Производная сложной функции.
Если у =ƒ(и), и=φ (х), то у ¢(х)=ƒ¢ (и)·φ¢ (х).
Производная суммы.
Если у (х)= и (х)+ v (х), то у¢ (х)= и¢ (х)+ v¢ (х)
Производная произведения.
Если у(х)=и (х)· v (х), то у ¢= и¢·v+u·v¢.
В частности, (с · и)¢=с · и ¢, т. е. постоянный множитель выносится из-под знака производной. Легко убедиться, что
(u2)¢= 2 u·u¢, (u3)¢=3u2·u¢, …, (un)¢=n·un–1·u¢.
Производная частного. Если 
, то 
.
Приведем и таблицу производных:
| 1. (с)¢=0 | Для сложной функции: если и=и(х), то: |
| 2. (х)¢=1 | |
3. (хα)¢= α · х α–1, а – любое действительное число.
 .
| 3. 
|
| 4. (ах)¢=ах·ln а | 4. 
|
5. (logax)¢= 
 .
| 5. 
|
| 6. (sin x)¢=cos x | 6. 
|
| 7. (cos x)¢= –sin x | 7. 
|
8. (tg x)¢= 
| 8. 
|
9. (ctg x)¢= 
| 9. 
|
10. 
| 10. 
|
11. 
| 11. 
|
12. 
| 12. 
|
13. 
|
13. 
|
При дифференцировании следующих функций укажем формулы и правила, которыми будем пользоваться.
Найти производные следующих функций.
Пример 1.
у=(3–2 sin5x)4 |Применяем формулы производных для иα, sin u |
y¢=4·(3–2·sin5x)3·(3–2sin5x)¢=4·(3–2·sin5x)3·(0–2·cos5x·5) = –40·(3–2·sin5x)3.
Пример 2.
. 
Пример 3.
. 
Пример 4.
Пример 5.
. 
Пример 6.
Запишем функцию так, чтобы упростить процесс дифференцирования
.
Пример 7.
Пример 8.
Пример 9.
. 
Пример 10.
Составить уравнение касательной к параболе у = х 2–4 х в точке, где х =1.
Уравнение касательной у - у 0=ƒ¢(х 0)·(х – х 0), где х 0, у 0 – координаты точки касания.
Дано, что х 0=1. Из уравнения параболы найдем у 0= у (х 0)= у (1)=12–4·1= –3.
Уравнение параболы у = х 2–4 х, т. е. ƒ(х)= х 2–4 х. Найдем ƒ¢(х 0).
ƒ¢(х)=2 х –4. ƒ¢(х 0)=ƒ¢(1)=2·1–4= –2.
Уравнение касательной:
у +3= –2·(х –1) или 2 х + у +1=0
Пример 11.
Дана кривая 
. Составить уравнения касательных к этой кривой, параллельных
а) оси Ох, б) прямой3 х – у –5=0.
Найдем производную от у:
а) Если касательная параллельна оси Ох, то угловой коэффициент ее равен нулю, т. е. производная в точке х 0 должна быть равна нулю: х 2–4 х +3=0. Решая это уравнение, находим х 1=3 и х 2=1. Найдем соответствующие им значения функции:
Получены две точки на данной кривой: М1 (3, –3) и М2 (1, 
).
Касательные – прямые, проходящие параллельно оси Ох, имеют уравнения: у = –3 и у = .
б) Если касательная параллельна прямой 3 х - у -5=0, то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту данной прямой:
3 х – у –5=0 или у =3 х –5.
k =3.
Производная у ¢ в точке х 0 должна быть равна 3.
х 2–4 х +3=3. Решая это уравнение х 2–4 х =0, находим х 1=0 и х 2=4.
Найдем соответствующие им значения функции:
у1=у (0)= –3. у 2= у (4)= 
·43–2·42+3·4–3= – 
.
Уравнение касательной в точке М1 (0,–3):
у +3=3·(х– 0) или 3 х–у –3=0.
Уравнение касательной в точке М2 (4, – ):
или 9 х –3 у –41=0.
Дифференциал функции
Пусть функция у =ƒ(х) определена на множества Х и дифференцируема в каждой его точке.
Определение. Дифференциалом функции называется произведение
производной функции на приращение аргумента и
обозначается dy или d ƒ(х), т. е.
dy =ƒ ¢(x)·Δx
Пусть дана функция у=х. Тогда у ¢=1. Дифференциал этой функции dy= 1 ·Δx, т.е. dx=Δx.
Поэтому формулу дифференциала записывают в виде
dy=f¢(x)·dx
Отсюда 
, т. е. производная есть отношение дифференциалов функции и аргумента. Иногда удобно пользоваться именно таким «определением» производной.
