Определение срока консолидированного платежа

Ели при объединении (консолидации) платежей Q_i величина консолидированного платежа Q ₀ заранее известна, то возникает вопрос о нахождении срока t ₀ осуществления этого платежа.

Срок осуществления консолидированного платежа можно определить из уравнения эквивалентности поскольку это единственная неизвестная в этом уравнении величина.

Рассмотрим случай определения срока консолидированного платежа с использованием простой ставки наращения i. Для этого найдем сумму современных стоимостей платежей P_i и приравняем стоимости консолидированного платежа P ₀ для начального момента времени. Начальный момент времени заведомо предшествует всем платежам и современная начальному моменту времени стоимость любого платежа определится дисконтированием по ставке наращения. То есть, уравнение эквивалентности будет иметь вид

P ₀/(1 + i ´ t ₀/ T) = ∑ P_j /(1 + i ´ t_j / T), (7.9)

где

t_j – известные, а t ₀ – искомый сроки платежей P_j и P ₀ соответственно;

i – ставка наращения, определенная на периоде T.

Из (7.9) следует, что срок t ₀ консолидированного платежа P ₀ равен

t ₀ = ((P ₀/∑ P_j /(1 + i ´ t_j / T)) – 1) ´ (T / i), (7.10)

а в случае в случае значений t ₀, tj, кратных величине T, n ₀ = t ₀/ T, n_j = t_j / T выражение (7.10) принимает вид

n ₀ = ((P ₀/∑ P_j /(1 + i ´ n_j)) – 1) ´ (1/ i), (7.11)

где n_j, n ₀ целые числа.

В заключении следует отметить, что использование сложной учетной ставки при конверсии и консолидировании платежей принципиально не отличается от вышерассмотренных случаев.

ПРИМЕР 1. Петров имеет два векселя, подписанные Ивановым, один с датой погашения через 3 года на 100 тыс. руб. и второй на 200 тыс. руб. – через 8 лет. Петров с Ивановым договорились, что деньги стоят i_с = 6%. Если Петров получит 50 тыс. руб. сейчас, сколько должен заплатить Иванов через 5 лет, погашая весь долг?

Решение: Обозначим сумму, погашаемую через 5 лет через X. Задача состоит в определении X таким образом, чтобы серия «50 тыс. рублей сейчас и X через 5 лет» была бы эквивалентна «100 тыс. руб. через 3 года и 200 тыс. руб. через 8 лет» при норме процента i_с = 6% поскольку значением именно этой ставки размещения определили цену участвующих в данной финансовой операции средств.

Расположим данные на временной диаграмме:

 

 

Рис. 7.2

Теперь нужно выбрать дату приведения. Может быть использована любая дата. Обычно выбирается самая поздняя. В нашем примере это 8 лет. Уравнение эквивалентности получается путем приведения всех сумм к дате сравнения с последующим приравниванием приведенных стоимостей серий рассматриваемых платежей. Это дает

50 000 ´ (1 + 0,06)⁸ + X ´ (1 + 0,06)³ = 100 000 ´ (1 + 0,06)⁵ + 200 000

50 000 ´ 1,59384807 + X ´ 1,191016 = 100 000 ´ 1,3382255 + 200 000

79 692,4035 + X ´ 1,191016 = 133 822,55 + 200 000

79 692,4035 + X ´ 1,191016 = 133 822,55 + 200 000

X ´ 1,191016 = 254 130,1465

X =213 372,57 руб.

В данном примере более удобной датой сравнения была бы дата выплаты платежа X, то есть 5 лет. Действительно, в этом случае уравнение эквивалентности приобретает вид

X + 50 000 ´ (1 + 0,06)⁵ = 100 000 ´ (1 + 0,06)² + 200 000/(1 + 0,06)³

X + 50 000 ´ 1,3382255 = 100 000 ´ 1,1236 + 200 000/1,191016

X + 66 912,75 = 112 360 + 168 044,6326

X = 213 491,88 руб.

Что с точностью до погрешностей вычислений совпадает с предыдущим результатом.

ПРИМЕР 2. При стоимости денег i_с =6% для серии платежей P ₁ = 100 000 руб. через три года и P ₂ = 200 000 руб. с через 4 года определить значение эквивалентных и равных друг другу платежей R через 1 год и 2 года при стоимости платежей R по сложной ставке 5%.

Решение: Приведем все платежи на диаграмме

 

 

 

Рис. 7.3

Выберем конец четвертого года в качестве даты сравнения, хотя любая другая дата была бы также возможна. Все рассматриваемые суммы должны быть приведены к дате сравнения и приведенные суммы (современные стоимости) соответствующих серий платежей из условий эквивалентности должны быть равны, образуя уравнение эквивалентности.

Поскольку платежи R предшествуют дате приведения, их стоимость будет возрастать согласно ставке, характеризующей их стоимость, то есть возрастать по сложной ставке 5%.

R ´(1 + 0,05)³+ R ´(1 + 0,05)².

Цена возможного размещения (стоимость) платежей 100 000 и 200 000 другая и равна i_с = 6% годовых. Даты осуществления платежей 100 000 и 200 000 также предшествуют (а для 200 000 даты совпадают, равны) дате сравнения, следовательно, для определения их современной стоимости также необходимо воспользоваться наращением. При этом будем использовать уже другую, чем для платежей R ставку, а именно ставку, определяющую цену размещения платежей 100 000 и 200 000, т.е. i_с = 6%.

100 000´(1 + 0,06) + 200 000

Таким образом, уравнение эквивалентности для выбранной даты приведения запишется следующим образом

R ´(1 + 0,05)³ + R´(1 + 0,05)² = 100 000´(1 + 0,06) + 200 000

Откуда легко определить R

R ´((1 + 0,05)³ + (1 + 0,05)²) = 100 000´(1 + 0,06) + 200 000

R ´((1 + 0,05)³ + (1 + 0,05)²) = 306 000

R ´2,260125 = 306 000,

т.е. после вычисления получаем R = 135 390,74 руб.

Использование уравнений эквивалентности показывает, что они связывают величины трех типов: суммы погашения, даты погашения и нормы процентов (стоимости денег, выраженные ставкой их возможного размещения).

До сих пор мы использовали уравнения эквивалентности только для определения неизвестных значений сумм погашения. Вместе с тем на практике уравнения эквивалентности используются также для определения и других составляющих: даты погашения или нормы процента. Хотя техника использования уравнений в этих случаях остается прежней, имеются некоторые особенности в деталях. Рассмотрим это на примерах.

ПРИМЕР 3. Векселя номиналом в 100 тыс. руб. погашается через 5 лет и 200 тыс. руб. погашается через 10 лет. Если данные платежи стоят i_с = 4%, то через сколько лет оба платежа эквивалентно заменит выплата a) 250 тыс. руб.; b) 300 тыс. руб.?

Решение: a) Пусть n обозначает искомый временной интервал для консолидированного платежа 190 тыс. руб. Построим временную диаграмму всех платежей

 

 

 

Рис. 7.4

Причем предположим, что искомая дата n консолидированного платежа 190 тыс. руб. предшествует выплатам 100 и 200 тыс. руб., следовательно современные стоимости платежей 100 и 200 тыс. руб. к моменту времени n должны быть дисконтированы по ставке представляющей стоимость их размещения i_c, которая является в данном случае сложной ставкой наращения.

Приводя все суммы к настоящему времени n, уравнение эквивалентности для случая а) будет иметь вид

190 000 = 100000/(1 + 0,04) ^{n + 5} + 200 000/(1 + 0,04) ^{n + 10}

190 000 ´ (1 + 0,04) ⁿ = 100 000/(1 + 0,04)⁵ + 200 000/(1 + 0,04)¹⁰

190 000 ´ (1 + 0,04) ⁿ = 100 000/1,2166 + 200 000/1,4802

190 000 ´ (1 + 0,04) ⁿ = 82 192,71 + 135 112,83 = 217 305,54

1,04 ⁿ = 1,14371

n = ℓog1,14371/ℓog1,04

n =0,05831/0,017033 = 3,423.

Разрешая теперь это равенство относительно n, находим, что n = 3,423 лет, т.е. с учетом того, что в году 365 дней, а в месяце 30 дней после округления получаем 4 года 6 месяцев и 4 дня.

b) Процедура вычислений в этом случае точно такая же, как и в случае a).

Заметим, что когда серия обязательств по выплате средств заменяется единственным эквивалентным платежом, момент времени выполнения этого платежа часто называют датой эквивалентности.

ПРИМЕР 4. Какая ставка простых процентов обеспечивает эквивалентность платежей в 30 000 руб., выплачиваемого через 4 года и 10 000 руб. – через 2 года, если их заменить платежом в 15 000 руб. осуществляемым через 5лет?

Решение: Представим исходные данные на временной диаграмме

 

Рис. 7.5

Выберем в качестве даты сравнения конец пятого года и составим уравнение эквивалентности 30 000 ´ (1 + i) + 10 000 ´ (1 + 3 ´ i) = 45 000.

Для решения этого уравнения относительно i сократим обе части уравнения на 1 000, перенесем все слагаемые, зависящие от i, в левую часть и обозначим ее через f (i), тогда получим f (i) = 30 ´ (1 + i) + 10 ´ (1 + 3 i) – 45 = 0 линейное алгебраическое уравнение, решение которого легко находится.

30 i + 30 i = 45 – 10 – 30

60 i = 5

i = 5/60

i = 0,0833 или 8,3%

Упражнения

1. Предположим, что деньги стоят i = 3%. Найти сумму средств на конец двенадцатого года, эквивалентную 20 млн. руб. в конце 4 лет. Ответ: 25,33 млн.руб.

2. Какая сумма денег на конец 4 лет эквивалентна 25 млн. руб. по окончании 9 лет, если деньги стоят i = 4,5%? Ответ: 20,06 млн.руб.

3. Найти суммы в конце 3 лет и в конце 10 лет, эквивалентные 10 млн руб. на конец 5 лет, если деньги стоят 4%. Проверить, что эти суммы эквивалентны между собой. Ответ:9,24 млн.руб., 12,66 млн.руб.

4. Найти суммы средств в конце 2 лет и в конце 8 лет, эквивалентные 20 млн руб. на конец 4 лет, если деньги стоят i = 3,5%. Проверить, что эти суммы эквивалентны между собой. Ответ: 18,67 млн.руб., 22,95 млн.руб.

5. Найти сумму средств на конец 3 лет при сложной ставке 6%, эквивалентную 10 млн. руб. с процентами за 10 лет при простой ставке i = 5%. Ответ: 9,97 млн.руб.

6. Найти сумму средств на конец 2 лет при i = 5%, эквивалентную 5 млн руб. с процентами за 8 лет при i = 4%. Ответ: 5,07 млн.руб.

7. Даны две суммы: 15 млн. руб. в конце 3 лет и 16 млн. руб. в конце 6 лет. Деньги стоят i = 4,5%. Сравнить эти суммы в настоящее время и в конце трех лет.. Ответ:15 млн. руб, 14,02 млн руб.; 13,14 млн.руб, 12,28 млн.руб.

8. Рассматриваются суммы 10 млн. руб. в конце 4 лет и 15 млн. руб. в конце 10 лет. Деньги стоят i =5 %. Сравнить эти суммы в настоящее время и в конце четырех лет.. Ответ: 8,227 млн.руб, 9,208 млн.руб.; 10 млн.руб., 11,193 руб.

9. Деньги стоят i =3%. Найти эквивалентную сумму средств в конце 5 лет для серии платежей: 10 млн. руб. через 6 лет и 20 млн. руб. через 10 лет. Ответ: 26,96 млн.руб.

10. Деньги стоят i = 5%. Найти сумму средств в конце 3 лет для серии платежей: 5 млн руб. через 5 лет и 8 млн руб. через 8 лет. Ответ: 10,79 млн.руб.

11. Деньги стоят i = 4%. Найти сумму средств в конце 6 лет для серии платежей: 10 млн руб. через 3 года и 15 млн. руб. через 8 лет. Ответ: 15,29 млн.руб.

12. Деньги стоят i = 6%. Найти сумму в конце 7 лет для серии платежей: 6 млн. руб. через 2 года и 9 млн. руб. через 10 лет. Ответ: 15,57 млн.руб.

13. Найти стоимость на настоящее время для следующего набора активов: 4 облигации по 1 млн руб. с датами погашения через 3, 6, 9 и 12 месяцев, если деньги стоят i = 4%. Ответ: 3,004 млн.руб.

14. Найти датированную стоимость активов на конец года для набора облигаций предыдущей задачи. Ответ: 3,12 млн.руб.

15. Найти эффективную ставку, при которой 10 млн. руб. сегодня эквивалентны 20 млн. руб. через 14 лет. Ответ: 2,43%.

16. Найти ставку i, при которой 5 млн. руб. на конец 5 лет эквивалентны 15 млн. руб. в конце 25 лет. Ответ: 5,64%.

17. Долг 10 млн. руб. нужно вернуть через 3 года. Если сегодня выплачивается 2 млн. руб. в счет долга, какая одноразовая выплата через два года ликвидирует обязательство при стоимости денег i = 6%? Ответ: 7,186 млн.руб.

18. Некто занял 50 млн. руб. сегодня при i = 5,5%. Он обещает возместить 10 млн. руб. через год, 20 млн. руб. через два года и остальное в конце третьего года. Каким будет это последнее возмещение? Ответ: 26,48 млн. руб.

19. Фермер покупает товары стоимостью 10 млн. руб. Он заплатил 2 млн. руб. сразу и заплатит на 5 млн. руб. больше через 3 месяца. Если процент начисляется на сумму неоплаченной задолженности по простой ставке i = 6%, какой должна быть заключительная выплата в конце 6 месяцев? Ответ: 6,557 млн.руб.

20. Иванов имел 10 млн. руб. на счету в сберегательном банке 10 лет назад. Сберегательный банк начисляет проценты согласно ставке i = 3%. Иванов взял со счета 2 млн. руб. пять лет назад и 3 млн. руб. два года назад. Какая сумма сегодня лежит на счету Иванова? Ответ: 6,11 млн.руб.

21. Петров делал следующие вклады в сберегательный банк, который начисляет проценты в соответствии со ставкой i = 2,25%: 10 млн. руб. пять лет назад и 5 млн. руб. три года назад. Он брал со счета 2 млн. руб. год назад и планирует взять остальную сумму через год. Какую сумму он получит? Ответ: 14,34 млн.руб.

22. Сидоров имеет 100 млн. руб. в Сберегательном банке, который начисляет проценты со ставкой i = 3%. Какие одинаковые взносы в конце каждого квартала нужно делать Сидорову, чтобы на его счету в банке через год было 300 млн. руб.? Ответ: 49,185 млн. руб.

23. Контракт предполагает платежи по 1 млн. руб. в конце каждого квартала в течение следующего года и дополнительный заключительный платеж 5 млн. руб. в его конце. Какова стоимость этого контракта наличными, если деньги стоят i = 5%? Ответ: 8,6419 млн. руб.

24. Вексель Иванова на 5 млн. руб., выданный под учетную ставку 5,5% нужно погасить через пять лет, а второй вексель на 10 млн. руб. при таких же условиях – через 10 лет. Эмитент векселей желает заплатить 2 млн. руб. сегодня и рассчитаться полностью двумя одинаковыми платежами в конце 5 лет и 10 лет при стоимости денег i = 4%. Какими будут эти платежи? Ответ: 5,919 млн.руб.

 

Лекция 8

Потоки платежей

Поток – экономическая величина, обладающая размерностью, характеризующаяся поочередным следованием его элементов во времени.

Потоком платежей/выплат называется последовательность финансовых средств во времени.

Примерами потока платежей/выплат могут служить:

– погашение задолженности в рассрочку,

– периодические доходы от инвестиций,

– выплаты пенсий, стипендий и других социальных платежей,

– любого рода, следующие друг за другом платежи или выплаты.

Далее, вместо терминов платеж/выплата будем употреблять термин платеж.

Общие характеристики потока платежей:

– отдельный элемент потока платежей называют членом потока;

– платежи следуют друг за другом и их можно пронумеровать;

– время, разделяющее члены потока платежей, называют интервалом следования;

– общее время осуществления платежей называется срок потока;

– каждый член потока характеризуется величиной;

– сумма величин всех членов потока составляет объем потока;

– отдельный член потока положительный, если он увеличивает объем потока и отрицательный, если он уменьшает общий объем потока.

Потоки платежей, исходя из их свойств, можно проклассифицировать на регулярные платежи, осуществляющиеся через равные интервалы и нерегулярные платежи, осуществляющиеся через произвольные промежутки времени.

Постоянные по величине, положительные регулярные платежи называют финансовой рентой. Финансовая рента с интервалом в год называется аннуитетом.

К основным параметрам ренты относятся размер отдельного платежа, срок ренты время от первого до последнего платежа, «цена» платежей ренты (ставка).

Ренты различаются:

– По частоте выплат ренты: годовые (аннуитет) выплаты осуществляются один раз в год; Р -срочные – выплаты осуществляются Р раз в году.

– По величине выплат: с неизменной величиной выплат; с переменной величиной выплат.

– По вероятности выплат: верные – с безусловной выплатой; условные – в зависимости от выполнения некоторых условий. Например, наступление страхового случая, достижение пенсионного возраста.

– По количеству выплат: ограниченные ренты – конечные по сроку или числу выплат; вечные ренты – неограниченные по времени или числу выплат. Например, выплаты по бессрочным облигационным займам.

– По срокам начала ренты: немедленные – реализующиеся сразу после оформления обязательств; отложенные – реализующиеся по прошествии оговоренного количества времени (погашение долга с отсрочкой).

– По моменту выплаты в периоде: выплаты в конце каждого периода – постнумерандо или обыкновенные; выплаты в начале каждого периода – пренумерандо.

Следует отметить, что потоки платежей, прежде всего, являются разнесенными во времени суммами денежных средств. Стоимость отдельно взятого платежа денежных средств во времени различна. Что бы учитывать в рассуждениях этот неизбежно присутствующий фактор времени и адекватно характеризовать поток денежных средств с точки зрения финансовой логики необходимо определиться (задать) со ставкой (чаще наращения, реже дисконтирования). По финансовому смыслу эта ставка характеризует величину дохода от размещения рассматриваемых денежных средств и представляет собой стоимость (цену размещения) рассматриваемых денежных средств как капитала.

С учетом вышесказанного, ренты, характеризующиеся ставкой, могут подразделяться в зависимости от способов начисления процентов по вышеуказанной ставке. Поскольку рента представляет собой долгосрочный (многолетний) поток платежей ставка, как правило, является сложной (с капитализацией процентных денег).

В финансовой литературе начисление процентов на члены ренты подразделяют по частоте начисления процентов, а именно ренты с ежегодным начислением процентов и ренты с начисление процентов m раз в году.

Очевидно, что в общем случае, момент осуществления выплат и момент начисления процентов могут не совпадать, как, например, Р-срочная рента с ежегодным начислением процентов или аннуитет с начисление процентов m раз в году.