Доведення. При кожному значенні l рівняння (5), що є лінійним, визначає деяку пряму. Припустимо, що коефіцієнти при х, у перетворюються на нуль:
Тоді виконується рівність
а це означає, що прямі (1) паралельні.
Нехай М 0(х 0, у 0) є точкою перетину прямих (1):
Звідси випливає, що
тобто пряма (5) проходить через точку М 0(х 0, у 0).
Візьмемо тепер довільну точку площини М 1(х 1, у 1) і виберемо l так, щоб пряма (5) проходила через точку М 1. Для цього має виконуватися рівність
з якої завжди можна визначити l за умови
.
Іншими словами, точка М 1 не повинна лежати на другій прямій (1). Отже, і справді вибором параметра l можна дістати будь-яку пряму, що проходить через точку перетину прямих (1), за винятком другої прямої (1).
Теорему доведено. ¨
Маємо рівняння сторін трикутника:
Знайдемо рівняння його висоти, проведеної з вершини С.
● Складемо рівняння пучка променів, які проходять через вершину С:
Далі за умовою (3) перпендикулярності прямих до АВ маємо:
Звідси знаходимо значення l = 4 і рівняння висоти 2 х + у – 7 = 0. ·
3.3.5. Відстань від точки до прямої
Дано загальне рівняння прямої
Ах + Ву + С = 0 (1)
і точку М 1(х 1, у 1). Знайдемо відстань d від точки М 1 до прямої (1). Візьмемо точку М 0(х 0, у 0) на цій прямій.
Тоді відстань від точки М 1 до прямої дорівнює проекції вектора 
на вектор нормалі 
(рис. 3.29).
Рис. 3.29
Записуємо аналітичний вираз для шуканої відстані:
Оскільки – Ах 0 – Ву 0 = С, то остаточно маємо:
(2)
Означення. Рівняння виду
(3)
називається нормальним рівнянням прямої (1). Знак перед радикалом має бути протилежний знаку вільного члена С. Якщо
С = 0, то вибір знака значення не має.
Узявши в нормальному рівнянні (3)
запишемо його у вигляді
де q — кут між віссю х і вектором нормалі n; р — відстань від прямої до початку координат (рис. 3.30).
Рис. 3.30
Перейдемо до полярних координат, скориставшись рівностями х = r cosj, у = r sinj. Тоді нормальне рівняння прямої набере вигляду
Залежність, записану формулою (2), можна сформулювати як теорему.
Теорема 3. Для того щоб знайти відстань d від точки
М 1(х 1, у 1) до прямої, заданої рівнянням (1), достатньо підставити координати точки х = х 1, у = у 1 у нормальне рівняння прямої і знайти модуль здобутої величини.
Обчислити відстань d від точки М 1(5, 3) до прямої 3 х + 4 у + 3 = 0.
· За формулою (2) знаходимо
·
Нехай маємо загальні рівняння двох прямих, що перетинаються:
(4)
Якщо точка М (х, у) лежить на бісектрисі кутів, утворених прямими (4), то вона однаково віддалена від цих прямих, тобто виконується рівність:
. (5)
Знайти рівняння бісектриси АD трикутника з вершинами А (1, 1), В (6, 3), С (2, 5) (рис. 3.31).
Рис. 3.31
● Згідно з (5) записуємо рівняння двох бісектрис:
Звідси маємо:
(6)
або
(7)
Ці прямі на рис. 3.31 зображено пунктиром. Вони взаємно перпендикулярні. Щоб знайти бісектрису трикутника АВС, підставимо координати точок В (6, 3), С (2, 5) у рівняння (6) і (7). Оскільки точки В, С лежать по різні боки від шуканої бісектриси, то в результаті підставляння координат точок В (6, 3), С (2, 5) у зазначені рівняння дістанемо числа різних знаків.
Справді, для рівняння (6) маємо:
(числа однакових знаків);
для рівняння (7):
(числа різних знаків).
Отже, рівняння (7) визначає шукану бісектрису трикутника АВС. ·
* Крім прямокутної системи координат застосовують і косокутну (кут між осями Ох і Оу відмінний від нуля). Прямокутну і косокутну системи об’єднують під назвою декартової системи координат.
