Лекции.Орг


Поиск:




Теорема. Коли площини (1) не паралельні, то вибором параметра l в рівнянні (2) можна утворити будь-яку площину, що проходить через пряму (1), окрім другої площини.




 

Складемо рівняння площини, яка проходить через пряму і точку М 1(1, 1, 1).

· Знаходимо загальні рівняння прямої

або

.

Утворимо пучок площин

і визначимо ту з них, якій належить точка М 1(1, 1, 1). Маємо

Остаточно запишемо рівняння шуканої площини:

·

Знайти проекцію прямої, заданої рівняннями на площину .

· Утворимо пучок площин

і візьмемо в ньому таку площину, яка ортогональна до площини проектування:

Остаточно записуємо загальне рівняння проекції:

·

3.5.8. Пряма і площина у просторі

Дано площину

,

а також пряму з канонічним рівнянням

Знайдемо кут j між цією прямою і заданою площиною. Обчислимо насамперед кут між вектором нормалі n і напрямленим вектором прямої s (рис. 3.51).

.

Рис. 3.51

Згідно зі співвідношенням

маємо:

(1)

Умова паралельності площини та прямої:

, . (2)

Умова перпендикулярності прямої і площини:

. (3)

Щоб знайти точку перетину прямої і площини, скористаємося параметричними рівняннями прямої (3) із підрозд. 3.5.6. Підставляючи х, у, z у рівняння площини, дістаємо рівняння для t:

. (4)

1. Якщо , тобто пряма не паралельна площині, то пряма і площина перетинаються в одній точці.

2. Якщо , то пряма паралельна площині. Якщо , тобто точка М 0(х 0, у 0, z 0) на прямій не лежить на площині, то рівняння (4) не має розв’язків. При цьому пряма проходить на деякій ненульовій відстані від площини.

3. Якщо , то рівняння (4) виконується при всіх значеннях t. Усі точки на прямій належать площині.

Знайти проекцію точки М 0(1, 2, 3) на площину .

· Для розв’язування задачі достатньо з точки М 0 опустити на площину перпендикуляр і знайти точку його перетину з площиною (рис. 3.52).

Рис. 3.52

 

Напрямний вектор прямої s колінеарний до вектора n нормалі до площини. Маємо . Отже, рівняння перпендикуляра:

.

Підставивши вирази

у рівняння площини, дістанемо t

З параметричних рівнянь прямої знаходимо координати точки проекції М 1(х 1, у 1, z 1)

·

3.5.9. Відстань від точки до прямої

1. Щоб знайти відстань d від точки М 0(х 0, у 0, z 0) до прямої

яка проходить через точку М 1(х 1, у 1, z 1), можна через точку М 0 провести площину, перпендикулярну до прямої, знайти точку М 2(х 2, у 2, z 2) перетину прямої та площини і обчислити відстань d між точками М 0, М 2 (рис. 3.53).

Рис. 3.53

Знайдемо відстань від точки М 0(1, 2, – 1) до прямої

.

· Проведемо через точку М 0 площину, перпендикулярну до прямої

.

Складемо параметричне рівняння прямої

і знайдемо точку перетину прямої та площини:

Отже,

2. Другий спосіб визначення відстані від точки до прямої полягає в застосуванні апарату векторного виразу. Побудуємо паралелограм на векторах (рис. 3.54).

Рис. 3.54

Площу S цього паралелограма можна знайти за формулою

·

Звідси маємо:

(1)

Обчислимо відстань від точки М 0(1, 2, – 1) до прямої .

· За формулою (1) дістаємо:

·

3. Відстань від точки до прямої є найкоротшою серед відстаней між цією точкою і точками прямої. Скористаємося канонічним рівнянням прямої

.

Знайдемо квадрат відстані між точкою М (х, у, z) і точкою М 0(х 0, у 0, z 0):

.

Необхідна умова мінімуму d ¢(t) = 0 набирає вигляду

.

Звідси маємо екстремальне значення t:

.

Знаючи t 0, знаходимо відстань .

Знайдемо відстань від точки М 0(1, 2, – 1) до прямої .

· Складемо параметричне рівняння прямої

і обчислимо мінімум функції, якою подається шукана відстань:

Знайдемо похідну і мінімальну відстань:

·

3.5.10. Взаємне розміщення двох прямих

Дано дві прямі, що визначаються рівняннями

(1)





Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2017-03-18; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 277 | Нарушение авторских прав


Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Победа - это еще не все, все - это постоянное желание побеждать. © Винс Ломбарди
==> читать все изречения...

773 - | 746 -


© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.013 с.