Задачи для домашнего решения

1. Построить графики функций:

а) ;                            г) ;

б) ;                         д) ;

в) ;                                       е) ;

2. Известно, что если полимерные молекулы образуются путем рекомбинации, то мольная доля у молекулы полимера с числом звеньев х имеет вид  где a-постоянная. Найти максимум распределения по молекулярным массам.

3. При построении математической модели хлорирования органических соединений получают следующую функциональную зависимость между концентрацией у монохлорзамещенных продуктов и концентрацией х нехлорированного сырья:  где постоянная k ¹ 1, а- начальная концентрация хлорируемого продукта. Найти максимум функциональной зависимости.

Задачи для решения на практических занятиях:

1. Построить графики функций.

а) у=х(2-х)²;                                г) у=х³-

б) у=4х-                      д) у=3х-х³;

в) у=2х²-

1. Растворение лекарственных веществ из таблеток подчиняется уравнению: с=с₀е^{- kt}, где с₀ -исходное количество лекарственного вещества в таблетке, с -количество лекарственного вещества в таблетке, оставшегося ко времени растворения t, k -постоянная скорости растворения. Построить график функции с(t) для t ³ 0.
2. В питательную среду вносят 1000 бактерий. Численность у бактерий возрастает согласно уравнению у=1000+1000 t /(100+ t ²), где t -время, (в часах). Определить максимальное количество бактерий.
3. Реакция организма на два лекарственных препарата выражается соответственно функциями  и . Определить максимальные реакции на оба препарата и сравнить их.

 

ТЕМА №3

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Интегральное исчисление является составной частью математического анализа и применяется при решении многих задач химии, биологии именно в тех случаях, когда по известной производной требуется найти вид самой функции.

Цель занятия:

1. Научиться находить интегралы методом непосредственного интегрирования.

2. Научиться находить интегралы методом подстановки.

3. Научиться находить интегралы методом интегрирования по частям.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Процесс дифференцирования, т.е. нахождение производной или дифференциала функции, с физической точки зрения сводится к следующему: зная закон движения материальной системы, определить мгновенное значение скорости в данной точке траектории её движения. С геометрической точки зрения, этот процесс состоит в нахождении tg a угла наклона касательной, проведённой к графику функции в данной точке.

Но часто ставится и обратная задача, т. е. необходимо определить закон движения материальной системы, зная её скорость, или по tg a угла наклона касательной найти соответствующую функцию. Для решения этой задачи вводится понятие неопределённого интеграла, а сам процесс решения называется интегрированием.

Другими словами: если процесс дифференцирования состоит в нахождении производной данной функции, то процесс интегрирования - это нахождение функции по её производной или дифференциалу.

Найти интеграл значит найти первообразную функции F(х) и сложить её с произвольной постоянной интегрирования С:

.

Таким образом, каждый неопределенный интеграл имеет бесчисленное множество решений или семейство первообразных.

Функция F(x), имеющая функцию f (x) своей производной или f (x) dx своим дифференциалом, называется первообразной данной функции:

;

dF (x) = f (x) dx.

Неопределенный интеграл в общем виде записывается:

,

где∫-знак неопределённого интеграла,

f (x) - подинтегральная функция,

f (x) dx - подинтегральное выражение,

F (x) – первообразная функция

С – произвольная постоянная интегрирования

F (x) + С –решение неопределенного интеграла или семейство первообразных.