Матричная игра двух игроков с нулевой суммой может рассматриваться как следующая абстрактная игра двух игроков.
Первый игрок имеет стратегий = 1,2,..., , второй имеет n стратегий = 1,2,..., n. Каждой паре стратегий (,) поставлено в соответствие число а, выражающее выигрыш игрока 1 за счёт игрока 2, если первый игрок примет свою - ю стратегию, а 2 свою -ю стратегию.
Каждый из игроков делает один ход: игрок 1 выбирает свою -ю стратегию (= 
), 2 свою -ю стратегию ( = 
), после чего игрок 1 получает выигрыш а за счёт игрока 2 (если а 0, то это значит, что игрок 1 платит второму сумму а ). На этом игра заканчивается.
Каждая стратегия игрока = 
; = часто называется чистой стратегией.
Если рассмотреть матрицу
А = 
то проведение каждой партии матричной игры с матрицей А сводится к выбору игроком 1 -й строки, а игроком 2 -го столбца и получения игроком 1 (за счёт игрока 2) выигрыша а.
Главным в исследовании игр является понятие оптимальных стратегий игроков. В это понятие интуитивно вкладывается такой смысл: стратегия игрока является оптимальной, если применение этой стратегии обеспечивает ему наибольший гарантированный выигрыш при всевозможных стратегиях другого игрока. Исходя из этих позиций, игрок 1 исследует матрицу выигрышей А следующим образом: для каждого значения ( = ) определяется минимальное значение выигрыша в зависимости от применяемых стратегий игрока 2
а ( = )
т.е. определяется минимальный выигрыш для игрока 1 при условии, что он примет свою -ю чистую стратегию, затем из этих минимальных выигрышей отыскивается такая стратегия = о, при которой этот минимальный выигрыш будет максимальным, т.е. находится
а = 
= 
(1).
Определение. Число , определённое по формуле (1) называется нижней чистой ценой игры и показывает, какой минимальный выигрыш может гарантировать себе игрок 1, применяя свои чистые стратегии при всевозможных действиях игрока 2.
Игрок 2 при оптимальном своём поведении должен стремится по возможности за счёт своих стратегий максимально уменьшить выигрыш игрока 1. Поэтому для игрока 2 отыскивается
а
т.е. определяется выигрыш игрока 1, при условии, что игрок 2 применит свою -ю чистую стратегию, затем игрок 2 отыскивает такую свою = 1 стратегию, при которой игрок 1 получит n выигрыш, т.е. находит
= 
= 
(2).
Определение. Число , определяемое по формуле (2), называется чистой верхней ценой игры и показывает, какой максимальный выигрыш за счёт своих стратегий может себе гарантировать игрок 1.
Другими словами, применяя свои чистые стратегии игрок 1 может обеспечить себе выигрыш не меньше , а игрок 2 за счёт применения своих чистых стратегий может не допустить выигрыш игрока 1 больше, чем .
Определение. Если в игре с матрицей А = , то говорят, что эта игра имеет седловую точку в чистых стратегиях и чистую цену игры
u = = .
Седловая точка это пара чистых стратегий (о,о) соответственно игроков 1 и 2, при которых достигается равенство = . В это понятие вложен следующий смысл: если один из игроков придерживается стратегии, соответствующей седловой точке, то другой игрок не сможет поступить лучше, чем придерживаться стратегии, соответствующей седловой точке. Математически это можно записать и иначе:
где , любые чистые стратегии соответственно игроков 1 и 2; (о,о) стратегии, образующие седловую точку.
Таким образом, исходя из (3), седловой элемент 
является минимальным в о-й строке и максимальным в о-м столбце в матрице А. Отыскание седловой точки матрицы А происходит следующим образом: в матрице А последовательно в каждой строке находят минимальный элемент и проверяют, является ли этот элемент максимальным в своём столбце. Если да, то он и есть седловой элемент, а пара стратегий, ему соответствующая, образует седловую точку. Пара чистых стратегий (о,о) игроков 1 и 2, образующая седловую точку и седловой элемент , называется решением игры. При этом о и о называются оптимальными чистыми стратегиями соответственно игроков 1 и 2.
Пример 1
Седловой точкой является пара (о = 3; о = 1), при которой u = = = 2.
Заметим, что хотя выигрыш в ситуации (3;3) также равен 2 = = , она не является седловой точкой, т.к. этот выигрыш не является максимальным среди выигрышей третьего столбца.
Пример 2
Из анализа матрицы выигрышей видно, что 
, т.е. данная матрица не имеет седловой точки. Если игрок 1 выбирает свою чистую максиминную стратегию = 2, то игрок 2, выбрав свою минимаксную = 2, проиграет только 20. В этом случае игроку 1 выгодно выбрать стратегию = 1, т.е. отклониться от своей чистой максиминной стратегии и выиграть 30. Тогда игроку 2 будет выгодно выбрать стратегию = 1, т.е. отклониться от своей чистой минимаксной стратегии и проиграть 10. В свою очередь игрок 1 должен выбрать свою 2-ю стратегию, чтобы выиграть 40, а игрок 2 ответит выбором 2-й стратегии и т.д.
