Выпуклость, вогнутость. Точка перегиба.

Кривая у=ƒ (х) называется выпуклой на интервале, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале

 

ƒ¢¢(х)< 0.

Кривая у=ƒ (х) называется вогнутой на интервале, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале. Тогда на этом интервале

ƒ¢¢(х) > 0

Определение. Точкой перегиба кривой называется точка, по одну сторону от которой кривая выпукла, по другую вогнута.

В точке перегиба ƒ ¢¢(х)=0.

Итак, знак второй производной (как и знак самой функции и ее первой производной) свидетельствует об особенностях графика функции. Еще раз остановимся на них.

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ (х) > 0 (ƒ (х) <0), то график лежит выше (ниже) оси абсцисс.

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ ¢(х) > 0 (ƒ ¢(х) < 0), то функция на (а, b) возрастает (убывает).

Если для всех х на интервале (а, b) ƒ ¢¢(х) > 0 (ƒ ¢¢(х) < 0), то график на (а, b) вогнут (выпукл).

Уравнение ƒ(х)=0 определяет «нули» функции, т. е. точки пересечения графика с осью Ох.

Уравнение ƒ ¢(х)=0 определяет критические точки.

Уравнение ƒ ¢¢(х)=0 определяет возможные точки перегиба.

 

Схема исследования функции

Для исследования функции ƒ (х) и построения графика у=ƒ (х) следует найти:

1) область определения функции и точки пересечения графика с осями координат;

2) интервалы монотонности;

3) точки экстремумов и значения функции в этих точках;

4) интервалы выпуклости и вогнутости графика;

5) точки перегиба графика;

6) построить в декартовой системе координат все полученные точки (иногда, для уточнения графика, получают дополнительные точки) и сам график.

 

Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

При решении некоторых задач метода оптимизации важно уметь находить наименьшее или наибольшее значения функции на некотором отрезке. Эти значения функция достигает либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Схема отыскания наименьшего и наибольшего значений функции ƒ (х) на отрезке [ а, b ].

1. Найти производную функции ƒ ¢(х).

2. Найти критические точки из уравнения ƒ ¢(х)=0.

3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат данному отрезку [ а, b ] и найти значение функции ƒ (х) в каждой такой точке.

4. Вычислить значения функции ƒ (х) на концах отрезка: ƒ(а) и ƒ(b).

5. Из полученных значений функции выбрать самое большое (наибольшее) и самое малое (наименьшее).

 

Пример 2.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции ƒ(х) = х³–9х²+24х–10 на отрезке [0 3].

1. ƒ ¢(х) = 3 х ² – 9·2 х ² + 24.

2. ƒ¢(х)=0, 3(х ²–6 х +8)=0, х ₁=2, х ₂=4.

3. Точка х₂=4 не принадлежит отрезку [0, 3]. Поэтому вычислим значение функции только в точке х ₁=2

 

ƒ(2)=2³–9·2²+24·2–10=10.

 

4. Значения функции на концах отрезка: ƒ(0)= –10, ƒ(3)=3³–9·3²+24·3–10, ƒ(3)=8.

5. Получены значения:

ƒ(2)=10, ƒ(0)= –10, ƒ(3)=8.

Наибольшее значение равно 10 и достигается в точке х =2. Наименьшее – равно –10 и достигается в точке х =0.

Пример 3.

Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба кривой у=х +36 х ²–2 х ³– х ⁴.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, т. е. х Є(–∞, +∞).

Найдем вторую производную. у ¢=1+72 х –6 х ²–4 х ³.

у ¢¢=72–12 х –12 х ²= –12(х ²+ х –6).

Из уравнения у ¢¢=0 получим абсциссу точки перегиба: –12(х ²+ х –6)=0 х ₁= –3; х ₂=2.

Определим знак у ¢¢ на интервалах

(–∞; –3), (–3; 2), (2, +∞).

х	(–∞, –3)	-3	(–3; 2)		(2; +∞)
у ¢¢	–		+		–
форма кривой	выпукла	перегиб	вогнута	перегиб	выпукла

Найдем ординаты точек перегиба:

у (–3)=726; М ₁(–3; 726) – точка перегиба

у (2)=114; М ₂(2; 114) – точка перегиба.

На интервале (–3; 2) кривая вогнута. На интервалах (–∞; –3) и (2; +∞) – выпукла.

 

Пример 4.

Исследовать функцию и построить ее график.

1. Данная функция является многочленом (можно раскрыть скобки, получим многочлен третьей степени), поэтому она определена, непрерывна и дифференцируема при любых х.

2. Найдем производную.

.

Из уравнения у¢ =0 найдем критические точки: 3 х ·(х –2)=0, х ₁=0, х ₂=2. Исследуем их.

х	(–∞, 0)		(0; 2)		(2; +∞)
у¢	+		–		+
у
	возрастает	max	убывает	min	возрастает

3. Итак, функция возрастает на интервалах (–∞, 0) и (2, +∞), убывает на интервале (0; 2), имеет максимум при х=0 и минимум при х=2:

у _max= у (0)=4; у _min= у (2)=0.

4. Найдем вторую производную.

у¢¢= 6·(х -1).

Кривая выпукла там, где у¢¢ < 0, т. е. 6·(х –1) < 0, х < 1.

Кривая вогнута там, где у¢¢ > 0, т. е. х > 1.

Итак, на интервале (–∞, 1) кривая выпукла; а на интервале (1, +∞) – вогнута.

5. Точку перегиба найдем из уравнения у¢¢ =0. Таким образом, х =1 – абсцисса точки перегиба, т.к. эта точка разделяет интервалы выпуклости и вогнутости кривой. Ордината точки перегиба: у (1)=2.

График функции у =(х +1)·(х –2)² пересекает ось Ох при у =0, т. е. при х = –1 и х =2;

пересекает ось Оу при х =0, т. е. при у =4. Мы получили три точки: (–1; 0), (2; 0), (0; 4).

Все полученные точки внесем в таблицу, добавив соседние с ними.

х	–2	–1
у	–16		3
				max	перегиб	min

Рис. 28 Кривая у=(х+1)(х–2)².