Точку можна розглядати як граничний випадок еліпса.

КОНІЧНІ ПЕРЕРІЗИ

3.4.1. Полярні координати

Положення довільної точки М на площині можна визначити за допомогою полярної системи координат. Візьмемо на площині деяку фіксовану точку О, яка називається полюсом.

З точки О проведемо промінь х, який називається полярною віссю. Кожній точці М на площині можна поставити у відповідність два числа: r — відстань точки М до полюса О і j — кут між полярною віссю х і вектором ОМ (рис. 3.32).

Рис. 3.32

Числа r і j називаються полярними координатами точки М. При цьому , а кут j достатньо брати у проміжку [0, 2p].

Означення. Рівняння називається рівнянням кри­вої в полярних координатах, якщо полярні координати точок, які лежать на кривій, і тільки вони задовольняють це рівняння.

Складемо рівняння кола з центром у полюсі і з радіусом рівняння R. Одержимо рівняння r = R.

Складемо рівняння кола радіусом R, що проходить через полюс і має центр на полярній осі (рис. 3.33).

Рис. 3.33

З прямокутного трикутника ONM знаходимо, що

Розглянемо на площині прямокутну систему координат ху з початком у полюсі О (рис. 3.34).

Рис. 3.34

Між декартовими координатами точки М і полярними її координатами існують такі співвідношення:

(1)

На підставі цих залежностей можна скласти рівняння кривої в полярних координатах, якщо відомо рівняння в декартових координатах, і навпаки.

Рівняння кривої, що називається лемніскатою Бернуллі, має в декартових координатах такий вигляд:

Узявши , дістанемо рівняння

Графік лемніскати зображено на рис. 3.35.

Рис. 3.35

Зауважимо, що деякі криві зручніше подавати рівняннями в полярних координатах.

Спіраллю Архімеда називається крива, що визначається рівнянням (рис. 3.36).

 

 

Рис. 3.35

 

Вигляд спіралі Архімеда має пружина в годиннику, доріжка на грамофонній платівці і т. ін.

Логарифмічною спіраллю називається крива виду

Ця крива характеризується тим, що кут між нею та її радіусом-вектором є сталим (рис. 3.37).

Рис. 3.37

3.4.2. Конічні перерізи

Означення. Конічним перерізом називається крива, по якій круговий конус перетинається довільною площиною, що не проходить через його вершину (рис. 3.38).

 

Рис. 3.38

Коли зазначена площина перетинає всі твірні конуса, у перерізі утворюється крива a, яка називається еліпсом.

Крива b, яка утворюється в тому разі, коли площина перерізу паралельна єдиній твірній конуса, називається параболою.

Якщо площина перерізу паралельна двом твірним конуса, відповідна крива g називається гіперболою. При цьому площина перетинає обидві порожнини конуса, тому гіпербола розпадається на дві вітки.

Усі конічні перерізи мають спільні властивості, які полягають ось у чому.

Означення. Кожний конічний переріз, крім кола, являє собою геометричне місце точок площини, відношення відстаней яких від деякої фіксованої точки F, що називається фокусом, і деякої прямої, що називається директрисою, є величина стала. Це так званий ексцентриситет. Позначають його e.

При конічний переріз є еліпсом, при — параболою, а при — гіперболою.

Складемо рівняння конічного перерізу в полярних координатах, беручи за фокус полюс. Полярну вісь проведемо перпендикулярно до директриси a (рис. 3.39).

Рис. 3.39

Відстань від фокуса до директриси позначимо р. Відстань d до директриси дорівнює або залежно від того, праворуч чи ліворуч від директриси міститься точка. Тепер записуємо рівняння конічного перерізу

або

(2)

Звідси маємо:

Для еліпса і параболи у формулі (2) береться знак «+», для гіперболи — обидва знаки. На рис. 3.40 зображено конічні перерізи при різних значеннях e.

Рис. 3.40

Запишемо рівняння конічних перерізів у декартових координатах. Згідно з (2) маємо:

Узявши до уваги (1), дістанемо:

,

або

(3)

Спростимо запис рівняння при різних значеннях e.

1. При e = 1:

Позначивши

прийдемо до канонічного рівняння параболи

(4)

2. При виділимо в рівнянні (3) повний квадрат. Тоді дістанемо рівняння

Узявши нові координати

дістанемо рівняння

або

Для скорочення запису застосуємо позначення:

(5)

Остаточно маємо канонічне рівняння еліпса

(6)

При утворюється канонічне рівняння гіперболи:

(7)

3.4.3. Парабола

Означення: Канонічним рівнянням параболи називається рівняння виду

(1)

Ця крива розміщена симетрично відносно осі х, оскільки заміна у на – у в її рівнянні не змінює його. Точка О перетину осі симетрії з параболою називається вершиною параболи (рис. 3.41).

Рис. 3.41

Ексцентристет параболи дорівнює одиниці, а тому . Важливою є так звана оптична властивість параболи, яка полягає в тому, що всі промені, паралельні осі х, після відбиття параболи потрапляють у її фокус F (рис. 3.42).

Рис. 3.42

Візьмемо довільну точку М (х, у) на параболі і проведемо дотичну в точці М. Кутовий коефіцієнт дотичної визначається так:

.

Доведемо, що кут падіння j променя на дотичну дорівнює куту його відбиття g. Достатньо довести, що

тобто або .

Згідно з рис. 3.42 маємо:

Це й доводить оптичну властивість параболи.

Знайдемо координати фокуса параболи

· Беручи

дістанемо рівняння параболи виду (1)

Оскільки , то фокус F має координати . Отже, знаходимо координати фокуса

·

3.4.4. Еліпс

Означення. Канонічним рівнянням еліпса називається рівняння

(1)

Осі координат є осями симетрії еліпса, оскільки рівняння (1) не змінюється в результаті заміни х на – х або у на – у. Початок координат є центром симетрії еліпса. Точки перетину еліпса його осями симетрії називаються вершинами еліпса (рис. 3.43).

Рис. 3.43

1. Увесь еліпс міститься всередині прямокутника .

¨ Справді, із рівняння (1) випливають нерівності:

2. Форму еліпса можна чітко уявити, довівши, що еліпс утворюється з кола стискуванням вздовж однієї з його осей.

¨ Справді, стиснемо коло

уздовж осі у заміною змінної:

(2)

При цьому дістанемо рівняння

що є рівнянням еліпса:

.

Відомо, що в колі діаметр, перпендикулярний до хорди, поділяє її пополам. Окрім того, діаметр, проведений у точку дотику, перпендикулярний до дотичної. При стискуванні кола зберігається така властивість: діаметр еліпса, проведений у точку дотику до нього деякої прямої, поділяє пополам усі хорди, паралельні дотичній. Якщо

являють рівняння діаметра і хорд, які ділять цим діаметром пополам, то при перетворенні координат (2) дістанемо взаємно перпендикулярні прямі

Отже, виконується рівність

. (3)

Діаметр еліпса , називається спряженим до діаметра . Він поділяє пополам усі хорди еліпса, що подаються рівнянням .

Візьмемо на еліпсі довільну точку М ₀(х ₀, у ₀) і проведемо в цій точці дотичну до еліпса. Діаметр, що виходить з точки дотику, має кутовий коефіцієнт . Тому кутовий коефіцієнт k ₂ дотичної подається згідно з (3):

.

Рівняння дотичної набирає вигляду

або

.

Остаточно знаходимо рівняння дотичної до еліпса:	((4)
.

Коли відомі а та b, можемо знайти ексцентриситет e еліпса.

Введемо параметр за формулою

(5)

З рівняння (5) при знаходимо значення с:

Отже,

(6)

3. Доведемо фокальну властивість еліпса, яку можна також взяти за означення еліпса.

Означення. Еліпсом називається геометричне місце точок, сума відстаней яких до двох фіксованих точок, що називаються фокусами, є величина стала.

Відстань між фокусами дорівнює 2 с. Нехай вісь х проходить через фокуси, а вісь у поділяє відрізок між фокусами пополам (рис. 3.44).

Рис. 3.44

Нехай М (х, у) — довільна точка на еліпсі, причому

або

(7)

Звільнимося від ірраціональності в рівнянні

піднісши обидві його частини до квадрата:

Звідси маємо:

(8)

Виконаємо перетворення:

(9)

Оскільки , то рівняння (9) збігається з рівнянням еліпса (1).

Рівняння (8) можна записати у вигляді

4. Прямі, задані рівняннями

є директрисами еліпса (рис. 3.45).

Рис. 3.45

¨ Справді, з рис. 3.45 знаходимо відстані до директрис:

Далі визначаємо відношення фокальних радіусів r ₁, r ₂ до директрис:

Ці відношення, як бачимо, дорівнюють ексцентриситету .

Знайти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що .

· Маємо рівняння

з яких визначаємо а = 5. Рівняння еліпса подається так:

·

3.4.5. Гіпербола

Означення. Канонічним рівнянням гіперболи називаються рівняння

(1)

Ця крива розміщена симетрично відносно осей х та у. Початок координат є центром симетрії гіперболи. З рівняння

випливає, що .

1. Гіпербола утворена двома вітками, які містяться в області

.

¨ Справді, з рівняння (1) маємо:

.

Область, в якій розміщені вітки гіперболи, обмежені прямими	(2)
,
які називаються асимптотами гіперболи.

З рівняння

бачимо, що ï у ïзростає зі зростанням ï х ï при (рис. 3.46).

Рис. 3.46

2. Розглянемо вітку гіперболи, яка визначається рівнянням

,

і доведемо, що при ця вітка наближається до асимптоти з рівнянням .

¨ Справді, маємо такі співвідношення:

.

Багато властивостей гіперболи аналогічні властивостям еліпса.

Означення. Пряма, що проходить через центр симетрії гіперболи, називається її діаметром. Центри всіх хорд гіперболи, що мають рівняння

,

лежать на діаметрі гіперболи, який подається рівнянням .

Діаметри гіперболи

(3)

називаються спряженими. Хорди гіперболи, паралельні одному й тому самому діаметру, поділяються спряженим діаметром пополам. Якщо дотична до гіперболи паралельна деякому діаметру, то спряжений діаметр проходить через точку дотику.

Рівняння дотичної до гіперболи в точці М ₀(х ₀, у ₀) подається у вигляді

. (4)

3. Знайдемо ексцентриситет гіперболи, скориставшись рівнянням (1). Для цього візьмемо

.

Остаточно при маємо:

,

або

(5)

Знайдемо ексцентриситет гіперболи

.

· Маємо: . ·

4. Доведемо фокальну властивість гіперболи, яка може використовуватися для означення гіперболи.

Означення. Гіперболою називається геометричне місце точок, різниця відстаней яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величина стала.

Відстань між фокусами дорівнює 2 с. Проведемо вісь х через фокуси і припустимо, що вісь у поділяє відрізок між фокусами пополам (рис. 3.47).

Рис. 3.47

Візьмемо

або

. (6)

Тут знак «+» для правої вітки гіперболи, а знак «–» — для лівої.

Перетворимо це рівняння гіперболи, позбавившись від ірраціональності:

Отже,

(7)

Звідси:

Остаточно:

Роблячи заміну , дістаємо відоме канонічне рівняння гіперболи.

Рівняння (7) можна подати у вигляді

(8)

Знак «+» відповідає правій вітці гіперболи, знак «–» — лівій.

5. Доведемо, що прямі є директрисами гіперболи (рис. 3.48).

Рис. 3.48

Для довільної точки на правій вітці гіперболи М (х, у) маємо:

.

Обчислюємо відношення фокальних радіусів до відстаней директрис:

.

Ці відношення сталі і дорівнюють ексцентриситету. Це й доводить, що прямі є директрисами.

Дано рівняння директрис гіперболи , відстані між фокусами якої дорівнюють 10. Записати канонічне рівняння гіперболи.

· З рівностей знаходимо , а далі записуємо рівняння . ·

3.4.6. Криві другого порядку

Означення. Кривою другого порядку називається геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння

(1)

де хоча б один із коефіцієнтів відмінний від нуля.

Розглянемо квадратичну форму

а далі знайдемо власні числа матриці

з рівняння

. (2)

Позначимо корені рівняння (2) a, b і ортогональною заміною змінних

де вектори — власні вектори матриці А, перетворимо рівняння (1) до такого вигляду:

. (3)

Нехай , тоді, виділяючи повний квадрат і переміщуючи початок координат, дістанемо рівняння кривої

(4)

1. Якщо , то .

Припустимо, що . При , при , а при .

Точку можна розглядати як граничний випадок еліпса.

2. Якщо , то . Тоді при , а при .

3. Якщо в рівнянні (3) , тобто , то, узявши, наприклад, a = 0, прийдемо до рівняння

. (5)

При виділенням повного квадрата можна звести рівняння (5) до вигляду

Отже, дістали параболу. .

.

Доходимо висновку, що крива другого порядку являє собою або канонічний переріз (еліпс, параболу, гіперболу), або пару прямих (можливо, таких, що збігаються).