Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕравила вычислени€ производных




ѕроизводна€ сложной функции.

≈сли у =ƒ(и), и=φ (х), то у ¢(х)=ƒ¢ (и)Јφ¢ (х).

ѕроизводна€ суммы.

≈сли у (х)= и (х)+ v (х), то у¢ (х)= и¢ (х)+ (х)

ѕроизводна€ произведени€.

≈сли у(х)=и (хv (х), то у ¢= и¢Јv+uЈv¢.

¬ частности, (с Ј и)¢=с Ј и ¢, т. е. посто€нный множитель выноситс€ из-под знака производной. Ћегко убедитьс€, что

(u2)¢= 2 uЈu¢, (u3)¢=3u2Јu¢, Е, (un)¢=nЈunЦ1Јu¢.

 

ѕроизводна€ частного. ≈сли , то .

 

ѕриведем и таблицу производных:

1. (с)¢=0 ƒл€ сложной функции: если и=и(х), то:  
2. (х)¢=1
3. α)¢= α Ј х αЦ1, а Ц любое действительное число. . 3.
4. (ах)¢=ахЈln а   4.
5. (logax)¢= . 5.
6. (sin x)¢=cos x 6.
7. (cos x)¢= Цsin x 7.
8. (tg x)¢= 8.
9. (ctg x)¢= 9.
10. 10.
11. 11.
12. 12.
  13.   13.

ѕри дифференцировании следующих функций укажем формулы и правила, которыми будем пользоватьс€.

Ќайти производные следующих функций.

 

ѕример 1.

у=(3Ц2 sin5x)4 |ѕримен€ем формулы производных дл€ иα, sin u |

y¢=4Ј(3Ц2Јsin5x)3Ј(3Ц2sin5x)¢=4Ј(3Ц2Јsin5x)3Ј(0Ц2Јcos5xЈ5) = Ц40Ј(3Ц2Јsin5x)3.

ѕример 2.

.

ѕример 3.

.

 

ѕример 4.

 

 

ѕример 5.

.

 

ѕример 6.

 

«апишем функцию так, чтобы упростить процесс дифференцировани€

 

.

 

ѕример 7.

 

 

ѕример 8.

 

 

ѕример 9.

 

.

 

 

ѕример 10.

 

—оставить уравнение касательной к параболе у = х 2Ц4 х в точке, где х =1.

”равнение касательной у - у 0=ƒ¢(х 0)Ј(х Ц х 0), где х 0, у 0 Ц координаты точки касани€.

ƒано, что х 0=1. »з уравнени€ параболы найдем у 0= у (х 0)= у (1)=12Ц4Ј1= Ц3.

”равнение параболы у = х 2Ц4 х, т. е. ƒ(х)= х 2Ц4 х. Ќайдем ƒ¢(х 0).

ƒ¢(х)=2 х Ц4. ƒ¢(х 0)=ƒ¢(1)=2Ј1Ц4= Ц2.

”равнение касательной:

у +3= Ц2Ј(х Ц1) или 2 х + у +1=0

ѕример 11.

ƒана крива€ . —оставить уравнени€ касательных к этой кривой, параллельных

а) оси ќх, б) пр€мой3 х Ц у Ц5=0.

Ќайдем производную от у:

а) ≈сли касательна€ параллельна оси ќх, то угловой коэффициент ее равен нулю, т. е. производна€ в точке х 0 должна быть равна нулю: х 2Ц4 х +3=0. –еша€ это уравнение, находим х 1=3 и х 2=1. Ќайдем соответствующие им значени€ функции:

 

ѕолучены две точки на данной кривой: ћ1 (3, Ц3) и ћ2 (1, ).

 асательные Ц пр€мые, проход€щие параллельно оси ќх, имеют уравнени€: у = Ц3 и у = .

б) ≈сли касательна€ параллельна пр€мой 3 х - у -5=0, то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту данной пр€мой:

 

3 х Ц у Ц5=0 или у =3 х Ц5.

k =3.

ѕроизводна€ у ¢ в точке х 0 должна быть равна 3.

х 2Ц4 х +3=3. –еша€ это уравнение х 2Ц4 х =0, находим х 1=0 и х 2=4.

Ќайдем соответствующие им значени€ функции:

у1 (0)= Ц3. у 2= у (4)= Ј43Ц2Ј42+3Ј4Ц3= Ц .

”равнение касательной в точке ћ1 (0,Ц3):

у +3=3Ј(хЦ 0) или 3 хЦу Ц3=0.

”равнение касательной в точке ћ2 (4, Ц ):

или 9 х Ц3 у Ц41=0.

 

ƒифференциал функции

ѕусть функци€ у =ƒ(х) определена на множества ’ и дифференцируема в каждой его точке.

ќпределение. ƒифференциалом функции называетс€ произведение

производной функции на приращение аргумента и

обозначаетс€ dy или d ƒ(х), т. е.

dy¢(x)ЈΔx

 

ѕусть дана функци€ у=х. “огда у ¢=1. ƒифференциал этой функции dy= 1 ЈΔx, т.е. dx=Δx.

ѕоэтому формулу дифференциала записывают в виде

 

dy=f¢(x)Јdx

ќтсюда , т. е. производна€ есть отношение дифференциалов функции и аргумента. »ногда удобно пользоватьс€ именно таким Ђопределениемї производной.

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-12-05; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 452 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ѕольшинство людей упускают по€вившуюс€ возможность, потому что она бывает одета в комбинезон и с виду напоминает работу © “омас Ёдисон
==> читать все изречени€...

760 - | 586 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.018 с.