Нехай вектор а має початок у точці М1(х1, y1, z1), а кінець

є проекціями вектора a на осі х, y, z. Проекції вектора однозначно визначають вектор. Тому виконується рівність

Очевидно, що проекція на вісь х суми a + b векторів a та b дорівнює сумі проекцій на вісь х векторів a, b (рис. 3.15).

Рис. 3.15

● Справді, виконуються рівності

Нехай відомі проекції векторів a та b:

Тоді проекція суми векторів a + b дорівнює сумі відповідних проекцій векторів-доданків:

3.2.2. Множення вектора на число

Означення. Добутком вектора a на число l називається вектор , довжина якого дорівнює . Вектор колінеарний вектору а; має однаковий з ним напрям при і протилежний напрям при . Якщо або , то маємо , тобто добуток є нуль-вектором.

Множення вектора на число має властивість асоціативності та дистрибутивності. Для довільних чисел l, m та векторів a, b справджуються рівності:

(1)

Останню рівність унаочнює рис. 3.16 ().

Рис. 3.16

Ця властивість випливає з подібності трикутників із коефіцієнтом подібності l.

З очевидної рівності

випливає:

Лема. Будь-який вектор a можна єдиним чином подати у вигляді суми трьох векторів, кожний із яких колінеарний одній з осей координат х, у, z.

¨ Справді, нехай М ₁ — початок вектора a, М ₂ — його кінець. Сумістимо точку М ₁ із початком координат. Опустимо з точки М ₂ перпендикуляр на координатну площину ху і позначимо здобуту проекцію М ₃. Із точки М ₃ опустимо перпендикуляр на вісь х. Відповідну проекцію позначимо М ₄. Вектор М ₃ М ₂ колінеарний осі z, вектор М ₄ М ₃ — осі у, а вектор М ₁ М ₄ — осі х.

Звідси, скориставшись одиничними векторами i, j, k, що, як відомо, колінеарні осям х, у, z, дістанемо:

Оскільки виконується рівність (рис. 3.17),

Рис. 3.17

то вектор a можна записати у вигляді:

(2)

Вектори називаються компонентами вектора a.

Отже, кожний вектор дорівнює сумі його компонентів за трьома осями координат.

Якщо вектори a та b подано за їх компонентами:

то для їх лінійної комбінації маємо

. (3)

Дано два вектори:

Знайдемо за формулою (3) вектор

3.2.3. Поділ відрізка
в заданому відношенні

Дано відрізок у тривимірному просторі, кінцями якого є точки М ₁(х ₁, y ₁, z ₁), M ₂(x ₂, y ₂, z ₂). Точка М (х, y, z), узята на прямій, що проходить через точки М ₁, М ₂, поділяє даний відрізок у відношенні l, якщо

М ₁ М = λ ММ ₂.

Спроектувавши цю векторну рівність на осі х, у, z, дістанемо рівняння

Звідси знаходимо координати точки М:

Якщо , то М лежить між точками М ₁ і М ₂. У такому разі говорять, що точка М поділяє відрізок М ₁ М ₂ внутрішнім чином. Якщо , то М не належить відрізку М ₁ М ₂. Тоді говорять, що точка М поділяє відрізок М ₁ М ₂ зовнішнім чином.

У частинному випадку, коли точка М є серединою відрізка М ₁ М ₂, тобто при l = 1, маємо координати середини відрізка М ₁ М ₂:

Дано дві матеріальні точки М ₁(х ₁, у ₁, z ₁) і М ₂(х ₂, у ₂, z ₂), маса яких дорівнює відповідно m ₁ і m ₂. Знайдемо координати центра тяжіння М (х, у, z).

· Точка М поділяє відрізок М ₁ М ₂ у відношенні . Отже, маємо коефіцієнти точки М:

У загальному випадку для системи матеріальних точок з масами координати центра тяжіння знаходяться за формулами

3.2.4. Скалярний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком векторів a і b називається число , що дорівнює добутку довжини цих векторів на косинус кута між ними (рис. 3.18):

(1)

Рис. 3.18

Нехай — проекція вектора b на вісь, паралельну вектору a. Тоді маємо:

(2)

Останнє співвідношення означає, що скалярний добуток двох векторів дорівнює модулю одного з них, помноженому на проекцію другого вектора на напрям першого.

Якщо кут між векторами a та b гострий, то ; якщо тупий, то ; якщо прямий, то . Коли один із векторів a, b є нульовим, то його можна вважати ортогональним до будь-якого іншого вектора.

Наведемо аналітичні властивості скалярного добутку, що випливають із його означення.

Остання рівність є наслідком формули (2) і властивості проекцій суми векторів:

Отже, у разі скалярного множення суми векторів на вектор можна розкривати дужки. Нехай вектори а та b подано через їх проекції на координатні осі:

Запишемо таблицю скалярного множення для одиничних векторів i, j, k — ортів системи координат:

Перемноживши скалярно вектори a та b, знайдемо їх скалярний добуток у проекціях на координатні осі:

(3)

Звідси маємо:

Знаючи проекції векторів а, b, можна знайти кут між цими векторами:

Дано просторовий трикутник з вершинами А (1, 2, –1),
В (2, 4, 1), С (3, 0, 0). Знайдемо кут при вершині А.

· Розглянемо вектори

і з їх скалярного добутку визначимо косинус шуканого кута:

Оскільки скалярний добуток векторів a, b дорівнює нулю, то кут при вершині А прямий. ·

Позначимо a, b, g кути між осями координат х, у, z та вектором a. Ці кути називаються напрямними кутами. Проекції вектора a на координатні осі подаються так:

(4)

Величини називаються напрямними косинусами вектора a. Згідно з (4) маємо:

(5)

Розглянемо вектор a у площині ху, який утворює кут 60° з віссю х і кут 30° з віссю у. Знайдемо напрямні косинуси вектора a:

· . ·

Доведемо теорему косинусів для трикутника.

· Позначивши сторони трикутника векторами a, b, c (рис. 3.19), подамо вектор c через вектори a та b: c = b – a. Далі, виконавши перетворення, дістанемо шукану залежність — відому теорему косинусів:

Рис. 3.19

3.2.5. Векторний добуток векторів

Означення. Векторним добутком векторів a та b називається вектор , який задовольняє такі умови:

1) вектор перпендикулярний до векторів a і b;

2) довжина вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах a та b;

3) якщо звести вектори a, b та до спільного початку, то спостерігач, який міститься в кінці вектора , бачитиме найкоротший поворот від вектора a до вектора b таким, що відбувається проти годинникової стрілки (рис. 3.20).

Рис. 3.20

З означення векторного добутку випливають такі його властивості

Перші три властивості очевидні, останню властивість дистрибутивності наводимо без доведення.

Знайдемо векторний добуток векторів

Запишемо таблицю множення ортів i, j, k:

Виконавши відповідні перетворення, дістанемо:

Векторний добуток векторів a та b можна подати у вигляді визначника:

(1)

Знайдемо площу просторового трикутника з вершинами А (1, 2, 1), В (4, 3, 2), С (2, 4, 4).

· Позначаючи вектори

обчислюємо їх векторний добуток:

Площа S трикутника АВС дорівнює половині площі паралело-
грама, побудованого на векторах a, b:

3.2.6. Мішаний добуток векторів

Означення. Мішаним добутком векторів a, b, c називається число

Мішаний добуток за модулем дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c.

¨ Справді, позначимо .

Вектор d перпендикулярний до основи паралелепіпеда, а довжина його дорівнює площі S паралелограма, побудованого на векторах a та b як на сторонах (рис. 3.21).

Рис. 3.21

Висота h паралелепіпеда дорівнює . Отже, об’єм його обчислюємо так:

Оскільки вектор d може бути напрямлений у протилежний бік, то . ¨

(1)

Звідси маємо:

Знайдемо об’єм V тетраедра з вершинами А (1, 2, 3),
В (4, 4, 4), С (2, 6, 4), D (2, 3, 6).

· Розглянемо вектори

і запишемо їх мішаний добуток:

Шуканий об’єм тетраедра АВСD становить від об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах a, b, c. Отже,

. ·

Пряма на площині

3.3.1. Рівняння прямої
з кутовим коефіцієнтом

Нехай на площині задано пряму у прямокутній системі координат х, у. Кут j між віссю Ох і цією прямою називається кутом нахилу прямої до осі. Тангенс кута нахилу називається кутовим коефіцієнтом розглядуваної прямої. Якщо ця пряма перетинає вісь Оу у точці В з координатами (0, b), то число b називається початковою ординатою. Візьмемо довільну точку М (х, у) на прямій (рис. 3.22).

Рис. 3.22

З прямокутного трикутника МАВ знаходимо рівняння прямої

яке можна подати у вигляді

, де

(1)

Якщо розглядувана пряма паралельна осі Оу, то j = 0,5p і tgj не існує. При цьому пряма має рівняння виду х = а (рис. 3.23).

Рис. 3.23

Координати х, у будь-якої точки М (х, у), що належить прямій, задовольняють рівняння (1). Якщо пряма (1) проходить через точку М ₁(х ₁, у ₁), то справджується рівність

у ₁ = kx ₁ + b,

Віднімаючи почленно цю рівність від рівності (1), дістаємо рівняння прямої, що проходить через задану точку:

(2)

Зі зміною кутового коефіцієнта k в рівнянні (2) утворюються різні прямі, що проходять через точку М ₁(х ₁, у ₁). Рівняння (2) називається рівнянням пучка (в’язки) прямих (рис. 3.24).

Рис. 3.24

Нехай дано дві різні точки М ₁(х ₁, у ₁), М ₂ (х ₂, у ₂), де х ₂ ¹ х ₁. З рівняння (2) випливає вираз для кутового коефіцієнта прямої, що проходить через точки М ₁, М ₂:

(3)

Підставляючи в (3) рівняння (2), знаходимо рівняння прямої, що проходить через дві задані точки М ₁(х ₁, у ₁), М ₂ (х ₂, у ₂):

(4)

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через дві точки М ₁(4, 1), М ₂(2, 3).

· Згідно з (4) маємо:

Ця пряма утворює кут 135° з віссю Ох. ·

Якщо задано вектор , паралельний деякій прямій, і точку М ₀(х ₀, у ₀) на цій прямій, то рівняння прямої можна записати у вигляді

Вектор s називається напрямним вектором прямої.

Щоб побудувати графік прямої, достатньо знати дві її різні точки і через них провести пряму. Якщо пряма перетинає осі координат у точках М ₁(а, 0), М ₂(0, b), а ¹ 0, b ¹ 0, то її можна записати рівнянням

(5)

яке називається рівнянням прямої у відрізках на осях.

Запишемо рівняння прямої

у вигляді (5).

· Значенню у ₁ = 0 відповідає х ₁ = 3. При х ₂ = 0 знаходимо у ₂ = 2. Отже, шукане рівняння прямої подається у вигляді

Пряма перетинає вісь х у точці з координатою х = 3, а вісь у — у точці з координатою у = 2. ·

3.3.2. Кут між прямими

Розглянемо дві прямі, які задано рівняннями

. (1)

Якщо прямі паралельні, то вони мають однакові кути нахилу:

(2)

Дві прямі збігаються, якщо k ₁ = k ₂, b ₁ = b ₂.

Якщо прямі взаємно перпендикулярні, то і

Рівність

є умовою перпендикулярності двох прямих виду (1).

(3)

Якщо прямі не паралельні, то вони перетинаються в точці М (х, у), координати якої є розв’язком системи рівнянь

Нехай q — кут між цими прямими (рис. 3.25).

Рис. 3.25

Згідно з рис. 3.25 маємо: j₂ = j₁ + q (зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним). Отже,

Формулу

застосовують для знаходження кута між двома прямими, заданими рівняннями виду (1).

(4)

У трикутнику з вершинами А (1, 1), В (5, 1), С (2, 4) знайти кут a при вершині А, а також рівняння висоти CD і медіани ВМ (рис. 3.25).

Рис. 3.25

Скориставшись (3), знайдемо кутові коефіцієнти прямих АВ, АС:

Пряма СD перпендикулярна до прямої АВ. Її кутовий коефіцієнт , а відповідне рівняння

у – 4 = – 4(х – 2).

Точка М поділяє відрізок АС пополам. Отже,

Через точки В (5, 2), М проводимо пряму m і згідно з (4) дістаємо:

або . ·

3.3.3. Загальне рівняння прямої

Розглянемо на площині прямокутну систему координат х, у і знайдемо рівняння прямої, коли відомий вектор її нормалі і задано точку М ₀(х ₀, у ₀) на цій прямій. Нехай М (х, у) — довільна точка шуканої прямої (рис. 3.27).

Рис. 3.27

За умовою вектор перпендикулярний до вектора . Тому їх скалярний добуток . Звідси маємо рівняння

(1)

або

(2)

Це рівняння називається загальним рівнянням прямої.

На відміну від рівняння виду (1) змінні х, у входять до рівняння (2) рівноправно. Рівняння (1) завжди можна подати у вигляді (2).

Рівняння прямої (2) можна записати у вигляді (y = kx + b) лише за умови В ¹ 0.

Коефіцієнти А, В при х, у у загальному рівнянні прямої є про-
екціями на координатні осі вектора її нормалі n.

Справджується теорема.

Теорема 1. Будь-яка пряма на площині може бути задана лінійним рівнянням виду (2). Кожне лінійне рівняння виду (2), де А ² + В ² > 0, визначає деяку пряму.

Доведення. Перше твердження теореми було доведено раніше при виведенні рівняння (1). Доведемо друге твердження. Візьмемо довільне лінійне рівняння

Оскільки коефіцієнти при х, у не перетворюються одночасно на нуль, завжди знайдуться значення х = х ₀, у = у ₀, при яких виконується рівність

Ах ₀ + Ву ₀ + С = 0.

Віднімаючи ці рівняння почленно, дістаємо рівність

А (х – х ₀) + В (у – у ₀) = 0. (3)

За допомогою векторів

рівність (3) можна записати у вигляді .

Як бачимо з рис. 3.27, вектор тоді і тільки тоді буде перпендикулярним до ненульового вектора , коли точка М (х, у) лежить на прямій, що проходить через точку М ₀(х ₀, у ₀) перпендикулярно до цього вектора. Звідси випливає рівняння (1), що визначає деяку пряму. Отже, теорему доведено. ¨

Нехай х, у — координати довільної точки на площині. Пряма (2) поділяє всю площину на дві півплощини. В одній півплощині виконується нерівність Ах + Ву + С > 0, а в іншій — нерівність
Ах + Ву + С < 0. На самій прямій маємо: Ах + Ву + С = 0.

Розглянемо частинні випадки рівняння (2):

якщо А = 0, то пряма паралельна осі х;

якщо В = 0, то пряма паралельна осі у;

якщо С = 0, то пряма проходить через початок координат;

якщо А = 0, С = 0, то пряма збігається з віссю х;

якщо В = 0, С = 0, то пряма збігається з віссю у.

Нагадаємо, що пряма проходить перпендикулярно до вектора .

3.3.4. Взаємне розташування двох прямих

Дві прямі задано їх загальними рівняннями:

(1)

Точку перетину М (х, у) цих прямих знаходимо, розв’язуючи систему рівнянь (1), оскільки координати х, у точки М задовольняють одночасно обидва ці рівняння.

Кут q між даними прямими дорівнює куту між їх нормалями (рис. 3.28).