Раздел 2. Интегральное исчисление

 

Эта часть учебно-методических материалов посвящена интегральному исчислению функций одной переменной.

Понятие интеграла является одним из важнейших понятий математического анализа. Конструкция интеграла служит основным инструментом для расчёта так называемых интегральных характеристик различных объектов, систем и процессов. Так, например, для геометрических объектов - вычисление площадей и объемов, для физических тел - массы, момента инерции, заряда и т.д., для систем и процессов - работы, энергии, потоков физических полей и т.д., в финансовой математике - накопленной стоимости.

Основная формула интегрального исчисления - формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к нахождению первообразной данной функции, т.е. к вычислению неопределенного интеграла. Одним из основных общих методов вычисления неопределенных интегралов является метод замены переменной, сводящий вычисление интеграла в конечном итоге к так называемому табличному интегралу.

 

Первообразная. Неопределенный интеграл

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или её производной. Интегральное исчисление решает обратную задачу: для данной функции найти такую функцию F(x), производная которой равна f (x).

Например, для функции f (x) = x⁴ этому условию удовлетворяет функция

F(x) = , так как F’ (x) =

Функция F(x) называется первообразной для функции f (x), если .

Следовательно, функции является первообразной для функции x⁴.

Однако она не является единственной первообразной для x⁴. Ими являются функции , и вообще , где С - произвольная постоянная.

Оказывается, что все первообразные для любой функции f (x) даются формулой F (x) + C, где F’ (x) = f (x) и С - произвольная постоянная.

Совокупность всех первообразных для непрерывной функции называется неопределенным интегралом и обозначается

где функция f (x) - подынтегральная функция, f(x)d x - подынтегральное выражение, d x - дифференциал аргумента.

Таким образом, если F (x) какая-либо первообразная для f (x), то

Например,

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции.

Из определения неопределенного интеграла следует, что каждой формуле дифференциального исчисления соответствует формула в интегральном исчислении.

 

Таблица основных интегралов

Следующие формулы интегрального исчисления получены из таблицы основных производных с добавлением к ним наиболее часто встречающихся интегралов. Заметим, что правильность всех этих формул проверяется путём вычисления производных от их правых частей.

 

1. 2.

3. 4.

 

5. 6.

 

7. 8.

 

9. 10.

 

11.	12.
13.	14.
15.	16.

Интегралы из этой таблицы в дальнейшем будем называть табличными интегралами.