Задача №1: В течение 10 минут на диспетчерский пункт может поступить 0 вызовов с вероятностью 0,2; 1 вызов с вероятностью 0,2; 2 вызова с вероятностью 0,4; 3 вызова с вероятностью 0,1; 4 вызова с вероятностью 0,1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа вызовов за 10 минут.
Решение: Для решения удобно составить таблицу:
| Число вызовов хi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ∑ |
| Вероятность Pi | 0,2 | 0,2 | 0,4 | 0,1 | 0,1 | 1 |
| xiPi | 0 | 0,2 | 0,8 | 0,3 | 0,4 | 1,7 |
| 2,89 | 0,49 | 0,09 | 1,69 | 5,29 | - |
| 0,578 | 0,098 | 0,036 | 0,169 | 0,529 | 1,41 |
Задача №2. Амплитуда вызванных биопотенциалов мозга (мкВ)х i появилась с частотой mi:
| Амплитуда биопотенциалов (мкВ) (хi) | 2,3 | 4,0 | 7,4 | 4,5 | 6,7 | 10,0 | 9,2 |
| mi | 2 | 6 | 10 | 8 | 4 | 2 | 3 |
Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность, что величина амплитуды вызванного биопотенциала мозга Dφ≤5 мкВ.
Решение
Для нахождения математического ожидания М дискретного ряда распределения используем формулу: 
где х i -значения вариант ряда;
Р i -вероятность (относительная частота появления варианты).
Вероятность Р i -определяем по формуле:
где n -объем выборки, равный 
-частота появления i варианты.
Дисперсию Д определяем по формуле:
Среднее квадратическое отклонение σ определяем по формуле:
Заполним таблицу:
| хi (мкВ) | 2,3 | 4,0 | 7,4 | 4,5 | 6,7 | 10,0 | 9,2 | |
| mi | 2 | 6 | 10 | 8 | 4 | 2 | 3 | 
|
| 0,06 | 0,17 | 0,29 | 0,23 | 0,11 | 0,06 | 0,09 | 
(условие нормировки)
|
| хi Pi | 0,14 | 2,15 | 1,04 | 0,74 | 0,60 | 0,83 | 
| |
| 0,91 | 0,82 | 0,42 | 0,66 | 0,03 | 0,87 | 0,81 | 
|
Определяем среднее квадратическое отклонение σ:
=2,13 (мкВ).
Находим вероятность того, что значение биопотенциала мозга Dφ≤5 мкВ, по формуле:
где х=Dφ≤5 мкВ
Функция распределения от отрицательного параметра (-z) определяется выражением:
Таким образом:
Значение Ф(z) определяется по таблице: “Значения нормальной функции распределения” (см. приложения №3).
Ответ: М=6,2 мкВ; Д=4,52(мкВ)2; σ=2,13 мкВ
Р= 0,2877≈29%
Задача №3. Измерения значений естественного фона ионизирующего излучения в импульсах/сек, полученные с помощью пересчетного прибора, дали следующие результаты:
15 19 20 20 21 23 24 16 27 40 30 31 32
35 25 26 30 30 20 28 26 23 18 12 10
Удовлетворяет ли это распределение распределению Гаусса? Построить графики зависимости экспериментальной вероятности попадания значений в каждый из интервалов Р i и теоретической вероятности Ртеор от средних значений интервалов 
.
Решение: Из полученных результатов составляем вариационный ряд:
10 12 15 16 18 19 20 20 20 21 23 23 24
25 26 26 27 28 30 30 30 31 32 35 40
Все варианты выборки делят в зависимости от числа вариант на нечетное число интервалов, начиная с трех (k=3, 5, 7, 9, 11, …).
Разобъём вариационный ряд на 5 интервалов. Находим шаг интервала 
:
,
где 
-максимальное значение варианты в интервале,
-минимальное значение варианты в интервале.
Тогда 
Верхние границы каждого из интервалов определяется по формуле:
где i =1, 2, 3, 4, 5, (i -номер интервала)
Нижняя граница каждого последующего интервала 
определяется значением верхней границы предыдущего.
Вероятность попадания варианты в данный интервал Р i (экспериментальная вероятность) определяется по формуле:
где 
-число вариант в каждом из интервалов, определяемых по вариационному ряду, исходя из значений нижней и верхней границы интервала.
-обьем выборки, в нашей задаче равный 25.
Среднее значение интервала определяем по формуле:
где 
-сумма значений вариант в интервале.
Математическое ожидания М определяем по формуле:
,
Дисперсию Д определяется по формуле:
,
Среднее квадратическое отклонение 
Учитывая все вышеуказанное, заполняем таблицу №1.
Таблица 1.
| № интервала | (имп/сек)
| 
(имп/сек)
|
| Рi |
(имп/сек)
| 
(имп/сек)
| 
(имп/сек)2
|
| 1 | 10 | 16 | 4 | 0,16 | 13,25 | 2,12 | 18,63 |
| 2 | 16 | 22 | 6 | 0,24 | 19,67 | 4,72 | 4,58 |
| 3 | 22 | 28 | 8 | 0,32 | 25,25 | 8,08 | 0,47 |
| 4 | 28 | 34 | 5 | 0,20 | 30,60 | 6,12 | 8,61 |
| 5 | 34 | 40 | 2 | 0,08 | 37,50 | 3,00 | 14,49 |
| 25 | 
| М =24,04 | Д =46,78 |
Примечание. Количество вариант первого интервала определяем, исходя из того, что нижней границией является 10 имп/сек, а верхней – 16 имп/сек, т.е. в первый интервал из вариационного ряда вошли варианты:
10; 12; 15; 16 (
), среднее значение этого интервала:
.
Во второй интервал вошли варианты: 18; 19; 20; 20; 20; 21. Таким образом, m 2 =6, тогда
и т.д.
Среднее квадратическое отклонение 
равно:
.
Для определения теоретической вероятности попадания варианты в данный интервал находим значения функции распределения Ф(z2) и Ф(z1), где 
( -верхняя граница соответствующего интервала)
(
нижная граница соответствующего интервала).
Если значения z отрицательное, то Ф(- z)=1- Ф (z)
Значение теоретической вероятности попадания варианты в интервал Ртеор определяем по формуле:
Ртеор=Ф(z 2)- Ф (z 1).
Величина функции распределения Ф(z) определяется по таблице (см. приложение №3).
Полученные значения z2, Ф(z2), z1, Ф(z1) и Ртеор=Ф(z2)-Ф(z1) заносим в таблицу №2.
Таблица №2
| № интервала | 
| Ф(z2) | 
| Ф(z1) | Ртеор=Ф(z2)-Ф(z1) |
| 1 | -1,18 | 0,1190 | -2,05 | 0,0179 | 0,10 |
| 2 | -0,30 | 0,3821 | -1,18 | 0,1190 | 0,26 |
| 3 | 0,58 | 0,7190 | -0,30 | 0,3821 | 0,34 |
| 4 | 1,46 | 0,9279 | 0,58 | 0,7190 | 0,21 |
| 5 | 2,33 | 0,9893 | 1,46 | 0,9279 | 0,06 |
Сравнивая величины для каждого из пяти интервалов экспериментальной вероятности Р i (см. таблицу №1) и теоретической вероятности попадания варианты в заданный интервал Ртеор (см. таблицу №2), можно сделать вывод, что их значения очень близки друг к другу, следовательно, полученные значения естественного фона подчиняются распределению Гаусса.
Строим графики зависимости экспериментальных вероятностей Р i и теоретических вероятностей Ртеор от средних значений интервалов 
экспериментальная кривая
теоретическая кривая.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задачи для домашнего решения
Задача №1. О влиянии фармакологического препарата судили по изменению веса лабораторных животных, которым в течение недели вводили препарат. За неделю изменения веса составили:
| Изменения веса, гр. | -100 | -50 | 0 | 50 | 100 |
| Вероятность | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение изменения веса.
Задача №2. Проведены точные измерения дозированного медицинского препарата, предназначенного для инъекций и содержащегося в ампулах по 1 мл в каждой ампуле. При проверке 12 ампул получили следующие результаты (в мл): 0,97| 1,07| 1,02| 1,04| 0,97| 0,96| 1,03| 1,05| 0,96| 0,97| 1,05| 1,01|. Считая, что распределение подчиняется нормальному закону, определить вероятность того, что в ампуле меньше одного миллилитра раствора.
Задача №3. Анализ веса 100 новорожденных показал, что у них в интервал от 1,75 до 2,25 (со средним весом 2 кг) попало 5 новорожденных; со средним весом 2,5 кг – 25; со средним весам 3 кг – 40; 3,5 кг – 25; 4 кг -5 новорожденных. Совпадает ли это распределение с нормальным законом. Определить вероятность рождения недоношенного ребенка (m≤2,4кг).
Задачи для решения на практическом занятии
Задача №1. Исследования показали, что здоровые люди в значительной мере отличаются по содержанию в крови фермента каталазы. В таблице приведены данные обследования 1000 людей.
| Содержания фермента, xi | 3,5 | 4,0 | 4,5 | 5,0 | 5,5 | 6,0 | 6,5 |
| Число людей mi | 40 | 100 | 200 | 300 | 200 | 120 | 40 |
Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность, что содержание каталазы в крови меньше или равно 5,0.
Задача №2. У 300 крабов одного и того же вида были измеряны с точностью до 0,1мм длины дактилоподитов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность, что длина дактилоподитов будет меньше или равна 8 мм.
| Длина, мм, xi | 4,2 | 5,1 | 6,3 | 7,4 | 8,2 | 9,5 | 10,6 | 11,1 |
| Число крабов mi | 3 | 24 | 45 | 72 | 75 | 54 | 18 | 9 |
Задача №3 Случайная величина (х) имеет следующий закон распределения:
| xi | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 |
| Р i | 0,05 | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 0,05 |
Определить вероятность того, что случайная величина примет значение: х≤25.
ТЕМА №9
