Рассмотрим ежегодную ренту постнумерандо исходной величиной Q с начислением процентов m раз в год по сложной годовой ставке ic (рис. 8.4). Требуется определить обобщающие характеристики – ее современную стоимость A и наращенную сумму S за n лет.
 |
Рис. 8.4
Число членов ренты равно n, на величину Q каждого из них m раз в год постнумерандо, начисляются проценты по сложной годовой ставке ic, то есть каждый из членов ренты, согласно правилам начисления процентов m раз в год по сложной годовой ставке ic (см. (3.5) лекция 3) равен сумме исходной величины Q и начисленных m раз в год процентов
Rj = Q ´ (1 + ic / m) m, где j = 1, 2, 3, …..., n. (8.12)
То есть рента представляет собой ряд денежных средств (рис.8.5) величиной (8.12).
 |
Рис. 8.5
Ряд денежных средств Rn, представляющий исходную ренту Q с учетом m раз в году начисленных процентов, будет иметь вид:
R 1 ´ (1+ ic / m) n -1, R 2 ´ (1+ ic / m) n -2,..., Rn -1 ´ (1+ ic / m) m, Rn (8.13)
с учетом (8.12)
Q ´ (1 + ic / m) m ´ (1 + ic/m) n -1,..., Q ´ (1 + ic / m) m ´ (1 + ic / m) m, Q ´ (1 + ic / m) m (8.14)
или переписав в обратном порядке приходим к виду, аналогичному (8.6)
Q ´ (1+ ic / m) m ´ [1, q, q 2, q 3, …, qn -1], (8.15)
где
q = (1 + ic / m) – знаменатель прогрессии.
Теперь остается воспользоваться формулами (8.10), (8.11) для нахождения искомых величин наращенной суммы S и современной стоимости A ренты.
S = Q ´ (1 + ic / m) m ´ (qn – 1)/(q – 1), (8.16)
A = S / qn = Q ´ (1 + ic / m) m ´ (qn – 1)/(q – 1) ´ qn, (8.17)
где
q = (1 + ic / m).
Рента «p -срочная»
Рента, платежи по которой осуществляются несколько раз в году, называется p -срочной рентой (рис. 8.6). Единичная величина выплаты такой ренты равна Q / p, где Q соответственно величина выплат за год. Проценты по годовой ставке сложных процентов ic могут начисляться как раз в год в конце года (период начисления T), так и m раз в год в конце каждого из периодов T /m.
Рассмотрим случай когда период начисления процентов T/ m совпадает с периодом осуществления платежей T/p, то есть m = p.
 |
Рис. 8.6
Общее число членов ренты равно p ´ n, где n количество лет, определяющее срок ренты, p – число платежей в год. На величину каждого платежа Q / p на каждом отрезке времени T/p начисляются проценты, проценты при этом начисляются по годовой сложной ставке ic. Требуется определить обобщающие характеристики – современную стоимость A и наращенную сумму S ренты за n лет.
Для того, что бы воспользоваться предыдущими результатами для нахождения величин наращенной суммы и современной стоимости, искомую величину S необходимо представить сумму всех выплат с учетом начисленных по ставке ic сложных процентов в виде геометрической последовательности (подобно 8.6 или 8.15). При этом возникает вопрос о порядке начисления процентов по сложной ставке ic за некратные величине T периоды времени T/p. Так, для первого платежа полный период начисления процентов составляет величину n ´ T–T/p, то есть проценты на первый платеж будут начисляться (n ´ T–T/p)/(T/p)= n ´ p – 1 раз.Для второго платежа полный период начисления процентов составляет n ´ T –2 T / p, следовательно число начислений процентов будет равно n ´ p – 2 раз,для третьего - n ´ T –3 T / p, число начислений процентов n ´ p – 3 рази так далее, наконец, для предпоследнего платежа период начисления процентов T / p и проценты начисляются один раз (см. рис. 8.5).
Начисление процентов по сложной ставке за периоды некратные периоду на котором определена ставка предполагает (см. лекцию 3 раздел Начисление сложных процентов за произвольный отрезок времени) выбор способа начисления (математический подход, смешанный способ), а следовательно и обоснования выбора того или иного способа. Избежать проблем выбора и последующих неизбежных рассуждений в обоснование применительно к данной задаче (нахождения величин A и S) возможно проделав следующие предварительные рассуждения.
Введем в рассмотрение ставку сложных процентов iР, определенную на временном отрезке T / p = T / m (поскольку m = p). Из условия эквивалентности результатов наращения по ставкам iР и ic за период T справедливо соотношение, которое связывает значение ставки iР со ставкой ic.
(1 + iР) p = (1 + ic) или (1 + iР) = (1 + ic)1/ Р . (8.18)
В дальнейшем мы будем использовать выражение (8.18) при нахождении величин S и P.
Используя введенную ставку iР найдем наращенную по этой ставке iР сумму рассматриваемой ренты (рис.8.5)
(Q / p) ´ (1 + iР) n ´P-1+(Q / p) ´ (1+ iР) n ´ P-2 +... + (Q / p) ´ (1 + iР) + Q / p,
а с учетом ранее полученного соотношения между ставками iР и ic (8.18) получаем
(Q / p) ´ [(1 + iс)(n ´ P–1)/ P + (1 + iс)(n ´ P–2)/ P + …... + (1 + iс)1/ P + 1],
перегруппируем полученное выражение к виду
(Q / p) ´ [1 + (1 + iс)1/ P +... …+ (1 + iс)(n ´ P –2)/ P + (1+ iс)(n ´P m –1)/ P ], (8.19)
выражение (8.19) можно представить в виде подобном (8.6) или (8.15)
(Q / p) ´ [1, q, q 2, q 3,… …..., q (n * P –1)], (8.20)
где
q = (1 + iс)1/ P – знаменатель геометрической прогрессии стоящей в квадратных скобках;
m ´ n – число членов геометрической последовательности.
Теперь для нахождения искомых величин S и P воспользуемся соотношениями (8.10), (8.11)
S = (Q / p) ´ (qn ´ P– 1)/(q – 1), (8.21)
A = S / qn ´ P = [(Q / p) ´ (qn ´ P – 1)/(q – 1)]/ qn ´ P, (8.22)
где
q = (1 + iс)1/ P – знаменатель геометрической прогрессии (8.20);
p – число выплат ренты на периоде T, которое по условиям нашей задачи равно m.
С учетом сказанного после преобразований (8.21) (8.22) будет иметь вид
S = (Q / p) ´ ((1 + iс) n – 1)/((1 + iс)1/ P – 1)), (8.23)
A = [(Q / p) ´ ((1 + iс) n – 1)/((1 + iс)1/ P – 1)]/(1 + iс) n . (8.24)
Приведенным выше алгоритмом, определяя знаменатель соответствующей геометрической прогрессии, задачу нахождения наращенной суммы S и современной стоимости A ренты можно применять к различного рода рентам простнумерандо с различно рода способами начисления сложных процентов.
 |
Рис. 8.7
ВОПРОСЫ
1. Наращение, процентные деньги, процентная ставка, коэффициент наращения.
2. Временная база процентной ставки. Различия в определении годовой базы. Правила исчисления дней в году и времени операции.
3. Наращение по правилу простых процентов. База начисления простых процентов. Коэффициент наращения при наращении по правилу начисления простых процентов.
4. Начисление простых процентов за произвольный период времени.
5. Начисление простых процентов m раз на периоде временного основания простой ставки наращения.
6. Начисление простых процентов при изменяющейся ставке. Коэффициент наращения.
7. Начисление простых процентов при изменении базы начисления, процентное число, процентный делитель.
8. Погашение задолженности по частям. Методы погашения задолженности с промежуточными платежами.
9. Актуарный метод погашения задолженности с промежуточными платежами.
10. Правило торговца при погашении задолженности.
11. Отличие актуарного способа погашения задолженности частями от правила торговца.
12. Дисконт, дисконтирование. Учетная ставка. Ограничения на значение учетной ставки.
13. Дисконтирование m раз на периоде, где определена учетная ставка.
14. Дисконтирование с использованием ставки наращения, наращение с использованием учетной ставки.
15. Прямая и обратная задачи наращение и дисконтирования. Сравнение наращение и дисконтирования по простым ставкам наращения и дисконтирования.
16. Наращение по учетной ставке.
17. Дисконтирование по ставке наращения.
18. Правило начисления процентных денег по сложной ставке наращения. Капитализация процентных денег.
19. Отличие в базе начисления простых и сложных процентов. Структура процентных денег при сложной ставке наращения.
20. Начисление процентных денег при изменении значения сложной ставки начисления. Коэффициент наращения.
21. Результаты наращения при начислении процентных денег m раз на периоде, где определена сложная ставка наращения.
22. Начисление по сложной ставке наращения за произвольный период времени.
23. Понятие эффективной ставки. Сравнение темпов роста наращения по простой и сложной ставке наращения, в том числе, с m раз начислением на периоде.
24. Сложная учетная ставка. Процесс дисконтирования по сложной учетной ставке.
25. Эффективная и номинальная учетные ставки
26. Эквивалентность ставок простых и сложных, наращения и дисконтирования. Уравнения для определения значений эквивалентных ставок.
27. Сравнение коэффициентов наращения и дисконтирования при одинаковых значениях сложных и простых ставок наращения и дисконтирования.
28. Определение параметров при дисконтировании по сложным учетным ставкам: современной стоимости, срока дисконтирования, учетной ставки.
29. Определение параметров при наращении по сложной ставке: наращенной суммы, срока наращения, ставки наращения.
Лекция 9
