Финансовая эквивалентность обязательств и конверсия платежей

В предыдущей лекции 6 рассматривались вопросы эквивалентности друг другу различных видов (простых, сложных) ставок, используемых в финансовых операциях одного типа: наращения или дисконтирования.

Естественным образом возникает вопрос «могут ли различного типа финансовые операции быть эквивалентны друг другу?» Критерием эквивалентности для финансовых операций является равенство финансовых результатов рассматриваемых операций. Понимая под финансовым результатом совокупность объема средств и момента времени их получения: «Время – деньги».

Рассмотрим пример. Известен финансовый результат – получение в настоящий момент суммы в 1 000 руб. Его можно обеспечить несколькими способами, например:

1. С использованием операции наращения – предварительным размещением на год депозита в 800 руб. под ставку 25%.

2. С использованием операции дисконтирования – учетом векселя номиналом 1 250 руб. за год до его погашения по той же ставке наращения 25%.

Из приведенного примера следует, что величина 1 000 руб. является сегодняшней ценой или современной стоимостью этих различных по типу операций (дисконтирования и наращения), при этом обе операции на сегодня имеют одинаковый финансовый результат, то есть эквивалентны.

Поскольку каждая из финансовых операций, изначально представляет собой определенное финансовое обязательство (для рассмотренного примера – годовой депозит на 800 руб. и вексель на 1 250 руб. с погашением через год при ставке наращения 25%) появляется основание говорить об эквивалентности обязательств и сформулировать условия их эквивалентности:

Определение: Два финансовых обязательства эквивалентны друг другу в данный (выбранный) момент, если в этот момент времени они имеют одинаковую современную (современную выбранному моменту времени) стоимость.

Следует обратить внимание, что определение эквивалентности обязательств подразумевает знание (или задание) ставки (дисконтирование или наращения), используя которую определяется современная (или текущая) стоимость различных финансовых обязательств. Эта ставка представляет собой «цену», «стоимость» тех денежных средств, которые участвуют в рассматриваемых финансовых обязательствах (см. лекцию 1).

Наличие такой ставки позволяет сравнивать между собой различного рода обязательства путем сравнения их современной стоимости или сравнением их стоимости в некоторый, вообще говоря, произвольный момент времени.

Поскольку любое финансовое обязательство, выражается в платеже (получении или выплате денежных средств) или ряде платежей речь фактически идет о конверсии (лат. conversio – изменение) одних платежей (согласно исходному финансовому обязательству) в другой платеж (платежи) с условием соблюдения финансовой эквивалентности. Говоря о финансовой эквивалентности всегда должно фигурировать в рассмотрении три фактора: объем средств, фактор времени и учетная/процентная ставка. Без двух последних факторов (время и ставка) понятие финансовой эквивалентности вырождается в тривиальное арифметическое равенство объемов средств.

Для того, что бы прокомментировать понятие финансовой эквивалентности рассмотрим процедуру конверсии платежей, то есть процесс замены одного ряда платежей другим.

Пусть задан ряд платежей Q_j в моменты времени t_j (значения в табл. 7.1, рис. 7.1) и годовая ставка сложных процентов i _с = 0,25.

Таблица 7.1

Q / t	t 1	t 2	t 3	t 4
Qi (тыс. руб.)
t (год)

 

Требуется найти платеж Q₀ в момент времени t₀, эквивалентный заданному ряду платежей.

 

 

 

Рис. 7.1

Для этого, используя ставку i_с, приведем платежи к моменту времени t ₀, т.е. найдем их современные стоимости для момента t ₀. Просуммировав современные стоимости платежей Q_j получим величину эквивалентного платежа Q ₀.

Первый из платежей Q ₁ по дате более ранний t ₁ < t ₀ и его стоимость к моменту t ₀ возрастет, поскольку эти средства могут быть размещены и принести доход

P ₁(t ₀) = Q ₁ ´ (1 + i_с)(t ₀ – t ₁)/ T, (7.1)

где

T – период, где определена ставка i_с.

Следующие платежи Q_j по дате более поздние t ₀ < t_j, j =2, 3, 4, следовательно их современная моменту t ₀ стоимость ниже их значений. Согласно правилам дисконтирования их современная моменту t ₀ стоимость определяется выражением

P j(t ₀) = Q_j /(1 + _iс)(t 0 – t_j)/ T. (7.2)

Современная стоимость всех платежей в момент t ₀ будет равна сумме платежей (7.1,7.2)

P = Q ₁ ´ (1 + i_с)(t ₀ – t ₁)/ T + ∑ Q_j /(1 + i_с)(t ₀ – t_j)/ T (7.3)

и будет представлять собой эквивалентный платеж Q ₀ = P в момент времени t ₀.

Поскольку момент времени t ₀ был выбран произвольно, рассматриваемый ряд платежей можно привести, а, следовательно, и заменить эквивалентным платежом для произвольного момента времени, например, для моментов времени t ₁, t ₂, t ₃, t ₄ (см. табл. 7.2).

Таблица 7.2

P / t	t 1	t 2	t 3	t 4
P 1		156,2	195,3	305,1
P 2	128,04			390,6
P 3	128,008			390,5
P 4	49,6	76,8	96,03
Q 0 (tj)	405,648		791,33	1236,2

 

Из таблицы видно, величина эквивалентного платежа Q ₀(t_j) в разные моменты времени t ₁, t ₂, t ₃, t ₄ различна и, как не трудно проверить, с точностью до округления при вычислениях, возрастает согласно наращению по сложной процентной ставке i_с.

Следует так же отметить, что выше рассмотренный метод приведения серии платежей к одному, эквивалентному, легко позволяет привести одну серию платежей к другой серии платежей. В самом простом случае для этого достаточно исходную серию платежей объединить в группы по числу необходимых платежей и каждую группу уже известным способом отдельно приводить к эквивалентному платежу. Например, для замены четырех платежей Q ₁, Q ₂, Q ₃, Q ₄ двумя эквивалентными платежами Q ₅(t ₅) и Q ₆(t ₆), можно объединить платежи попарно, то есть для платежей Q ₁, Q ₂ найти эквивалентный платеж Q (t ₅), а для платежей Q ₃, Q ₄ найти эквивалентный платеж Q (t ₆). Заметим, что моменты времени t ₅ и t ₆ при этом могут быть выбраны по собственному усмотрению, что скажется и на величинах Q (t ₅), Q (t ₆).

При эквивалентной замене нескольких платежей одним говорят о консолидации (объединении) платежей, а соответствующее уравнение (например (7.3)) называют уравнением эквивалентности.

В общем виде, для произвольного момента времени t, уравнение эквивалентности для сложной процентной ставки i_с будет иметь вид:

Q ₀ ´ (1 + i_с)(t – t ₀)/T = ∑ Q_j ´ (1 + i_с)(t – t_j)/ T, (7.4)

где

j – число платежей;

T – период, где определена ставка i_с.

Поскольку момент времени t в данном случае считается произвольным, разность между (t – t ₀) или (t – t_j) может быть как положительна, так и отрицательна. Этот знак указывает, предшествует или последует по времени соответствующий платеж моменту t, а, следовательно знак будет указывать на процесс дисконтирования или наращения, который потребуется при определении современной стоимости платежа в момент времени t.

Пусть для определенности t = 0 тогда (7.4) принимает вид

Q ₀/(1 + i_с) t ₀/ T = ∑ Q_j /(1 + i_с) t_j/T (7.5)

или в случае сроков t ₀, t_j кратных периоду T, n ₀ = t ₀/ T, n_j = t_j / T,

Q ₀/(1 + i_с)n ₀ = ∑ Q_j /(1 + i_с) n_j, (7.6)

где n ₀, n_j уже целые числа.

Заметим, что при нахождении эквивалентных друг другу платежей можно использовать любую из известных ставок: простую ставку наращения i, учетную ставку d, сложную ставку наращения i_c, сложную учетную ставку d_c.

Рассмотрим пример нахождения консолидированного платежа P ₀(t ₀ = 0) для серии из трех платежей Q_i (табл. 7.3) с использованием простой учетной ставки d = 10%.

Таблица 7.3

Qi (тыс.руб.)
t (год)

Поскольку t ₀ = 0 предшествует всем платежам Q_i, то соответственно их современная стоимость P_i в момент времени t ₀ = 0 определяется согласно правилам дисконтирования (см. (2.8) лекцию 2)

P_i (0) = Q_i ´ (1 – d ´ k_i), (7.7)

где

k_i =1, 3, 5 число лет от момента платежа до момента t₀ = 0;

i = 1, 2, 3 номер платежа,

а искомый консолидированный платеж P ₀(0) будет равен сумме современных стоимостей платежей P_i, т.е. уравнение эквивалентности будет иметь вид

P₀ (0) = ∑ P_i (0) = ∑ Q_i ´ (1 – d ´ k_i). (7.8)

Определяя соответствующие величины получаем, что консолидированный платеж P ₀ равен 430 000 руб. (см. табл. 7.4).

Таблица 7.4

Q (тыс. руб.) t (год)	Q 1	Q 2	Q 3	P 0
t 1 = 1
t 2 = 3
t 3 = 5
t 0 = 0