Складемо рівняння площини, яка проходить через пряму 
і точку М 1(1, 1, 1).
· Знаходимо загальні рівняння прямої
або
.
Утворимо пучок площин
і визначимо ту з них, якій належить точка М 1(1, 1, 1). Маємо
Остаточно запишемо рівняння шуканої площини:
·
Знайти проекцію прямої, заданої рівняннями 
на площину 
.
· Утворимо пучок площин
і візьмемо в ньому таку площину, яка ортогональна до площини проектування:
Остаточно записуємо загальне рівняння проекції:
·
3.5.8. Пряма і площина у просторі
Дано площину
,
а також пряму з канонічним рівнянням
Знайдемо кут j між цією прямою і заданою площиною. Обчислимо насамперед кут 
між вектором нормалі n і напрямленим вектором прямої s (рис. 3.51).
.
Рис. 3.51
Згідно зі співвідношенням
маємо:
(1)
Умова паралельності площини та прямої:
, 
. (2)
Умова перпендикулярності прямої і площини:
. (3)
Щоб знайти точку перетину прямої і площини, скористаємося параметричними рівняннями прямої (3) із підрозд. 3.5.6. Підставляючи х, у, z у рівняння площини, дістаємо рівняння для t:
. (4)
1. Якщо 
, тобто пряма не паралельна площині, то пряма і площина перетинаються в одній точці.
2. Якщо 
, то пряма паралельна площині. Якщо 
, тобто точка М 0(х 0, у 0, z 0) на прямій не лежить на площині, то рівняння (4) не має розв’язків. При цьому пряма проходить на деякій ненульовій відстані від площини.
3. Якщо 
, то рівняння (4) виконується при всіх значеннях t. Усі точки на прямій належать площині.
Знайти проекцію точки М 0(1, 2, 3) на площину 
.
· Для розв’язування задачі достатньо з точки М 0 опустити на площину перпендикуляр і знайти точку його перетину з площиною (рис. 3.52).
Рис. 3.52
Напрямний вектор прямої s колінеарний до вектора n нормалі до площини. Маємо 
. Отже, рівняння перпендикуляра:
.
Підставивши вирази
у рівняння площини, дістанемо t
З параметричних рівнянь прямої знаходимо координати точки проекції М 1(х 1, у 1, z 1)
·
3.5.9. Відстань від точки до прямої
1. Щоб знайти відстань d від точки М 0(х 0, у 0, z 0) до прямої
яка проходить через точку М 1(х 1, у 1, z 1), можна через точку М 0 провести площину, перпендикулярну до прямої, знайти точку М 2(х 2, у 2, z 2) перетину прямої та площини і обчислити відстань d між точками М 0, М 2 (рис. 3.53).
Рис. 3.53
Знайдемо відстань від точки М 0(1, 2, – 1) до прямої
.
· Проведемо через точку М 0 площину, перпендикулярну до прямої
.
Складемо параметричне рівняння прямої
і знайдемо точку перетину прямої та площини:
Отже, 
2. Другий спосіб визначення відстані від точки до прямої полягає в застосуванні апарату векторного виразу. Побудуємо паралелограм на векторах 
(рис. 3.54).
Рис. 3.54
Площу S цього паралелограма можна знайти за формулою
·
Звідси маємо:
(1)
Обчислимо відстань від точки М 0(1, 2, – 1) до прямої 
.
· За формулою (1) дістаємо:
·
3. Відстань від точки до прямої є найкоротшою серед відстаней між цією точкою і точками прямої. Скористаємося канонічним рівнянням прямої
.
Знайдемо квадрат відстані між точкою М (х, у, z) і точкою М 0(х 0, у 0, z 0):
.
Необхідна умова мінімуму d ¢(t) = 0 набирає вигляду
.
Звідси маємо екстремальне значення t:
.
Знаючи t 0, знаходимо відстань 
.
Знайдемо відстань від точки М 0(1, 2, – 1) до прямої .
· Складемо параметричне рівняння прямої
і обчислимо мінімум функції, якою подається шукана відстань:
Знайдемо похідну і мінімальну відстань:
·
3.5.10. Взаємне розміщення двох прямих
Дано дві прямі, що визначаються рівняннями
(1)
