Обобщающие характеристики потоков платежей

В практических случаях анализ потоков платежей сводится к нахождению одной из двух обобщающих характеристик:

– наращенной суммы – суммы всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами;

– современной стоимости потока платежей – суммы всех членов потока платежей дисконтированных к началу срока.

Пусть имеется k платежей R_j (t_j), выплачиваемых спустя время t ₁ после некоторого начального момента времени t ₀, окончание же операции t_z рис. 8.1.

 

 

 

Рис. 8.1

Общий срок потока (t_k – t ₁), где t ₁ и t_k – время осуществления первого и последнего платежа соответственно. Определим на конец срока всей операции t_z наращенную сумму S и современную моменту времени t ₀ стоимость потока платежей A, если проценты начисляются по сложной годовой ставке i_с один раз в год T.

По определению наращенная к моменту времени t_z сумма S будет определяться выражением (см. (3.1) лекцию 3)

(8.1)

где

n_j = (t_z – t_j)/ T для простоты будем считать их целыми числами;

j = 1, 2, 3,…..., k – порядковые номера платежей.

Современная моменту времени t ₀ стоимость потока платежей A будет определяться как (см. (2.1) лекцию 2)

(8.2)

где

n_j = (t_j – t ₀)/ T, j = 1, 2, 3,...…, k.

Выражения (8.1, 8.2) представляют прямой способ определения наращенной (к моменту времени t_z) суммы S и современной (моменту времени t ₀) стоимости A потока платежей R_j (t_j), который применим для произвольного потока платежей.

Не трудно видеть, что наращенная сумма S и современная стоимость A потока платежей также связаны между собой соотношениями

S = P ´ (1 + i_c) ⁿ, (8.3)

A = S /(1 + i_c) ⁿ, (8.4)

где n = (t_z – t ₀)/ T.

Наращенная к моменту времени t_z сумма потока платежей S является наращением к моменту времени t_z современной стоимости потока платежей A (8.3) и, соответственно, современная моменту времени t ₀ стоимость потока платежей A есть диcконтированная к моменту времени t₀ наращенная к моменту времени t_z сумма потока платежей S (8.4). Чтобы убедиться в этом, достаточно выражение (8.1), (8.2) умножить на (1 + i_c) ⁿ /(1 + i_c) ⁿ, перегруппировать сомножители и преобразовать показатели степени, например для (8.1):

Обобщающие характеристики потока платежей наращенная сумма S и современная стоимость A являются ключевыми параметрами потока платежей широко применимыми в финансовых расчетах. Так нахождение величин наращенной суммы S или современной стоимости A требуется для измерения эффективности инвестиционного проекта, сравнения условий контрактов, составления графика погашения задолженности и многих других практических задач некоторые из которых будут рассмотрены дальше. В качестве очевидного примера можно привести вариант экспресс-оценки инвестиционной емкости проектов. Если для каждого из проектов определить величины современной стоимости планируемых затрат, то путем простого количественного сравнения полученных величин легко определить наименьший, а следовательно и выбрать наименее затратный проект.