически верно строить устную и письменную речь (ОК-6);

− готов использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, готов работать с компьютером как средством управления информацией (ОК-8);

Общепрофессиональные (ОПК):

− осознает социальную значимость своей будущей профессии, обладает мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности (ОПК-1);

− способен использовать систематизированные теоретические и практические знания гуманитарных, социальных и экономических наук при решении социальных и профессиональных задач (ОПК-2);

− владеет основами речевой профессиональной культуры (ОПК-3);

− способен нести ответственность за результаты своей профессиональной деятельности (ОПК-4);

− способен к подготовке и редактированию текстов профессионального и социально значимого содержания (ОПК-6);

в области педагогической деятельности:

− способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1);

− готов применять современные методики и технологии, в том числе и информационные, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса на конкретной образовательной ступени конкретного образовательного учреждения (ПК-2);

− способен применять современные методы диагностирования достижений обучающихся и воспитанников, осуществлять педагогическое сопровождение процессов социализации и профессионального самоопределения обучающихся, подготовки их к сознательному выбору профессии (ПК-3);

− способен использовать возможности образовательной среды, в том числе информационной, для обеспечения качества учебно-воспитательного процесса (ПК-4);

− готов включаться во взаимодействие с родителями, коллегами, социальными партнерами, заинтересованными в обеспечении качества учебно-воспитательного процесса (ПК-5);

− способен организовывать сотрудничество обучающихся и воспитанников (ПК-6).

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время обучение математике в начальных классах возможно по различным программам и учебникам. Кроме того, содержание начального математического образования в большей степени, чем это было ранее, направлено на интеллектуальное развитие младших школьников, на формирование культуры и самостоятельности их мышления, на развитие мыслительных операций. В связи с этим учителю начальных классов необходимо владеть технологией обучения, которая обеспечивает развитие детей средствами математики, уметь выбирать наиболее подходящие для данных целей учебники.

Поэтому особую актуальность приобретает получение будущим учителем начальных классов соответствующего математического образования.

Необходимость введения дисциплины «математика» обусловлена тем, что при её изучении осуществляется освоение научных основ того содержания, которое изучается в начальной школе.

Особое место данного курса в профессиональной подготовке обусловлено его значением для формирования творческой деятельности учителя, развития его теоретического мышления, углубления и расширения математической подготовки.

В структуре основной образовательной программы бакалавриата модуль «Теоретические основы и технологии начального математического образования» находится в вариативной части профессионального цикла Б. 3. и занимает одно из ведущих мест, является дисциплиной, изучаемой в течение шести семестров из восьми на очном отделении и в течение девяти семестров из десяти – на заочном отделении. Изучение данного курса тесно связано с предметами: методика обучения математике в начальных классах, математика и информатика, а также с факультативами и спецкурсами.

При изучении математики студентами необходимо наряду с овладением конкретным математическим содержанием, освоение современных идей и технологий обучения младших школьников математике, которые позволят будущему учителю начальных классов грамотно решать вопросы математического развития младших школьников. Освоение представленного в программе содержания предмета создаст условия для интеллектуального развития студентов, для формирования у них представлений об идеях и методах математики, о математике как форме описания и методе познания действительности, как части общечеловеческой культуры. Для достижения этих целей необходима активизация самостоятельной познавательной деятельности студентов и развития у них умений самостоятельной работы. В связи с этим часть лекций (на старших курсах) может носить обзорный, обобщающий характер.

Ведущим принципом, определяющим путь реализации модуля «Теоретические основы и технологии начального математического образования», избран принцип профессионально-педагогической направленности, означающий, что в процессе его изучения у студентов должны формироваться профессиональные умения, необходимые для обучения математике младших школьников.

ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
Общая трудоемкость	396	1-6
Аудиторные занятия	216
Лекции	108
Практические занятия (семинары)	108
Лабораторные занятия	–
Самостоятельная работа	180
Курсовые работы/рефераты
Вид итогового контроля		2 зачета, 2 экзамена

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

2.3.1. РАЗДЕЛЫ (МОДУЛИ) ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ ЗАНЯТИЙ

№ п/п	Разделы (модули) дисциплины	Лекции	Практическое занятие, семинары	Лабораторные работы
1.	Общие понятия	Х	Х	–
2.	Целые неотрицательные числа	Х	Х	–
3.	Расширение понятия о числе	Х	Х	–
4.	Функции, уравнения, неравенства	Х	Х	–
5.	Элементы геометрии	Х	Х	–
6.	Величины и их измерение	Х	Х	–

2.3.2. МОДУЛИ ДИСЦИПЛИНЫ

Раздел (модуль) I. Общие понятия

Тема 1. Множество – основное понятие курса математики

Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Числовые множества. Изображение числовых множеств на числовой прямой. Отношения равенства, строгого и нестрогого включения между множествами. Изображение отношения между множествами при помощи кругов Эйлера. Операции над множествами: пересечение, объединение, вычитание, дополнение до универсального, декартово произведение множеств. Законы операций над множествами. Понятие разбиения множества на классы. Разбиение множества на классы с помощью одного, двух и трех свойств.

Комбинаторные задачи. Правила суммы и произведения. Размещения с повторениями и без повторений, перестановки с повторениями и без повторений. Сочетания без повторений, число подмножеств конечного множества. Первоначальные понятия теории вероятности.

Тема 2. Бинарные отношения и их свойства

Понятие соответствия между элементами двух множеств. Способы задания соответствий. Соответствие, обратное данному. Противоположное соответствие. Отображение множества в множество. Виды отображений. Обратное отображение. Равномощные множества. Мощность множества. Счетные и несчетные множества.

Отношения на множестве, их свойства. Особенности графа и графика отношения. Свойства бинарных отношений между элементами множества. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы. Отношение порядка. Отношение нестрогого порядка. Упорядоченные множества.

Определение алгебраической операции. Свойства алгебраических операций. Обратные операции. Некоторые роды алгебр.

Тема 3. Математические утверждения и их структура

Понятие. Объем и содержание понятия. Определяемые и неопределяемые понятия. Определение понятий. Явные и неявные способы определения понятий. Примеры таких определений из начального курса математики. Требования, предъявляемые к определению понятий.

Высказывания. Элементарные и сложные высказывания. Логические операции над высказываниями (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция). Законы этих операций. Тавтологии. Предикаты. Одноместные и многоместные предикаты. Кванторы. Операции над предикатами. Строение теоремы. Обратная, противоположная и противоположная обратной, теорема. Необходимые и достаточные условия. Способы доказательства теорем. Правильные и неправильные рассуждения. Алгоритмы.

Тема контрольной работы: «Множества и отношения».

Коллоквиум на тему: «Математические утверждения и их структура».

Раздел (модуль) II. Целые неотрицательные числа

Тема 4. Аксиоматическое построение системы целых неотрицательных чисел

Понятие об аксиоматическом методе построения теории. Основные понятия и аксиомы Пеано. Метод математической индукции. Определение сложения, существование и единственность суммы; таблица сложения, законы сложения. Определение умножения, существование и единственность произведения; таблица умножения, законы умножения. Определение вычитания и деления. Невозможность деления на нуль. Деление с остатком. Свойства множества целых неотрицательных чисел. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.

Тема 5. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы –
основной подход к построению множества целых неотрицательных чисел

Неотрицательное целое число как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Смысл отношений «равно», «меньше», «больше». Теоретико-множественный смысл арифметических действий над числами. Законы сложения. Законы умножения. Правила вычитания числа из суммы, числа из разности, суммы, разности и произведения на число.

Натуральное число как результат измерения величины.

Натуральное число как мера отрезка. Определение арифметических действий над числами через свойства аддитивности и мультипликативности.

Тема 6. Теория чисел – основа вычислительных действий

Понятие системы счисления. Непозиционные и позиционные системы счисления. Примеры непозиционных систем счисления. Позиционные системы счисления: запись чисел, арифметические действия. Теорема о возможности записи любого натурального числа в позиционной системе счисления с основанием p. Правило перехода от записи чисел в одной системе к записи в другой. Применение двоичной системы счисления в компьютерах.

Делимость целых неотрицательных чисел. Определение отношения делимости на множестве целых неотрицательных чисел. Свойства отношения делимости. Признаки делимости на 2 и 5; 3 и 9; 4 и 25; в десятичной системе счисления. Признаки делимости в недесятичных позиционных системах счисления. Четыре класса неотрицательных целых чисел. Бесконечность множества простых чисел. Решето Эратосфена. Делитель, общие делители, наибольший общий делитель. Кратные. Общие кратные, наименьшее общее кратное. Основные свойства НОД и НОК чисел. Признак делимости на составное число. Основная теорема арифметики. Нахождение НОД и НОК способом разложения на простые множители. Алгоритм Евклида и его применение.

Тема контрольной работы: «Системы счисления и делимость».

Коллоквиум на тему: «Различные подходы к построению множества целых неотрицательных чисел».

Раздел (модуль) III. Расширение понятия о числе

Тема 7. Расширение множества целых неотрицательных чисел

Задача расширения понятия числа и пути её решения в математике.

Различные подходы к построению множества целых чисел (аксиоматический подход, теоретико-множественный подход, геометрическая трактовка). Арифметические действия над целыми числами.

Свойства множества целых чисел и их геометрическая интерпретация.

Тема 8. Рациональные и действительные числа

Различные подходы к построению множества положительных рациональных чисел (теоретико-множественный подход, число как результат измерения величины). Арифметические действия над рациональными числами. Законы сложения и умножения. Свойства множества рациональных чисел. Десятичные дроби. Алгоритмы арифметических действий над ними. Теорема об обращении обыкновенной дроби в конечную десятичную. Теоремы об обращении обыкновенной дроби в чистую периодическую и бесконечную периодическую десятичную дробь. Правила обращения периодических дробей в обыкновенные дроби.

Понятие иррационального числа. Доказательство существования иррациональных чисел. Запись иррационального числа в виде бесконечной десятичной непериодической дроби. Множество действительных чисел. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел. Значения по недостатку и по избытку любого действительного числа. Правила сложения и умножения действительных чисел. Законы сложения и умножения. Правила вычитания и деления действительных чисел. Свойства множества действительных чисел. Вычисления, связанные с выполнением арифметических действий над действительными числами с помощью микрокалькулятора.

Тема контрольной работы: «Действия над действительными числами».

Коллоквиум на тему: «Рациональные числа и действия над ними».

Раздел (модуль) IV. Функции, уравнения, неравенства

Тема 9. Функции, уравнения, неравенства

Определение числовой функции. Способы задания функций. График функции. Прямая и обратная пропорциональности, линейная, квадратичная функции, их свойства и графики. Дробно-линейная функция, её график.

Числовое выражение и его значение, числовые равенства и неравенства, их свойства. Выражение с переменной, его область определения. Тождественные преобразования выражений. Тождество. Уравнение с одной переменной. Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений. Следствия из этих теорем. Уравнения с двумя переменными. Уравнение линии. Уравнение окружности. Система уравнений с двумя переменными. Способы решения систем. Совокупность уравнений. Решение совокупности двух уравнений с двумя переменными. Решение задач при помощи составления уравнения и системы уравнений.

Неравенство с одной переменной. Теоремы о равносильных неравенствах. Следствия из них. Системы и совокупности неравенств с одной переменной. Графическое решение неравенства и систем неравенств с двумя переменными.

Тема контрольной работы: «Уравнения и неравенства».

Коллоквиум на тему: «Функции и их графики».

Раздел (модуль) V. Элементы геометрии

Тема 10. Геометрические величины, изучаемые в начальной школе,
их определение, свойства и признаки

Система геометрических понятий, изучаемых в школе. Геометрические фигуры, их определения, свойства и признаки. Виды геометрических задач. Задачи на построение. Постулаты построения. Основные задачи на построение, решаемые с помощью циркуля и линейки. Этапы решения задачи на построение (анализ, построение, доказательство, исследование). Методы решения задач на построение (метод геометрических мест, метод геометрических преобразований, алгебраический метод).

Простейшие проекционные методы (метод центральных проекций и метод параллельных проекций). Свойства параллельных проекций. Изображение плоских фигур в параллельной проекции.

Многогранники. Теорема Эйлера о выпуклых многогранниках. Изображение на плоскости призмы, параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса, шара.

Коллоквиум на тему: «Построение геометрических фигур с помощью циркуля и линейки. Изображение фигур на плоскости».

Раздел (модуль) VI. Величины и их измерение

Тема 11. Различные подходы к введению аддитивно-скалярных величин

Величины и их измерение. Понятие величины как особого свойства объектов или явлений.

Основные свойства скалярных величин. Понятие измерения величины. Геометрические величины. Длина отрезка и ее измерение. Основные свойства длины. Площадь фигуры. Способы измерения площадей, фигур. Равновеликие и равносоставленные фигуры. Теорема Бойяи-Гервина о равновеликих многоугольниках.

Понятие объема пространственного тела. Измерение объема тел.

Аксиоматическое определение величины по А.Н. Колмогорову. Аксиоматическое определение величины через область определения по Н.Я. Виленкину. Величины в начальной школе. Единицы измерения величин.

Тема контрольной работы: «Измерение величин».

Коллоквиум на тему: «Различные подходы к определению понятия “величина”».