Знайти центр і радіус кола, рівняння якого

Метод координат

3.1.1. Декартові координати на площині

Означення. Віссю називається напрямлена пряма. Вісь називається числовою, якщо на ній вибрано початок координат і одиницю масштабу. Початок координат поділяє вісь на дві пів­осі — додатну і від’ємну. Координатою точки на осі називається відстань від цієї точки до початку координат, що береться зі знаком «плюс», якщо точка лежить на додатній півосі, і зі знаком «мінус», якщо вона лежить на від’ємній півосі.

Розміщення точки на осі повністю визначається її координатою.

Положення точки на площині визначається двома координатами, які відшукують так.

Проводять дві взаємно перпендикулярні прямі Ох і Оу (рис. 3.1). Їх називають осями координат. Одна з них Ох (її, здебільшого, проводять горизонтально) називається віссю абсцис, а інша — віссю ординат. Точка О їх перетину називається початком координат. Для вимірювання відрізків на осях координат вибирають деяку одиницю масштабу (довільну, але одну й ту саму для обох осей).

На кожній осі вибирають додатний напрям, який позначають стрілкою.

Додатний напрям вибирають так, щоб додатний промінь Ох після повороту на 90° проти годинникової стрілки суміщався з додатним променем Оу.

Осі координат Ох, Оу (з установленими додатними напрямами та вибраним масштабом) утворюють прямокутну систему координат *.

Розміщення точки М на площині у прямокутній системі координат визначається так. Проводимо пряму, що проходить через точку М паралельно осі Оу, і продовжуємо її до перетину з віссю Ох у точці М_х (рис. 3.1), а також пряму, що проходить через цю саму точку паралельно осі Ох до перетину з віссю Оу у точці М_у. Числа х і у, які вимірюють відрізки ОМ_х та ОМ_у у вибраному масштабі (а іноді й самі ці відрізки), називаються прямокутними координатами точки М. Записують: М (х, у).

Рис. 3.1.

Число х називають абсцисою точки М, а число у — її ординатою.

Для довільної пари чисел х, у існує єдина точка М, в якої х є абсцисою, а у — ординатою.

Поряд із декартовою застосовують і інші системи координат (наприклад, полярну систему).

3.1.2. Відстань між точками. Коло

Нехай на площині ху задано дві точки М ₁(х ₁, у ₁), М ₂(х ₂, у ₂). Знайдемо відстань d між ними (рис. 3.2).

Рис. 3.2

За теоремою Піфагора маємо:

Звідси знаходимо відстань .

(1)

Нехай на площині ху задано деяку криву.

Означення. Рівняння називається рівнянням кривої, якщо це рівняння задовольняють координати будь-якої точки цієї кривої і не задовольняють координати будь-якої точки, що не належить їй.

Запишемо рівняння кола з центром у точці C (a, b) і радіусом R. Візьмемо для цього довільну точку М (х, у) на такому колі. Оскільки відстань від точки М до центра кола С дорівнює R, то рівняння

(2)

є шуканим рівнянням кола.

У загальному випадку рівняння кола набирає вигляду

(3)

де a, b, c — деякі числа.

Знайти центр і радіус кола, рівняння якого

· Виділимо повний квадрат щодо х і щодо у, подавши рівняння кола в загальному вигляді:

Звідси випливає, що центр кола лежить у точці С (4, –3), а радіус кола R = 5.

Якщо точки на кривій задаються системою рівнянь

(4)

то рівняння (4) називається параметричним рівнянням кривої.

Запишемо параметричне рівняння кола з центром у точ­ці C (a, b) і радіусом R (рис. 3.3).

 

 

Рис. 3.3

· Нехай t — кут графіка між відрізками СМ і СK. Тоді з трикутника МСK і того, що x = CK + a, y = MK + b, знаходимо параметричне рівняння кола:

(5)

3.1.3. Точки перетину кривих

Нехай на площині дано дві криві, рівняння яких . Оскільки координати точки перетину цих кривих задовольняють одночасно обидва рівняння, то зазначені координати можна знайти, розв’язавши систему рівнянь

(6)

Знайдемо точки перетину двох кіл, які задано рівняннями

.

· Розв’язавши цю систему рівнянь, дістанемо два розв’язки:

При кола перетинаються у двох різних точках (рис. 3.4).

 

·

Рис. 3.4

3.1.4. Перетворення координат

Одна й та сама лінія подається різними рівняннями в різних системах координат. Часто доводиться, знаючи рівняння деякої лінії в одній системі координат («старій»), відшукувати рівняння тієї самої лінії в іншій системі («новій»).

Нехай на площині задані дві системи координат: ху — стара і х ₁ у ₁ — нова. Знайдемо співвідношення між старими і новими координатами будь-якої точки в різних випадках.

Нехай осі нової системи координат паралельні осям старої системи і однаково з ними напрямлені (рис. 3.5).

 

 

Рис. 3.5

 

Нехай початок О ₁ нової системи координат має координати а, b у старій системі.

Згідно з рис. 3.5 маємо рівності

(7)

якими старі координати подаються через нові.

Візьмемо тепер систему координат, осі якої повернуто на кут j відносно осей системи (рис. 3.6).

 

 

Рис. 3.6

Позначимо через r відстань від точки М до спільного початку координат О ₁ розглядуваних систем і запишемо координати цієї точки:

Остаточно подамо координати через координати :

(8)

Оскільки система координат повернута на кут –j відносно системи координат , то маємо співвідношення:

Розглянемо загальний випадок, коли нова система координат повернута на кут j відносно старої системи координат ху і початок О ₁ нової системи координат має старі координати а, b (рис. 3.7).

Рис. 3.7

Із системи рівнянь (7), (8) виражаємо старі координати х, у через нові х ₂, у ₂:

(9)

Нові координати точки М через старі подаються так:

Рівняння кривої у старій системі ху координат має вигляд

Знайдемо рівняння кривої в новій системі координат х ₁ у ₁, яка повернута відносно старої на кут j = 45° і має з нею спільний початок.

· Згідно з (8) маємо:

Звідси випливає рівняння кривої в новій системі координат:

·

3.1.5. Декартові координати у просторі

Три взаємно перпендикулярні осі х, у, z, які проходять через деяку точку О, утворюють прямокутну (декартову) систему координат у просторі. Точка О називається початком координат, прямі х, у, z — осями координат (х — вісь абсцис, у — вісь ординат, z — вісь аплікат), а площини хОу, уОz, zOx — координатними площинами. За одиницю масштабу для всіх трьох осей беруть довільний відрізок.

Відклавши на осях х, у, z у додатному напрямі відрізки ОА, ОВ, ОС, що дорівнюють одиниці масштабу, дістанемо три вектори ОА, ОВ, ОС, які називаються основними векторами, або ортами, і позначаються відповідно i, j, k.

Додатні напрями на осях вибирають так, аби поворот на 90°, який суміщує додатний промінь Ох із додатним променем Оу, здавався таким, що відбувається проти годинникової стрілки, коли спостерігати його з боку променя Оz. Така система координат називається правою. Іноді користуються й лівою системою координат. У ній зазначений поворот відбувається за годинниковою стрілкою.

Розміщення будь-якої точки М у просторі можна визначити трьома координатами так. Через М проводимо площини, які паралельні відповідно площинам уOz, zOx, xOy. У перетині з осями дістанемо точки М_х, М_у, М_z. Числа х, у, z, якими вимірюють відрізки ОМ_х, ОМ_у, ОМ_z у вибраному масштабі, називають прямокутними (декартовими) координатами точки М, і записують це так: М (х, у, z).

Якщо М ₁(x ₁, y ₁, z ₁), М ₂(x ₂, y ₂, z ₂) — дві точки у просторі, то відстань d між ними визначається так:

(10)

Означення. Рівняння називається рівнянням поверхні, якщо координати кожної її точки задовольняють це рівняння, а координати жодної точки, яка не лежить на поверхні, не задовольняють його.

Означення. Система рівнянь

яка задає координати точок деякої поверхні, називається параметричним рівнянням цієї поверхні.

Запишемо рівняння довільної кулі із центром у точці C (a, b, c) і радіусом R.

· Кожна точка М (x, y, z), що належить поверхні цієї сфери, міститься на відстані R від центра розглядуваної кулі, а отже, її координати задовольняють рівняння

(11)

Саме воно і є шуканим рівнянням кулі.

Складемо параметричне рівняння кулі, узявши

(12)

Підставивши вирази (12) у рівняння (1), дістанемо очевидну тотожність:

Означення. Поверхня, породжувана рухом прямої лінії (твірної), паралельної нерухомій прямій, називається циліндричною. Будь-яка лінія, котру твірна перетинає в кожному своєму положенні, називається напрямною.

Якщо рівняння поверхні не містить однієї з координат, наприклад z, то це означає, що для всіх значень z вигляд поверхні однаковий. Отже, ця поверхня є циліндричною з твірною, яка паралельна осі z.

Запишемо рівняння прямого кругового циліндра з віссю z і радіусом R (рис. 3.8).

·

Рис. 3.8

Нехай M (x, y, z) — довільна точка на циліндрі, яка лежить на площині, що проходить через вісь z і утворює кут j з віссю х. Координата z = v.

Отже, маємо параметричне рівняння розглядуваної циліндрич­ної поверхні

Виключивши параметри j та v, дістанемо рівняння циліндрич­ної поверхні

Лінію у просторі можна розглядати як результат перетину двох поверхонь і відповідно подавати системою двох рівнянь:

Цю криву можна записати й у параметричній формі

Складемо рівняння спіральної лінії (рис. 3.9).

·

Рис. 3.9

Положення точки М можна визначити координатами:

Запишемо рівняння довільного кола у просторі. Будь-яке коло можна подати як результат перетину двох куль, тобто системою рівнянь

Точка у просторі являє собою результат перетину трьох поверхонь:

Розв’язуючи цю систему рівнянь, знаходимо координати зазначеної точки:

Рівняння останньої системи можна розглядати як рівняння поверхонь — трьох площин, які перетинаються.

Вектори

3.2.1. Додавання та віднімання векторів

Означення. Векторною величиною, або вектором (у широкому розумінні), називається будь-яка величина, що має напрям (наприклад, сила, що діє на матеріальну точку).

Означення. У геометрії вектором (у вузькому розумінні) називається напрямлений відрізок. Напрям відрізка вказується стрілкою. Розрізняють початок і кінець вектора.

Означення. Два вектори називаються рівними між собою, якщо кожний із них можна дістати паралельним перенесенням іншого.

Рівні вектори є паралельними (колінеарними), мають один і той самий напрям і однакову довжину. Довжина вектора а називається також абсолютною величиною, або модулем, вектора і позначається .

Означення. Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо він має нульову довжину, тобто його кінець збігається з початком.

На письмі вектор позначається напівжирним шрифтом.

Щоб знайти суму двох векторів а і b, сумістимо початок вектора b з кінцем вектора а.

Означення. Сумою a + b векторів a та b називається вектор, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець — із кінцем вектора b (рис. 3.10).

Рис. 3.10 Рис. 3.11

 

Додавання векторів комутативне, тобто для довільних векторів a і b справджується рівність (рис. 3.11)

a + b = b + a. (1)

Додавання векторів асоціативне, тобто для будь-яких векторів a, b, c виконується рівність

(a + b) + c = a + (b + c). (2)

Цю властивість, що випливає з означення суми векторів, унаочнює рис. 3.12.

Рис. 3.12

Віднімання векторів — операція, обернена до їх додавання. Різниця b – a векторів a і b являє собою вектор, початок якого збігається з початком вектора a, а кінець — із кінцем вектора b (рис. 3.13).

a + (b – a) = b

Рис. 3.13

Для будь-яких векторів a, b виконуються нерівності:

.

Розглянемо довільний вектор a і вісь х.

Означення. Якщо вектор a утворює кут j з віссю х (рис. 3.14), то проекцією вектора а на вісь називається величина

. (3)

Рис. 3.14

 

Якщо х ₁ — координата проекції початку вектора, а х ₂ — координата проекції кінця вектора на вісь х, то

(4)