визначає пучок прямих, які проходять через точку перетину прямих (1). Вибором l можна дістати будь-яку пряму, що проходить через точку перетину прямих (1), крім другої прямої.

Доведення. При кожному значенні l рівняння (5), що є лінійним, визначає деяку пряму. Припустимо, що коефіцієнти при х, у перетворюються на нуль:

Тоді виконується рівність

а це означає, що прямі (1) паралельні.

Нехай М ₀(х ₀, у ₀) є точкою перетину прямих (1):

Звідси випливає, що

тобто пряма (5) проходить через точку М ₀(х ₀, у ₀).

Візьмемо тепер довільну точку площини М ₁(х ₁, у ₁) і виберемо l так, щоб пряма (5) проходила через точку М ₁. Для цього має виконуватися рівність

з якої завжди можна визначити l за умови

.

Іншими словами, точка М ₁ не повинна лежати на другій прямій (1). Отже, і справді вибором параметра l можна дістати будь-яку пряму, що проходить через точку перетину прямих (1), за винятком другої прямої (1).

Теорему доведено. ¨

Маємо рівняння сторін трикутника:

Знайдемо рівняння його висоти, проведеної з вершини С.

● Складемо рівняння пучка променів, які проходять через вершину С:

Далі за умовою (3) перпендикулярності прямих до АВ маємо:

Звідси знаходимо значення l = 4 і рівняння висоти 2 х + у – 7 = 0. ·

3.3.5. Відстань від точки до прямої

Дано загальне рівняння прямої

Ах + Ву + С = 0 (1)

і точку М ₁(х ₁, у ₁). Знайдемо відстань d від точки М ₁ до прямої (1). Візьмемо точку М ₀(х ₀, у ₀) на цій прямій.

Тоді відстань від точки М ₁ до прямої дорівнює проекції вектора на вектор нормалі (рис. 3.29).

 

Рис. 3.29

 

Записуємо аналітичний вираз для шуканої відстані:

Оскільки – Ах ₀ – Ву ₀ = С, то остаточно маємо:

(2)

Означення. Рівняння виду

(3)

називається нормальним рівнянням прямої (1). Знак перед радикалом має бути протилежний знаку вільного члена С. Якщо
С = 0, то вибір знака значення не має.

Узявши в нормальному рівнянні (3)

запишемо його у вигляді

де q — кут між віссю х і вектором нормалі n; р — відстань від прямої до початку координат (рис. 3.30).

Рис. 3.30

Перейдемо до полярних координат, скориставшись рівностями х = r cosj, у = r sinj. Тоді нормальне рівняння прямої набере вигляду

Залежність, записану формулою (2), можна сформулювати як теорему.

Теорема 3. Для того щоб знайти відстань d від точки
М ₁(х ₁, у ₁) до прямої, заданої рівнянням (1), достатньо підставити координати точки х = х ₁, у = у ₁ у нормальне рівняння прямої і знайти модуль здобутої величини.

Обчислити відстань d від точки М ₁(5, 3) до прямої 3 х + 4 у + 3 = 0.

· За формулою (2) знаходимо

·

Нехай маємо загальні рівняння двох прямих, що перетинаються:

(4)

Якщо точка М (х, у) лежить на бісектрисі кутів, утворених прямими (4), то вона однаково віддалена від цих прямих, тобто виконується рівність:

. (5)

Знайти рівняння бісектриси АD трикутника з вершинами А (1, 1), В (6, 3), С (2, 5) (рис. 3.31).

 

Рис. 3.31

 

● Згідно з (5) записуємо рівняння двох бісектрис:

Звідси маємо:

(6)

або

(7)

Ці прямі на рис. 3.31 зображено пунктиром. Вони взаємно перпендикулярні. Щоб знайти бісектрису трикутника АВС, підставимо координати точок В (6, 3), С (2, 5) у рівняння (6) і (7). Оскільки точки В, С лежать по різні боки від шуканої бісектриси, то в результаті підставляння координат точок В (6, 3), С (2, 5) у зазначені рівняння дістанемо числа різних знаків.

Справді, для рівняння (6) маємо:

(числа однакових знаків);

для рівняння (7):

(числа різних знаків).

Отже, рівняння (7) визначає шукану бісектрису трикутника АВС. ·

 

* Крім прямокутної системи координат застосовують і косокутну (кут між осями Ох і Оу відмінний від нуля). Прямокутну і косокутну системи об’єднують під назвою декартової системи координат.