Определение срока ссуды, величин сложных процентных и учетных ставок

До сих пор основное внимание было уделено нахождению стоимостных параметров финансовых операций: наращенных сумм S, современной стоимости P, величины процентов I или дисконта D. Однако в практике часто возникают задачи определения других характеристик, а именно сроков проведения финансовых операций t или величин применяемых ставок i, d, i_c, d_c.

Пользуясь выражениями для наращенной суммы и современной стоимости (3.1, 3.5, 3.12, 3.13 см. лекцию 3):

S = P ´ (1 + i_c) ⁿ; (5.5)

S = P ´ (1 + i_c / m) ^{m ´ n} ; (5.6)

P = S ´ (1 – d_c) ⁿ; (5.7)

P = S ´ (1 – d_c / m) ^{n ´ m} , (5.8)

где

m – число начислений за год;

i_c – годовая учетная ставка;

d_c – годовая учетная ставка;

n – число лет, можно, при необходимости, получить выражения для искомых величин t, i, d, i_c, d_c.

Например, для определения срока операции t (для простоты будем считать, что t равно целому числу лет n), воспользуемся известным определением логарифма: логарифм числа B это степень C, в которую нужно возвести основание A, что бы получить число B:

ℓog _AB = C или B = A^C. (5.9)

Из выражений (5.5)–(5.8) после несложных преобразований получаем следующие выражения для определения искомых величин n для каждого из приведенных случаев:

n = ℓog(SP / SP)/ℓog(1 + i_c), (5.10)

n = ℓog(SP / SP)/ m ´ ℓog(1 + i_c / m), (5.11)

n = ℓog(P / S)/ℓog(1 – d_c), (5.12)

n = ℓog(P / S)/ m ´ ℓog(1 – d_c / m). (5.13)

ПРИМЕР 1. Сколько времени потребуется для наращения исходной суммы P = 100 руб. до величины S = 250 руб. при годовой ставке сложных процентов 1) i_c = 10%?

2) i_c = 10% с ежеквартальным начислением процентов m = 4?

Решение: Подставляя значения P, S, i_c в выражения (5.10), (5.11), получаем искомые значения 1) n = 9,7; 2) n = 9,27. Полученные значения n оказались дробными, следовательно, за целое число лет указанные операции не могут быть осуществлены. Необходима интерпретация, комментарий полученных результатов, что может быть достаточно субъективно. Например, один из вариантов представления результатов может лежать на пути округления результатов.

Для первого примера результат округления очевиден – n = 10, так как в этом случае фигурирует годовая ставка с периодом начисления процентов год и полученная по правилам округления величина 10 лет лежит в рамках изначально предложенных стандартных правил начисления сложных процентов.

Во втором случае, следуя тем же правилам округления, результат, казалось бы, должен быть n = 9, т.е. округление произошло до ближайшей целого значения. Однако период начисления процентов в данном примере равен кварталу, т.е. 0,25 года и правильнее округлить до результата n = 9,25, т.е. девять лет и один квартал.

Следует отметить, что некоторые параметры, например, количество раз начисления процентов в год (значение m из выражений (5.6), (5.8)) найти не просто, поскольку требуется решение трансцендентных уравнений относительно искомой величины m и, как правило, для нахождения применяются приближенные итерационные методы, реализация которых удобна на ЭВМ, например в рамках пользовательской программы Еxcel (см. финансовые функции).

Величины же процентных i_c и учетных ставок d_c из выражений (5.5)–(5.8) могут быть легко определены:

i_c = (S / P)^{1/ n} – 1, (5.14)

i_c = m ´ ((S / P)^{1/ n ´ m} – 1), (5.15)

dc = 1 – (P / S)^{1/ n} , (5.16)

d_c = m ´ (1 – (P / S)^{1/ n ´ m} ). (5.17)

ПРИМЕР 2. Определить величину сложной учетной ставки d_c для векселя номиналом S = 200 тыс. руб. с полугодовым учетным периодом за пять лет до его погашения, если его современная стоимость составляет P = 50 тыс. руб.

Решение: Для определения искомой учетной ставки d_c воспользуемся выражением (5.17), где значения m = 1/2. Ответ: d_c = 46,88%.

Упражнения

1. Определить срок, за который исходный депозит в размере 15 000 руб. вырастет в два раза по величине при ставке i_c = 13%. Ответ: 5,65 лет.

2. Сколько времени потребуется для достижения величины 26 500 руб. начального депозита 10 000 руб. при ставке i_c = 13% с квартальным начислением процентов. Ответ: 7,97 лет.

3. Верно ли, что за 5 лет до погашения при ставке дисконтирования d_c = 5% вексель номиналом 200 000 руб. будет стоить 15 000 руб.? За сколько лет до погашения данный вексель будет столько стоить? Ответ: 50,49 лет.

4. За какой срок до погашения при ежеквартальном дисконтировании по ставке d_c = 15% вексель номиналом 30 500 руб. будет стоить 15 000 руб. Ответ: 1,09 лет.

5. При какой ставке сложных процентов за четыре с половиной года исходный депозит в 25 600 руб. вырастет в два раза. Ответ: 16,65%.

6. Верно ли, что удвоение исходного долга по ссуде в размере 14 700 руб. за три года осуществится при ставке i_c = 15% годовых? При каком значении ставки это произойдет? Ответ: 450%.

7. Определить учетную ставку по векселю номиналом 100 000 руб. со сроком погашения 3 года, если его цена при выпуске была равна 85000 руб. Ответ: 5%

8. Современная стоимость векселя номиналом 12 000 руб. за 24 месяца до погашения составила 8 500 руб. Определить величину сложной годовой учетной ставки с условием полугодового периода учета. Ответ: 14,58%.

ВОПРОСЫ

1. Сравнение коэффициентов наращения и дисконтирования при одинаковых значениях сложных и простых ставок наращения и дисконтирования.

2. Определение параметров при дисконтировании по сложным учетным ставкам: современной стоимости, срока дисконтирования, учетной ставки.

3. Определение параметров при наращении по сложной ставке: наращенной суммы, срока наращения, ставки наращения.

Инфляция

Из повседневной практики видно, что одна и та же сумма денежных средств со временем имеет различную покупательную способность, т.е. на одну и ту же сумму денежных средств в различные моменты времени можно приобрести различное количество одних и тех же товаров или услуг. Это обусловлено колебаниями цен на товары и услуги. Причины колебаний цен могут иметь различную природу, например, сезонные скидки, рост цен при дефиците и падение при перепроизводстве, спекулятивные усилия игроков на рынках биржевых товаров, массовые ажиотажные ожидания, природные и климатические аномалии, перемены финансовой конъюнктуры.

В том случае, когда происходит рост цен, говорят о таком явлении как инфляция. Инфляция – обесценивание бумажных денег и как следствие рост цен в денежном выражении. Иными словами, неадекватность общей товарной массы общей номинальной сумме денежных средств, причем в большую сторону в пользу денег. Такое превышение массы денежных средств над товарной массой бывает в двух типичных случаях: при объективном уменьшении товарной массы из-за отсутствия предложения и при искусственном избыточном предложении денежных средств, что легко достигается «включением печатного станка денег».

Чтобы охарактеризовать и оценить инфляционный процесс вводят количественный показатель – индекс потребительских цен (ИПЦ). Для определения индекса потребительских цен выбирается группа товаров и услуг. Величина ИПЦ определяется в соответствии с формулой Ласпейреса:

Inf1/0=Σ(P0j*Q0j * P1j / P0j)/Σ(P0j*Q0j)(5.18) где: Inf1/0- сводный индекс потребительских цен в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом; P1j - цена товара (услуги) в отчетном периоде; P0j - цена товара (услуги) в базисном периоде; P0j Q0j - расходы на приобретение товара (услуги) в общих потребительских расходах населения базисного периода.

Расчет ИПЦ производится с месячной периодичностью. Ежемесячно исчисляются индексы цен к предыдущему месяцу, к соответствующему месяцу предыдущего года, к декабрю предыдущего года. Ежеквартально определяются индексы цен на конец квартала к концу предыдущего квартала, к соответствующему кварталу предыдущего года, к соответствующему кварталу базисного года, к базисному году. За ряд лет расчет производится путем перемножения соответственно месячных, квартальных или годовых индексов потребительских цен.

Так например по Информации Нижегородского областного комитета государственной статистики об уровне потребительских цен в Нижегородской области 2005 год индексы потребительских цен составили

 

Месяцы 2005 г	Индексы потребительских цен% (к предыдущему периоду)
Январь	102,5
Февраль	101,6
I квартал	105,1
Апрель	101,9
Май	100,2
Июнь	100,7
Июль	100,4
Август	99,2

 

2004 год

Месяцы 2004 г	Индексы потребительских цен % (к предыдущему месяцу)
Январь	101,92
Февраль	102,34
Март	100,77
I квартал	105,1
Апрель	100,89
Май	100,58
Июнь	101,02
I полугодие	107,8
Июль	101,44
Август	99,87
Сентябрь	99,9
Октябрь	101,6
Ноябрь	101,5
За весь 2004 г	114,3

http://www.nizstst.sinn.ru сайт нижегородского статуправления (с)

Что же характеризует индекс потребительских цен? Во-первых он рассчитывается согласно перечню товаров и услуг определенному, статуправлением, который может не совпадать с товарами потребления отдельно взятого человека. Во-вторых ИПЦ вычисляется с учетом веса расходов на приобретение товара (услуги) в общих потребительских расходах населения, что так же не всегда совпадает с индивидуальными пропорциями потребления тех или иных товаров (услуг).

Согласно формуле Ласпейреса индекс потребительских цен по своей сути представляет собой коэффициент увеличения (снижения) уровня потребительских цен за выбранный период времени t=t₁-t₀, который может быть представлен с использованием годовой ставка инфляции i_инф как

Inf1/0= 1+ iинф*(t1- t0)/T (5.19) где iинф- ставка инфляции, определенная на периоде T равном году.

Выражение (5.19) позволяет замеряя индексы потребительских цен на периоде времени t=t₁-t₀ получать универсальный показатель i_инф- годовую ставку инфляции удобную для количественного сравнения.

iинф=(Inf1/0- 1)* T/(t1-t0) (5.20) где iинф- ставка инфляции, определенная на периоде T равном году.

Например, индекс потребительских цен в январе 2004 года составил 101,92%, а в январе 2005 года составил 102,5% что соответствует годовым ставкам (годовому темпу) инфляции соответственно 23% и 30%

iинф 01.2004=(1,0192- 1)* 12/1=0,23 iинф 01.2005=(1,025- 1)* 12/1=0,3

Заметим, что измерение годового темпа инфляции за один месяц (январь) это прогноз по показателям одного месяца на весь год.

Что бы определить индекса потребительских цен за первый квартал 2004 год согласно принятым правилам вычисления индекса потребительских цен (см. выше) соответствующие помесячные индексы Inf_1/0,Inf_2/1,Inf_3/2 перемножаются (!).

Inf1/0, Inf2/1,Inf3/2=1,0192*1,0234*1,0077=1,051 что соответствует темпу инфляции iинф 01-03.2004=20,4% iинф 01-03.2004=(1,051- 1)* 12/3=0,204

За весь 2004 год индекс цен Inf₂₀₀₄=114,3,а темп инфляции составит соответственно i_инф2004=14,3%.

За несколько лет t=T*n согласно принятым правилам вычисления индекса потребительских цен (см. выше) соответствующие индексы Inf₂₀₀₄, Inf₂₀₀₅ перемножаются (!) например Inf_2005-4= Inf₂₀₀₄* Inf₂₀₀₅

Inf2004-5=Inf2004*Inf2005=(1+iинф2004)*(1+iинф2005) (5.21) где iинф2004- ставка инфляции, определенная в первый год, iинф2005- ставка инфляции, определенная во второй год.

Очевидно, что чем выше индекс цен Inf, тем ниже покупательная способность денежных средств. Исходя из этого, вводят индекс покупательной способности денег Ip, который обратно пропорционален индексу цен

Ip=1/Inf (5.22). где Inf – индекс цен за рассматриваемый период времени, Ip - индекс покупательной способности денег

Информация о методике определения индекса цен приведена в Приложении №2.

.

 

Учет инфляции в расчетах

Очевидно, что инфляционный рост цен необходимо учитывать при анализе финансовых операций, как независимо существующий объективный фактор, поскольку он снижает покупательную способность денежных средств. Учет инфляции в финансовых операциях сводится к оценке покупательной способности средств на момент окончания финансовой операции и пересчету параметров финансовой операции.

Например, годовой депозит P=100 руб. с простой ставкой i=10% годовых даёт расчётный результат S=110 руб. При индексе цен Inf=108,5% за тот же период времени фактический результат такой финансовой операции S_f=S/Inf=110/1,085=101,38 руб. Следовательно, фактическая ставка по данной операции составила i_f=(101,38-100)/100=1,38%.

 

Налоги

Налогообложение, как и инфляция, еще один обязательный фактор, который необходимо учитывать в финансовых расчетах. К основным характеристикам налогов относится: база исчисления налога, налоговая ставка i_нал, дата уплаты налога. Поверхностный обзор налогов показывает, что при финансовых расчетах основными налоговыми платежами являются два типа налогов: налог с прибыли и налог с оборота, различающиеся друг от друга базой исчисления налога. Порядок применения данных налогов со всеми подробностями не входит в рассмотрение данного курса, поэтому ограничимся рассмотрением только основных случаев.

Налог с прибыли

Под налогом с прибыли в данной случае будем понимать удержание с сумм полученной прибыли (база исчисления налога) некоторой ее части, величина которой определяется процентной ставкой налога i_нал.

В операциях наращения начисленные за период размещения процентные деньги являются по своему содержанию прибылью и в силу этого подлежат налогообложению.

Для случая начисления простых процентов (для простоты рассмотрим год) величина подлежащих уплате налогов определится следующим выражением:

P ´ i ´ (1 – i_нал),

где

P – исходная сумма депозита;

i_нал – ставка налога;

i – годовая ставка наращения.

Таким образом, величина наращенной за год суммы с учетом налогообложения примет вид

S = P ´ (1 + i ´ (1 – i_нал)), (5.23)

где

P – исходная сумма депозита;

i_нал – ставка налога;

i – годовая ставка наращения.

Если период t начисления процентов на депозит по годовой ставке i произвольный и налогообложение осуществляется по ставке i_нал, наращенная сумма будет выглядеть

S = P ´ (1 + i ´ (1 – i_нал)´ t / T), (5.24)

где

P – исходная сумма депозита;

i_нал – ставка налога;

i – ставка наращения;

t – период начисления;

T – период времени (год), на котором определена ставка i.

Для случая наращения по сложной ставке i_c величина начисленных за n лет процентных денег (база исчисления налога) определяется выражением

I_n = P ´ (1 + i) ⁿ – P, (5.25)

где

P – сумма депозита;

i_c – ставка наращения;

n – число лет начисления процентов.

С учетом удержанных налогов величина процентов запишется следующим образом

I_n = P ´ [(1 + i) ⁿ – 1]´ (1 – i_нал), (5.26)

где

P – сумма депозита;

i_c – ставка наращения;

n – число лет начисления процентов;

i_нал –ставка налога.

Следовательно, наращенная сумма будет иметь вид

S_n = P ´ [[(1 + i) ⁿ – 1]´ (1 – i_нал) + 1], (5.27)

где

P – сумма депозита;

i_c – ставка наращения;

n – число лет начисления процентов;

i_нал – ставка налога.

Заметим, что в данном случае рассмотрена ситуация, когда налог уплачивается после возникновения прибыли, т.е. в конце n -го года, в момент получения прибыли. Однако далеко не всегда налоговое ведомство удовлетворено таким положением, оно хочет и частенько требует уплату налога не в момент получения финансового результата, а по мере его отражения в бухгалтерской отчетности, т.е. на бумаге.

Рассматривая операции учета векселя, следует отметить, что прибылью в данной операции будет величина разницы между ценой приобретения векселя P ₁ и его учета P ₂. Если номинал векселя равен S, а величина учетной ставки d, то его учетная стоимость за период t до погашения будет равна P ₂ = S ´ (1 – d ´ t / T). Следовательно, величина налога будет равна [ P ₁ – S ´ (1 – d ´ t / T)]´ i_нал ´ t_нал / T_нал.

Налог с оборота

Если базой начисления налога является величина оборотных средств Q за период t, как это может иметь место при упрощенном бухгалтерском учете для индивидуальных предпринимателей, то исчисление сумм налога, подлежащего уплате, по ставке i_нал будет определяться выражением

R_n = Q ´ i_на ´ t / T, (5.28)

где

R_n – сумма налога;

Q – величина оборота;

i_нал – годовая ставка налога;

t – налоговый период;

T – период времени (год) на котором определена налоговая ставка.

Лекция 6