Площина та пряма у просторі
3.5.1. Загальне рівняння площини
Виведемо рівняння площини у тривимірному просторі, узявши точку М 0(х 0, у 0, z 0) на цій площині і вектор 
, перпендикулярний до неї (вектор нормалі). Нехай М (х, у, z) — довільна точка на площині. Ця точка належить площині тоді і тільки тоді, коли вектор 
перпендикулярний до вектора 
(рис. 3.49).
Рис. 3.49
Умова перпендикулярності вектора
до вектора подається у вигляді
(1)
Дістали рівняння площини, що проходить через задану точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно до заданого вектора.
Якщо позначимо сталу величину
, (2)
то рівняння (1) набере вигляду
(3)
Рівняння (3) є лінійним відносно координат х, у, z.
Справджується така теорема.
Теорема. Будь-яка площина у тривимірному просторі визначається лінійним рівнянням (3). Кожному лінійному рівнянню при відповідає в цьому просторі деяка площина.
Доведення. Перше твердження теореми було доведено раніше. Доведемо, що будь-якому лінійному рівнянню виду (3) відповідає деяка площина. Візьмемо вектор і знайдемо числа х 0, у 0, z 0, які задовольняють рівняння
(4)
Розглянемо тепер дві точки М 0( х 0, у 0, z 0), М ( х, у, z ). Згідно з (3) та (4) рівняння (1) можна записати у векторному вигляді:
.
Отже, вектор 
перпендикулярний до вектора n. Це означає, що точка М (х, у, z) належить площині, яка проходить через точку М 0(х 0, у 0, z 0) і перпендикулярна до вектора n. Теорему доведено. ¨
З доведення випливає, що в загальному рівнянні площини коефіцієнти А, В, С при х, у, z є проекціями вектора, перпендикулярного до площини цієї площини.
За допомогою векторів
запишемо рівняння площини у векторній формі:
,
або
Розглянемо функцію трьох змінних
.
За допомогою цієї функції увесь простір можна розбити на два півпростори: в одному виконується нерівність 
, а в іншому — нерівність 
. На площині, яка розмежовує ці підпростори, виконується рівність 
.
3.5.2. Дослідження загального
рівняння площини
Якщо одна з координат х, у, z не входить до рівняння поверхні 
, то зі зміною цієї координати вид поверхні не змінюється. Така поверхня буде циліндричною із твірною, що паралельна осі, яка відповідає зазначеній координаті.
Дамо інтерпретацію загального рівняння площини
в разі, якщо один або кілька його коефіцієнтів перетворюються на нуль.
1. А = 0 — площина паралельна осі х.
2. В = 0 — площина паралельна осі у.
3. С = 0 — площина паралельна осі z.
4. D = 0 — площина проходить через початок координат.
5. А = 0, В = 0 — площина перпендикулярна до осі z.
6. А = 0, С = 0 — площина перпендикулярна до осі у.
7. В = 0, С = 0 — площина перпендикулярна до осі х.
8. А = 0, D = 0 — площина проходить через вісь х.
9. В = 0, D = 0 — площина проходить через вісь у.
10. С = 0, D = 0 — площина проходить через вісь z.
11. А = 0, В = 0, D = 0 — площина проходить через осі х, у.
12. А = 0, С = 0, D = 0 — площина проходить через осі х, z.
13. В = 0, С = 0, D = 0 — площина проходить через осі у, z.
У загальному випадку, коли жодний із коефіцієнтів рівняння не перетворюється на нуль, рівняння площини можна звести до вигляду
(1)
Площина, що визначається рівнянням (1), перетинає осі координат у точках х = а, у = b, z = c. Тому рівняння (1) називається рівнянням площини у відрізках на осях.
Зведемо рівняння площини
до вигляду (1). Для цього поділимо обидві його частини на 6:
.
Отже, площина перетинає осі координат у точках х = 3, у = 2, z = 6. ·
3.5.3. Рівняння площини,
що проходить через три точки
Нехай дано три точки М 1(х 1, у 1, z 1), М 2(х 2, у 2, z 2), М 3(х 3, у 3, z 3), які не лежать на одній прямій. Знайдемо рівняння площини, яка проходить через ці три точки. Записавши рівняння
складемо систему:
Оскільки ця однорідна система рівнянь має ненульовий розв’язок А, В, С, то її визначник дорівнює нулю:
(1)
1. Рівняння (1) є рівнянням площини, що проходить через три точки.
¨ Справді, рівняння (1) є лінійним і, відповідно, визначає деяку площину. Точки 
лежать на цій площині, оскільки при підставлянні 
у визначник (1) дістанемо визначник з нульовим рядком або двома однаковими рядками.
Запишемо рівняння площини, яка проходить через три точки М 1(1, 1, 1), М 2(2, 3, 4), М 3(4, 3, 1).
· Рівняння (1) набирає вигляду:
.
Розкривши визначник, дістанемо рівняння
. ·
3.5.4. Відстань від точки до площини
Дано площину
і точку М 1(х 1, у 1, z 1) поза нею. Знайдемо відстань від точки М 1 до площини. Нехай точка М 0(х 0, у 0, z 0) лежить на площині. Тоді відстань d від точки М 1 до площини дорівнює модулю проекції вектора 
, на нормаль до площини (рис. 3.50).
Рис. 3.50
Отже,
.
Оскільки
то
(1)
Знайдемо відстань d від точки М 1(1, 2, 3) до площини, заданої рівнянням 
.
· Згідно з (1) маємо:
. ·
Рівняння площини, записане у вигляді
де знак перед радикалом протилежний знаку D, називається нормальним рівнянням площини. Якщо D = 0, то вибір знака неістотний.
Щоб знайти відстань від точки М 1(х 1, у 1, z 1) до площини, слід підставити координати цієї точки в нормальне рівняння площини і знайти модуль здобутої величини.
Величина
називається відхиленням точки М(х, у, z) від площини.
Модуль відхилення дорівнює відстані від точки М ( х, у, z ) до площини. Якщо 
, то точка М ( х, у, z ) і початок координат лежать по один бік від розглядуваної площини; якщо 
, — по різні боки; якщо 
, то М лежить на цій площині.
Коли маємо дві площини, які перетинаються й подаються рівняннями
то бісектральні площини визначаються рівнянням
(2)
3.5.5. Взаємне розміщення двох площин
Нехай дано дві площини, які визначаються загальними рівняннями
.
Розглянемо вектори нормалей до кожної з площин:
.
Кут q між площинами визначається кутом q між векторами 
. Отже, справджується рівність
. (1)
Умова перпендикулярності площин така:
. (2)
Умова паралельності площин:
. (3)
