Теорема 2. Якщо прямі (1) не паралельні, то рівняння

Пряма на площині

3.3.1. Рівняння прямої
з кутовим коефіцієнтом

Нехай на площині задано пряму у прямокутній системі координат х, у. Кут j між віссю Ох і цією прямою називається кутом нахилу прямої до осі. Тангенс кута нахилу називається кутовим коефіцієнтом розглядуваної прямої. Якщо ця пряма перетинає вісь Оу у точці В з координатами (0, b), то число b називається початковою ординатою. Візьмемо довільну точку М (х, у) на прямій (рис. 3.22).

Рис. 3.22

З прямокутного трикутника МАВ знаходимо рівняння прямої

яке можна подати у вигляді

, де

(1)

Якщо розглядувана пряма паралельна осі Оу, то j = 0,5p і tgj не існує. При цьому пряма має рівняння виду х = а (рис. 3.23).

Рис. 3.23

Координати х, у будь-якої точки М (х, у), що належить прямій, задовольняють рівняння (1). Якщо пряма (1) проходить через точку М ₁(х ₁, у ₁), то справджується рівність

у ₁ = kx ₁ + b,

Віднімаючи почленно цю рівність від рівності (1), дістаємо рівняння прямої, що проходить через задану точку:

(2)

Зі зміною кутового коефіцієнта k в рівнянні (2) утворюються різні прямі, що проходять через точку М ₁(х ₁, у ₁). Рівняння (2) називається рівнянням пучка (в’язки) прямих (рис. 3.24).

Рис. 3.24

Нехай дано дві різні точки М ₁(х ₁, у ₁), М ₂ (х ₂, у ₂), де х ₂ ¹ х ₁. З рівняння (2) випливає вираз для кутового коефіцієнта прямої, що проходить через точки М ₁, М ₂:

(3)

Підставляючи в (3) рівняння (2), знаходимо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки М ₁(х ₁, у ₁), М ₂ (х ₂, у ₂):

(4)

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через дві точки М ₁(4, 1), М ₂(2, 3).

· Згідно з (4) маємо:

Ця пряма утворює кут 135° з віссю Ох. ·

Якщо задано вектор , паралельний деякій прямій, і точку М ₀(х ₀, у ₀) на цій прямій, то рівняння прямої можна записати у вигляді

Вектор s називається напрямним вектором прямої.

Щоб побудувати графік прямої, достатньо знати дві її різні точки і через них провести пряму. Якщо пряма перетинає осі координат у точках М ₁(а, 0), М ₂(0, b), а ¹ 0, b ¹ 0, то її можна записати рівнянням

(5)

яке називається рівнянням прямої у відрізках на осях.

Запишемо рівняння прямої

у вигляді (5).

· Значенню у ₁ = 0 відповідає х ₁ = 3. При х ₂ = 0 знаходимо у ₂ = 2. Отже, шукане рівняння прямої подається у вигляді

Пряма перетинає вісь х у точці з координатою х = 3, а вісь у — у точці з координатою у = 2. ·

3.3.2. Кут між прямими

Розглянемо дві прямі, які задано рівняннями

. (1)

Якщо прямі паралельні, то вони мають однакові кути нахилу:

(2)

Дві прямі збігаються, якщо k ₁ = k ₂, b ₁ = b ₂.

Якщо прямі взаємно перпендикулярні, то і

Рівність

є умовою перпендикулярності двох прямих виду (1).

(3)

Якщо прямі не паралельні, то вони перетинаються в точці М (х, у), координати якої є розв’язком системи рівнянь

Нехай q — кут між цими прямими (рис. 3.25).

Рис. 3.25

Згідно з рис. 3.25 маємо: j₂ = j₁ + q (зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним). Отже,

Формулу

застосовують для знаходження кута між двома прямими, заданими рівняннями виду (1).

(4)

У трикутнику з вершинами А (1, 1), В (5, 1), С (2, 4) знайти кут a при вершині А, а також рівняння висоти CD і медіани ВМ (рис. 3.25).

Рис. 3.25

Скориставшись (3), знайдемо кутові коефіцієнти прямих АВ, АС:

Пряма СD перпендикулярна до прямої АВ. Її кутовий коефіцієнт , а відповідне рівняння

у – 4 = – 4(х – 2).

Точка М поділяє відрізок АС пополам. Отже,

Через точки В (5, 2), М проводимо пряму m і згідно з (4) дістаємо:

або . ·

3.3.3. Загальне рівняння прямої

Розглянемо на площині прямокутну систему координат х, у і знайдемо рівняння прямої, коли відомий вектор її нормалі і задано точку М ₀(х ₀, у ₀) на цій прямій. Нехай М (х, у) — довільна точка шуканої прямої (рис. 3.27).

Рис. 3.27

За умовою вектор перпендикулярний до вектора . Тому їх скалярний добуток . Звідси маємо рівняння

(1)

або

(2)

Це рівняння називається загальним рівнянням прямої.

На відміну від рівняння виду (1) змінні х, у входять до рівняння (2) рівноправно. Рівняння (1) завжди можна подати у вигляді (2).

Рівняння прямої (2) можна записати у вигляді (y = kx + b) лише за умови В ¹ 0.

Коефіцієнти А, В при х, у у загальному рівнянні прямої є про-
екціями на координатні осі вектора її нормалі n.

Справджується теорема.

Теорема 1. Будь-яка пряма на площині може бути задана лінійним рівнянням виду (2). Кожне лінійне рівняння виду (2), де А ² + В ² > 0, визначає деяку пряму.

Доведення. Перше твердження теореми було доведено раніше при виведенні рівняння (1). Доведемо друге твердження. Візьмемо довільне лінійне рівняння

Оскільки коефіцієнти при х, у не перетворюються одночасно на нуль, завжди знайдуться значення х = х ₀, у = у ₀, при яких виконується рівність

Ах ₀ + Ву ₀ + С = 0.

Віднімаючи ці рівняння почленно, дістаємо рівність

А (х – х ₀) + В (у – у ₀) = 0. (3)

За допомогою векторів

рівність (3) можна записати у вигляді .

Як бачимо з рис. 3.27, вектор тоді і тільки тоді буде перпендикулярним до ненульового вектора , коли точка М (х, у) лежить на прямій, що проходить через точку М ₀(х ₀, у ₀) перпендикулярно до цього вектора. Звідси випливає рівняння (1), що визначає деяку пряму. Отже, теорему доведено. ¨

Нехай х, у — координати довільної точки на площині. Пряма (2) поділяє всю площину на дві півплощини. В одній півплощині виконується нерівність Ах + Ву + С > 0, а в іншій — нерівність
Ах + Ву + С < 0. На самій прямій маємо: Ах + Ву + С = 0.

Розглянемо частинні випадки рівняння (2):

якщо А = 0, то пряма паралельна осі х;

якщо В = 0, то пряма паралельна осі у;

якщо С = 0, то пряма проходить через початок координат;

якщо А = 0, С = 0, то пряма збігається з віссю х;

якщо В = 0, С = 0, то пряма збігається з віссю у.

Нагадаємо, що пряма проходить перпендикулярно до вектора .

3.3.4. Взаємне розташування двох прямих

Дві прямі задано їх загальними рівняннями:

(1)

Точку перетину М (х, у) цих прямих знаходимо, розв’язуючи систему рівнянь (1), оскільки координати х, у точки М задовольняють одночасно обидва ці рівняння.

Кут q між даними прямими дорівнює куту між їх нормалями (рис. 3.28).