Эталоны решения типовых задач

Задача №1: В течение 10 минут на диспетчерский пункт может поступить 0 вызовов с вероятностью 0,2; 1 вызов с вероятностью 0,2; 2 вызова с вероятностью 0,4; 3 вызова с вероятностью 0,1; 4 вызова с вероятностью 0,1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа вызовов за 10 минут.

Решение: Для решения удобно составить таблицу:

Число вызовов хi	0	1	2	3	4	∑
Вероятность Pi	0,2	0,2	0,4	0,1	0,1	1
xiPi	0	0,2	0,8	0,3	0,4	1,7
	2,89	0,49	0,09	1,69	5,29	-
	0,578	0,098	0,036	0,169	0,529	1,41

 

Задача №2. Амплитуда вызванных биопотенциалов мозга (мкВ)х _i появилась с частотой m_i:

Амплитуда биопотенциалов (мкВ) (хi)	2,3	4,0	7,4	4,5	6,7	10,0	9,2
mi	2	6	10	8	4	2	3

 

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность, что величина амплитуды вызванного биопотенциала мозга Dφ≤5 мкВ.

Решение

Для нахождения математического ожидания М дискретного ряда распределения используем формулу:

где    х _i -значения вариант ряда;

Р _i -вероятность (относительная частота появления варианты).

Вероятность Р _i -определяем по формуле:

 где n -объем выборки, равный

-частота появления i варианты.

Дисперсию Д определяем по формуле:

Среднее квадратическое отклонение σ определяем по формуле:

Заполним таблицу:

хi (мкВ)	2,3	4,0	7,4	4,5	6,7	10,0	9,2
mi	2	6	10	8	4	2	3
	0,06	0,17	0,29	0,23	0,11	0,06	0,09	(условие нормировки)
хi Pi	0,14		2,15	1,04	0,74	0,60	0,83
	0,91	0,82	0,42	0,66	0,03	0,87	0,81

 

Определяем среднее квадратическое отклонение σ:

=2,13 (мкВ).

Находим вероятность того, что значение биопотенциала мозга Dφ≤5 мкВ, по формуле:

где х=Dφ≤5 мкВ

Функция распределения от отрицательного параметра (-z) определяется выражением:

Таким образом:

Значение Ф(z) определяется по таблице: “Значения нормальной функции распределения” (см. приложения №3).

Ответ: М=6,2 мкВ; Д=4,52(мкВ)²; σ=2,13 мкВ

Р= 0,2877≈29%

Задача №3. Измерения значений естественного фона ионизирующего излучения в импульсах/сек, полученные с помощью пересчетного прибора, дали следующие результаты:

15   19   20   20   21   23   24   16   27   40   30   31   32

35   25   26   30   30   20   28   26   23   18   12   10

Удовлетворяет ли это распределение распределению Гаусса? Построить графики зависимости экспериментальной вероятности попадания значений  в каждый из интервалов Р _i и теоретической вероятности  Р_теор от средних значений интервалов .

Решение:     Из полученных результатов составляем вариационный ряд:

10   12   15   16   18   19   20   20   20   21   23   23   24

25   26   26   27   28   30   30   30   31   32   35   40

Все варианты выборки делят в зависимости от числа вариант на нечетное число интервалов, начиная с трех (k=3, 5, 7, 9, 11, …).

Разобъём вариационный ряд на 5 интервалов. Находим шаг интервала :

,

где -максимальное значение варианты в интервале,

-минимальное значение варианты в интервале.

Тогда

Верхние границы каждого из интервалов определяется по формуле:

где i =1, 2, 3, 4, 5,    (i -номер интервала)

Нижняя граница каждого последующего интервала  определяется значением верхней границы предыдущего.

Вероятность попадания варианты в данный интервал Р _i (экспериментальная вероятность) определяется по формуле:

где -число вариант в каждом из интервалов, определяемых по вариационному ряду, исходя из значений нижней и верхней границы интервала.

-обьем выборки, в нашей задаче равный 25.

Среднее значение интервала определяем по формуле:

где -сумма значений вариант в интервале.

Математическое ожидания М определяем по формуле:

,

Дисперсию Д определяется по формуле:

,

Среднее квадратическое отклонение

Учитывая все вышеуказанное, заполняем таблицу №1.

Таблица 1.

№ интервала	(имп/сек)	(имп/сек)		Рi	(имп/сек)	(имп/сек)	(имп/сек)2
1	10	16	4	0,16	13,25	2,12	18,63
2	16	22	6	0,24	19,67	4,72	4,58
3	22	28	8	0,32	25,25	8,08	0,47
4	28	34	5	0,20	30,60	6,12	8,61
5	34	40	2	0,08	37,50	3,00	14,49
			25			М =24,04	Д =46,78

Примечание. Количество вариант первого интервала определяем, исходя из того, что нижней границией является 10 имп/сек, а верхней – 16 имп/сек, т.е. в первый интервал из вариационного ряда вошли варианты:

10;    12;  15;  16 (), среднее значение этого интервала:

.

Во второй интервал вошли варианты: 18; 19;  20;  20;  20;  21. Таким образом, m ₂ =6, тогда

 и т.д.

Среднее квадратическое отклонение  равно:

.

Для определения теоретической вероятности попадания варианты в данный интервал находим значения функции распределения Ф(z₂) и Ф(z₁), где                    ( -верхняя граница соответствующего интервала)

                   ( нижная граница соответствующего интервала).

Если значения z отрицательное, то Ф(- z)=1- Ф (z)

Значение теоретической вероятности попадания варианты в интервал Р_теор определяем по формуле:

Р_теор=Ф(z ₂)- Ф (z ₁).

Величина функции распределения Ф(z) определяется по таблице (см. приложение №3).

Полученные значения z₂, Ф(z₂), z₁, Ф(z₁) и Р_теор=Ф(z₂)-Ф(z₁) заносим в таблицу №2.

Таблица №2

№ интервала		Ф(z2)		Ф(z1)	Ртеор=Ф(z2)-Ф(z1)
1	-1,18	0,1190	-2,05	0,0179	0,10
2	-0,30	0,3821	-1,18	0,1190	0,26
3	0,58	0,7190	-0,30	0,3821	0,34
4	1,46	0,9279	0,58	0,7190	0,21
5	2,33	0,9893	1,46	0,9279	0,06

Сравнивая величины для каждого из пяти интервалов экспериментальной вероятности Р i (см. таблицу №1) и теоретической вероятности попадания варианты в заданный интервал Р_теор (см. таблицу №2), можно сделать вывод, что их значения очень близки друг к другу, следовательно, полученные значения естественного фона подчиняются распределению Гаусса.

Строим графики зависимости экспериментальных вероятностей Р i и теоретических вероятностей Р_теор от средних значений интервалов

 экспериментальная кривая

 теоретическая кривая.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задачи для домашнего решения

Задача №1. О влиянии фармакологического препарата судили по изменению веса лабораторных животных, которым в течение недели вводили препарат. За неделю изменения веса составили:

Изменения веса, гр.	-100	-50	0	50	100
Вероятность	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение изменения веса.

Задача №2. Проведены точные измерения дозированного медицинского препарата, предназначенного для инъекций и содержащегося в ампулах по 1 мл в каждой ампуле. При проверке 12 ампул получили следующие результаты (в мл): 0,97| 1,07| 1,02| 1,04| 0,97| 0,96| 1,03| 1,05| 0,96| 0,97| 1,05| 1,01|. Считая, что распределение подчиняется нормальному закону, определить вероятность того, что в ампуле меньше одного миллилитра раствора.

Задача №3. Анализ веса 100 новорожденных показал, что у них в интервал от 1,75 до 2,25 (со средним весом 2 кг) попало 5 новорожденных; со средним весом 2,5 кг – 25; со средним весам 3 кг – 40; 3,5 кг – 25; 4 кг -5 новорожденных. Совпадает ли это распределение с нормальным законом. Определить вероятность рождения недоношенного ребенка (m≤2,4кг).

Задачи для решения на практическом занятии

Задача №1. Исследования показали, что здоровые люди в значительной мере отличаются по содержанию в крови фермента каталазы. В таблице приведены данные обследования 1000 людей.

Содержания фермента, xi	3,5	4,0	4,5	5,0	5,5	6,0	6,5
Число людей mi	40	100	200	300	200	120	40

Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность, что содержание каталазы в крови меньше или равно 5,0.

Задача №2. У 300 крабов одного и того же вида были измеряны с точностью до 0,1мм длины дактилоподитов. Определить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и вероятность, что длина дактилоподитов будет меньше или равна 8 мм.

Длина, мм, xi	4,2	5,1	6,3	7,4	8,2	9,5	10,6	11,1
Число крабов mi	3	24	45	72	75	54	18	9

Задача №3 Случайная величина (х) имеет следующий закон распределения:

xi	5	10	15	20	25	30	35
Р i	0,05	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1	0,05

Определить вероятность того, что случайная величина примет значение: х≤25.

 

 

ТЕМА №9