Свойства неопределённого интеграла

1. Производная от неопределённого интеграла равна подинтегральной функции:

.

2. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подинтегральному выражению:

.

3. Интеграл от дифференциала первообразной функции равен самой первообразной, сложенной с произвольной постоянной:

.

4. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

; где а- const

5. Интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:

.

 

3. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

 

1. = х+С;                                           10.

2.                11.

3.                                       12.

4.                                    13.

5.                                   14.

6.                          15.

7.                          16.

8.                                 17.

9.

 

ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1. Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования основан на преобразовании подинтегральной функции, применении свойств неопределённого интеграла и приведении подинтегрального выражения к табличной форме.

Например:

1)

Проверка (на основании свойства №2 неопределённого интеграла):

2)

Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла):

2. Метод подстановки (замены переменной)

Этот метод основан на введении новой переменной. В интеграле  сделаем подстановку:

, тогда

;

;

Следовательно, получим:

Например:

1)

Проверка:

2)

Проверка (на основании свойства №2 неопределённого интеграла):

3. Интегрироване по частям

Пусть u и v - дифференцируемые функции. Раскроем дифференциал произведения этих функций:

,

откуда

Проинтегрируем полученное выражение:

Тогда

или

Например:

1. 

Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла):

2)

Решаем

Проверка (на основании свойства №1 неопределённого интеграла):

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задачи для домашнего решения

Найти интеграл:

I. Метод непосредственного интегрирования

а) ;                         е) ;

б) ;                               ж)

в) ;                                 з)

г) ;                            и)

д) ;                           к)

II. Метод подстановки (замены переменной)

а) ;                                 е) ;

б) ;                              ж) ;

в) ;                                  з) ;

г) ;                             и) ;

д) ;                                    к) .

III. Метод интегрирования по частям

а) ;                      в) ;       д)

б) ;                  г) ;      е)

Задачи для решения на практических занятиях:

I. Метод непосредственного интегрирования

а) ;               ж) ;

б) ;                     з) ;

в) ;                        и)

г) ;                     к)

д) ;                              л)

е) ;            м)

II. Метод подстановки (замены переменной)

а) ;                                      ж) ;

б) ;                             з) ;

в) ;                            и) ;

г) ;                             к) ;

д) ;                          л) ;

е) ;                                 м)

III. Метод интегрирования по частям

а) ;                           д) ;

б) ;                       е) ;

в) ;                    ж)

г) ;

 

 

ТЕМА №4

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

При математических расчётах часто требуется найти приращение первообразной функции при изменении её аргумента в заданных пределах. Такую задачу приходится решать при вычислении площадей и объёмов различных фигур, при определении среднего значения функции, при вычислении работы переменной силы. Эти задачи могут быть решены вычислением соответствующих определённых интегралов.

Цель занятия:

1. Научиться вычислять определённый интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

2. Уметь применять понятие определённого интеграла для решения прикладных задач.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Рассмотрим задачу о нахождении площади криволинейной трапеции.

Пусть дана некоторая функция y = f (x), график которой изображён на рисунке.

Рис 1. Геометрический смысл определенного интеграла.

На оси 0х выберем точки “ a ” и “в” и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с кривой. Фигура ограниченная кривой, перпендикулярами и осью 0х называется криволинейной трапецией. Разобьём интервал  на ряд небольших отрезков. Выберем произвольный отрезок . Достроим криволинейную трапецию, соответствующую этому отрезку до прямоугольника. Площадь такого прямоугольника определится как:

.

Тогда площадь всех достроенных прямоугольников в интервале  будет равна:

;

Если каждый из отрезков достаточно мал и стремится к нулю, то суммарная площадь прямоугольников будет стремиться к площади криволинейной трапеции:

;

Итак, задача о вычислении площади криволинейной трапеции сводится к определению предела суммы.

Интегральная сумма есть сумма произведений приращения аргумента на значение функции f (x), взятой в некоторой точке интервала, в границах которого изменяется аргумент. Математически задача о нахождении предела интегральной суммы, если приращение независимой переменной стремится к нулю, приводит к понятию определённого интеграла.

Функция f (x ) в некотором интервале от х=а до х=в интегрируема, если существует такое число, к которому стремится интегральная сумма при D х ® 0. В этом случае число J называют определённым интегралом функции f (x) в интервале :

;

где ] а, в [ – область интегрирования,

а –нижний предел интегрирования,

в –верхний предел интегрирования.

Таким образом, с точки зрения геометрии, определённый интеграл есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции в определённом интервале ] а, в [ и осью абцисс.

 

2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЁННЫМ И НЕОПРЕДЕЛЁННЫМ ИНТЕГРАЛАМИ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА

     Неопределённый интеграл - это совокупность первообразных функций. Определённый интеграл - это число. Связь между ними задаётся формулой Ньютона-Лейбница.

     Теорема. Значение определённого интеграла равно разности значений любой первообразной от подинтегральной функции, взятой при верхнем и нижнем пределами интегрирования:

Например: .

 

3. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА

1. Определённый интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

;

2. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций , заданных на отрезке  равен алгебраической сумме определённых интегралов от слагаемых функций:

;

3. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

;             

4. Если верхний и нижний пределы интегрирования поменять местами, то определённый интеграл изменит свой знак на противоположный:

;

5. Если а=в,  то ;

6. Если отрезок интегрирования  разбить на две части  и , то:

;

7. Если подинтегральная функция на отрезке интегрирования сохраняет постоянный знак, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция, т.е. если , то

;

8. Значение определённого интеграла заключено между произведениями наибольшего и наименьшего значений подинтегральной функции на длину интервала интегрирования:

, где M, m – наибольшее и наименьшее значения функции  на отрезке : m £ £ M.

9. Определённый интеграл от непрерывной функции равен произведению значения этой функции в некоторой промежуточной точке х=С отрезка интегрирования  на длину отрезка (в-а):

,

где f (c) - среднее значение функции в интервале.