Производная сложной и обратной функций.

Если ф-ия u=α(x) имеет производную u_x’ в точке х, а ф-ия y=f(u) имеет y_u’ в соответствующей точке u=α(x), то сложная ф-ия y=f(α(x)) имеет производную y_x’ в точке х, кот. Нах-ся по фор-ле y_x’=y_u’u_x’. Для нахождения производной сложной ф-ии надо производную данной ф-ии по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу. Теорема: Если ф-ия y=f(x) строго монотонна на интервале (а;в) имеет неравную 0 производную f’(x) произвольной точке этого интервала, то обратная ей ф-ия x=α(y) также имеет производную α’(Y) в соответствующей точке, определяемую равенством α’(y)=1/f’(x) или x_y’=1/y_x’. Производная обратной ф-ии равна обратной величине производной данной ф-ии.

26. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

Если ф-ия задана ур-ем y=f(x), разрешенным относительно у, то ф-ия задана в явном виде(явная ф-ия). Под неявным заданием ф-ии понимают задание ф-ии в виде ур-я F(x;y)=0, неразрешенного относительно у. всякую явно заданную ф-ию у=f(x) можно записать как неявно заданную ур-ем f(x)-y=0, но не наоборот. Если неявная ф-ия задана ур-ем F(х;у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать ур-е относительно у: достаточно продифференцировать это ур-е по х, рассматривая при этом у как ф-ию х, и полученное затем ур-е разрешить относительно у’. Зависимость между аргументом х и ф-цией у задана параметрически в виде 2-х ур-ий Где t-вспомогательная переменная, называемая параметром. Y_x’=y’_t*1/x_t’ т.е. y_x’=y_t’/x_t’ - эта фор-ла позволяет находить производную y_x’ от ф-ии заданной параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

27. Производные основных элементарных функций
1.Степенная ф-ия y=xⁿ, n € Ν: (xⁿ)’=n*x^n-1

2. Показательная ф-ия y=a^x, a ›0, a≠1: (a^x)’=a^xlna

3.Логарифмическая ф-ия y=log_a x, a›0,a≠1: (log_a x)’ =1/x*ln a

4. тригонометрическая ф-ия y=sin x, y=cosx, y=tg x, y=ctg x:

(Sin x)’=cos x*x;

(cos)’= -x’sin x;

(tg x)’= x’/cos² x;

(ctg x)’= -x’/sin²x

28. Производные высших порядков
Производная y’=f(x) ф-ии y=f(x) есть также ф-ия от х и наз-ся производной первого порядка. Если ф-ия f’(x) дифференцируема,то ее производная наз-ся производной 2-го порядка и обозначается уⁿ. Итак, yⁿ=(y’)’

Производная от производной 2-го порядка, если она сущ-ет, наз-ся производной 3-го порядка и обознач-ся y^m. Итак, y^m=(y’)’

Производная n-го порядка наз-ся производная от производной (n-1) порядка: y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1))’

Производные порядка выше первого наз-ся производными высших порядков. Начиная с производной 4-го порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (y^v или у⁽⁵⁾ – производная 5-го порядка).

Дифференциал функции

Пусть y = f (x) дифференцируемая функция, т. е. она имеет конечную производную. Тогда на основании теоремы 1.3 о представлении функции в виде суммы предела и бесконечно малой функции можно записать

=> => ,

где -бесконечно малая функция по сравнению с D x, т. е. .

Обозначим через произведение бесконечно малых функций и D x. Следовательно, является бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с D x, . Запишем

.

Обозначают первое слагаемое в этой сумме через dy, т. е. , и называют дифференциалом функции y = f (x).

Если функция y = x, то . Это значит, что дифференциал dx и приращение D x независимой переменной совпадают dx = D x.

Тогда дифференциал функции имеет вид

или ,

а приращение функции равняется

.

Из равенства следует, что производная функции равняется

.

Определение. Дифференциалом функции y = f (x) в точке при бесконечно малом приращении независимой переменной D x называется бесконечно малая функция dy прямо пропорциональная D x и отличающаяся от приращения функции D y на бесконечно малую функцию b(D x) более высокого порядка малости по сравнению с D x.

Так как , где , то дифференциал называют главной линейной частью приращения функции.

30. Понятие дифференциала функции

Дифференциалом ф-ии у=f(x) в точке х наз-ся главная часть ее приращения, равная произведению производной ф-ии на приращение ергумента, и обознач-ся dy: Dy=f’(x)*∆x Дифференциал dy наз-ют также дифференциалом 1-го порядка. Дифференциал независимой переменной равен приращению эьлй переменной: dx=∆x. Поэтому ф-лу можно записать так: Dy=f’(x)dx Дифференциал ф-ии равен произведению производной этой ф-ии на дифференциал независимой переменной. Дифференциал ф-ии y=f(x) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику ф-ии в этой точке, когда получит приращение ∆х