Ряды с положительными членами.

О п р е д е л е н и е. Ряды с положительными членами – это ряды, члены которых не отрицательны.

Рассмотрим числовой ряд ,

где для такого ряда . Значит, последовательность частичных сумм возрастает.

Из теоремы о пределе монотонной последовательности можно сформулировать условие сходимости ряда с положительными членами.

Ряд с положительными членами всегда имеет сумму и эта сумма конечна, а ряд будет сходящимся, если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечна, а ряд расходящимся в противном случае.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

Теорема 1 (признак сравнения). Если члены двух числовых рядов и удовлетворяют неравенству для любых n, то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда. Из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Пример. Рассмотрим ряд . Сравним его с гармоническим рядом .

, .

По признаку сравнения данный ряд расходится.

Теорема 2 (признак Даламбера). Если для числового ряда существует конечный предел отношения последующего члена ряда к предыдущему

, то:

а) при ряд сходится;

б) при ряд расходится;

в) при вопрос о сходимости открыт.

Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимости.

Понятие знакопеременного ряда включает в себя как знакочередующиеся ряды, так и ряды с произвольным чередованием знаков своих членов.

Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд .

В этом случае знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся.

Сходящийся знакопеременный ряд называют условно сходящимся, если ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд

Решение:

.

Исследуем на сходимость положительный ряд .

Воспользуемся признаком сравнения 1:

.

Ряд – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

По признаку сравнения ряд сходится, поэтому знакопеременный ряд является абсолютно сходящимся.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.:

Признак Лейбница.

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия: 1. (монотонное убывание {an}) 2. . Тогда этот ряд сходится.

Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x₀), то есть ряд вида

где x ₀ − действительное число.