Производная и дифференциал функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЫРГЫЗСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

КЫРГЫЗСКО – РОССИЙСКИЙ СЛАВЯНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Медицинский факультет

Кафедра физики, медицинская информатики и биологии

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Бишкек 2013

УДК

ББК

Составители: доцент, А.А. Сорокин; доцент, Т.И. Сологубова; доцент, И.Р. Тупеев; ст. преп., Н.А. Абдукаримова; ст. преп., Р.Б. Молдонасиров

Рекомендовано к изданию Ученым советом КРСУ

(пр. №__ от ……..)

Рецензенты:

Допущено Министерством образования и науки Кыргызской Республики в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений

(пр. №………)

Л…. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: Учеб. Пособие/Сост.А.А. Сорокин, Т.И. Сологубова, И.Р. Тупеев, Н.А. Абдукаримова, Р.Б. Молдонасиров.-Бишкек: КРСУ, 2012.-…с.

ISBN …………………

Работа представляет собой учебное пособие, которое поможет студентам-медикам освоить основы высшей математики, математической статистики и подготовиться к практическим занятиям.

К ……….. УДК

ББК

ISBN ………………… ©КРСУ, 2012

©А.А. Сорокин,

Т.И. Сологубова,

И.Р. Тупеев,

Н.А. Абдукаримова,

Р.Б. Молдонасиров, 2012

АННОТАЦИЯ

Математическая подготовка студентов медицинских вузов дает возможность более глубоко изучить курсы медицинской и биологической физики, информатики, бионеорганической и биоорганической химии, технологии лекарственных веществ, рентгенологии и другие медико-биологические дисциплины.

Теория курса «Высшая математика» охватывает те разделы математики, которые находят применение в медицине, и помогут студентам приобрести математические навыки для дальнейшей работы.

Производная функции может быть использована при математическом описании динамики химических реакций, при нахождении градиентов скорости, давления, концентрации, температуры и других величин.

Интегральное исчисление является составной частью математического анализа и применяется при решении многих задач химии, биологии, медицины именно в тех случаях, когда по известной производной требуется найти вид самой функции.

Дифференциальные уравнения используются при изучении явлений и процессов во всех областях знаний, в том числе и в медицине. Сформулировав задачу на языке дифференциальных уравнений, специалист–медик получает готовый аппарат для численного решения задачи, изучения качественных особенностей этого решения. Кроме того, дифференциальные уравнения являются одним из средств математического моделирования. Пользуясь ими, устанавливается связь между переменными величинами, характеризующими данный процесс или явление.

Теория вероятностей изучает закономерности, присущие случайным событиям, величинам и процессам массового характера. Теория вероятностей нашла применение в теории эпидемий, в разработке математических методов медицинской диагностики, в организации здравоохранения и т.д.

Математическая статистика - раздел математики, непосредственно примыкающий к теории вероятностей. Медицинские задачи, которые решаются с её помощью, принимают ту или иную форму в зависимости от характера вопроса и объема накопленного опытного материала.

Наиболее важными для студентов-медиков при изучении дисциплины “Высшая математика” являются знания статистических методов в клинических и лабораторно-экспериментальных исследованиях. Многочисленность и многообразие количественных показателей, получаемых при обследовании различных систем и органов человека в клинической практике и в эксперименте, вызывают необходимость их обобщения и поиска наиболее приемлемых математических и математико-статистических критериев, удовлетворяющих научным требованиям медицины.

СОДЕРЖАНИЕ

Тема №1. Призводная и дифференциал функции...............................................................6 - 20

Тема №2. Применение производных к исследованию функций.....................................21 - 29

Тема №3. Неопределенный интеграл.................................................................................30 - 37

Тема №4. Определенный интеграл.....................................................................................38 - 45

Тема №5. Дифференциальные уравнения..........................................................................46 - 60

Тема №6. Составление и решение дифференциальных уравнений на примерахзадач физического, химического, фармацевтического и медико-биологического содержания............................................................................................................................61 - 67

Тема №7. Элементы теории вероятностей.........................................................................68 - 81

Тема №8. Случайные величины. Закон нормального распределения случайных величин................................................................................................................................82 - 101

Тема №9. Элементы математической статистики........................................................102 - 121

Тема №10. Теория корреляции..........................................................................................122-131

Заметки для аспирантов и соискателей……………………………………………..…..132-160

Приложение 1.............................................................................................................................161

Приложение 2 ………………………… …… …………..........................................................162

Приложение 3…………………………………………………….............................................164

Приложение 4…………………………………………………….............................................165

Приложение 5……………………………………………………….........................................166

Приложение 6……………………………………………………….........................................166

Приложение 7………………………………………………………….....................................167

Приложение 8………………………………………………………….....................................167

Приложение 9.............................................................................................................................168

Приложение 10...........................................................................................................................169

ТЕМА №1

ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Понятие производной функции и понятие дифференциала функции являются одними из основных понятий математического анализа. Производная характеризует быстроту изменения функции при изменении её аргумента и может быть использована при математическом описании динамики химических реакций, при нахождении градиентов скорости, давления, концентрации, температуры и других величин.

Цель занятия:

· Уметь объяснить физический смысл производной первого и второго порядков.

· Научиться находить производные от элементарных и сложных функций.

· Научиться находить производные высших порядков.

· Научиться находить дифференциалы функций.

· Научиться приближенно вычислять функции с помощью дифференциала.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть на интервале ]а,в[ определена функция у=f(x). При приращении аргумента D х функция получит приращение D f, которое определится равенством: D f=f(x+ D x)-f(x), тогда отношение:

выражает среднюю скорость изменения функции f(x) относительно аргумента х на интервале ]х, х+ D х[.

Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда D х ® 0, при условии, что этот предел существует, называется производной функции в точке х Î ]а,в[:

2. МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Решение задачи о нахождении скорости различных процессов приводит к понятию производной функции. Рассмотрим скорость прямолинейного движения. Пусть тело, двигаясь с переменной скоростью, прошло путь S, тогда средняя скорость равна:

где t- время движения тела. Разобьем весь путь на n отдельных участков: D S₁, D S₂,…, D S _n, пройденные соответственно за время: D t₁, D t₂,.., D t _n, тогда скорости на этих участках:

Если величину участков уменьшить, т.е. задать D t ® 0, то средняя скорость стремится к пределу, который представляет собой скорость движения тела в данный момент времени или мгновенную скорость:

Таким образом, мгновенная скорость есть предел отношения приращения пути к приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Пусть функция у=f(x) задана графически. Возьмем на кривой произвольно точку М(х,у). Зададим приращение аргументу D х, тогда функция получит приращение D у и на графике мы получим точку М₁ с координатами (х+ D х;у+ D у). Проведем секущую ММ₁ и обозначим угол наклона секущей к оси Ох через j: tg j = D y/ D x

Рис 1. Геометрический смысл производной и дифференциала функции.

Пусть D х ® 0, тогда точка М₁ будет стремиться к точке М, величина угла j будет изменяться. При приближении ММ₁ к касательной МТ, угол j приближается к углу a, следовательно, tg a равен угловому коэффициенту касательной:

Таким образом, геометрический смысл производной заключается в том, что она есть угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке.

4. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОИЗВОДНЫХ

1. Производная постоянной величины равна нулю.

,где С=const

2. Постоянный множитель выносится за знак производной.

3. Производная аргумента по самому аргументу равна единице: х ¢ _х =1.

4. Производная алгебраической сумму функций равна алгебраической сумме производных этих функций:

(u ± ϑ) ¢ _x =u ¢ _x ± ϑ ¢ _x

Например: ( х ⁵+sin x -1)¢ _x =(x ⁵)¢_x+(sin x)¢ _x -(1)¢ _x =5 x ⁴+cos x

5. Производная произведения двух функций определяются по формуле: (u n) ¢ _x =u n ¢ _x +u ¢ _x n

Например: (е^х·ln x)¢_x=е^х(ln x)¢_x+ (е^х)¢_xln x =e^x·+е^xln x

6. Производная частного двух функций определяются по формуле:

Например:

5. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

1. при С=const; 9.

2. ; 10.

3. 11.

4. ; 12.

5. ; 13.

6. ; 14.

7. ; 15.

8. ;

6. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть у нас есть сложная функция: у=u(v (x)). Эту сложную функцию (или функцию от функции) можно представить в виде элементарных функций, которые являются её промежуточными аргументами. Сложная функция дифференцируется по следующему правилу:

Если функция v (x) имеет производную v ’ (x), а функция у=u(v) производную у’ _v =u’(v) в соответствующей точке v, то сложная функция у=u(v (x)) в данной точке х имеет производную у’ _x, которая находится по формуле: у’ _x =u’(v)· v ’(x)

Например:

7. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Производная от производной первого порядка называется производной второго порядка и обозначается: или .

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и т.д.

Физический смысл производной второго порядка заключается в том, что вторая производная от пути S по времени t равна мгновенному ускорению переменного движения:

Задача: Найти скорость и ускорение точки, совершающей гармонические колебания по закону:

где

8. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ЕГО ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Д ифференциалом функции y=f(x) называется произведение производной этой функции на дифференциал аргумента dx или на приращение аргумента ∆х:

dx≈∆x

Для объяснения геометрического смысла дифференциала функции обратимся к рисунку 1. Из треугольника МОС находим:

ОС=МС tg a = D x × y ¢ _x.

Но из определения дифференциала функции: y ¢ _x D x = dy, следовательно,

ОС=dy.

Таким образом, отрезок ОС, равный дифференциалу функции, геометрически представляет собой приращение ординаты касательной к графику функции в точке с абциссой x при переходе от точки касания в точку с абциссой (x+ D x).

9. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть дана функция n -переменных:

Z = f (x, y, …, t)

В этом случае вводится понятие частной производной:

Частной производной функции Z=f (x, y) по аргументу х называется предел отношения приращения функции, когда изменяется х, к приращению аргумента х, когда приращение аргумента стремится к нулю ( х → 0)