Постоянные ренты постнумерандо

Рассмотрим пример. В течение n лет, в конце каждого года осуществляются равновеликие взносы R (см. рис. 8.2). «Цена» на которые по сложной ставке i_c ежегодно начисляются проценты, то есть имеется рента постнумерандо с величиной выплаты равной R, со сроком ренты n лет.

Рис. 8.2

С учетом процентов, начисленных к концу последнего года n, будем иметь следующий ряд R_n денежных средств

R ₁ ´ (1 + i_c)ⁿ ^-1, R ₂ ´ (1 + i_c) ⁿ ^-2, R ₃ ´ (1 + i_c) ⁿ ^-3,……..., R_n, (8.5)

переписав его в обратном порядке и вынося общий сомножитель R, получим в скобках геометрическую прогрессию

R ´ [1, q, q ², q ³,…..., qⁿ ^-1], (8.6)

где

q = (1 + i_c) – знаменатель прогрессии.

Сумма последовательности (8.5) по определению представляет собой наращенную сумму S рассматриваемой ренты

S = ∑ R_n ´ (1 + i_c) ⁿ = R ´ ∑(1 + i_c) ⁿ

или с учетом обозначений из (8.6)

S = R ´ ∑ q_j, (8.7)

где j = 0, 1, 2,...…, n -1.

Следовательно, для ее нахождения достаточно найти сумму геометрической прогрессии.

Докажем методом индукции, что для любого значения n справедливо следующее равенство (при условии q отличным от 1)

1 + q + q ² + q ³ + …... + qⁿ ^-1 = (qⁿ – 1)/(q – 1). (8.7)

Доказательство методом математической индукции сводится к проверке справедливости выражения (8.7) для первых двух значений n = 1, 2, предположения, что (8.7) справедливо для произвольного n = k и доказательству справедливости (8.7) и для n = k + 1, рис. 8.3.

Рис. 8.3

Так при n = 1 подстановкой в (8.7) получаем, что 1 = 1 – первое условие доказательства выполняется. При n = k согласно (8.7) получаем равенство (8.8), которое далее будем считать справедливым

1 + q = (q ² – 1)/(q – 1) = (q + 1)*(q – 1)/(q – 1) = (q + 1).

При n = k согласно (8.7) получаем равенство, которое далее будем считать справедливым

1 + q + q ² + q ³ + …... + q^k ^-1 = (q^k – 1)/(q – 1). (8.8)

При n = k + 1 из (8.6) следует выражение, справедливость которого собственно и необходимо показать

1 + q + q ² + q ³ +... + q^k ^-1 + q^k = (q^k ⁺¹ – 1)/(q – 1).

Согласно (8.8) его можно переписать как

(q^k – 1)/(q – 1) + q^k = (q^k ⁺¹ – 1)/(q – 1), (8.9)

а после приведения к общему знаменателю (8.9) получим соотношение

(q^k – 1) + (q – 1) ´ q^k = (q^k ⁺¹ – 1),

из которого после раскрытия скобок, получаем равенство

(q^k ⁺¹ – 1) = (q^k ⁺¹ – 1),

что и требовалось показать.

Таким образом, справедливость (8.7) доказана.

С учетом доказанного выше выражение (8.6), определяющее наращенную сумму S рассматриваемой ренты, принимает вид

S = R ´ (qⁿ – 1)/(q – 1), (8.10)

где

q = (1 + i_c) – знаменатель геометрической прогрессии рассматриваемой ренты.

Современная стоимость A рассматриваемой ренты согласно (8.4) и (8.10) будет определяться выражением

A = S / qⁿ = R ´ (qⁿ – 1)/(q – 1) ´ qⁿ. (8.11)

Таким образом, зная величину R какой либо постоянной ренты постнумерандо, ее срок (n лет) и знаменатель ее геометрической прогрессии q с помощью выражений (8.10), (8.11) можно найти обобщающие характеристики ренты – наращенную сумму S и современную стоимость A для нужд дальнейшего анализа.