Числовая последовательность. Предел числовой последовательности

 

Под числовой последовательностью х₁, х₂, х_3,..., х_n понимается фун-я х_n=f(n), заданная на множ-ве N нат-х чисел. Кратко послед-ть обозн-ся в виде {x_n} или x_n, n E N.Число х₁ наз-ся первым членом послед-ти, х₂-вторым,..., х_n-общим или n-м членом послед-ти.Послед-ть x_n наз-ся ограниченной, если сущ-ет такое число М>0,что для любого nEN вып-ся нерав-во |x_n|< или =M. В противнм случае послед-ть наз-ся неограниченной. Послед-ть {x_n} наз-ся возрастающей(неубыв-й) если для любого n вып-ся нерав-во x_n+1>x_n(x_n+1> Или = x_n. Все эти послед-ти наз-ся монотонными послед-ми. Послед-ти v_n, y_n, u_n монотонные, а z_n-не монотонная.Если все эл-ты послед-ти {x_n} равны одному и тому же числу с, то ее наз-ют постоянной. Есть еще один способ послед-тей-рекурентный способ. В нем задается начальный эл-нт х₁ и правило определения n-го эл-та по (n-1)-му: x_n=f(x_n-1)/

Число а наз-ся пределом послед-ти {x_n}, если для любого полож-го числа $ найдется такое натур-е число N,что при всех n>N вып-ся нерав-во: |x_n-a|<$.

 

 

13. Предел функции. Определения. Основные теоремы о пределах
Число А наз-ся пределом числовой фун-и y=f(x) в точке х₀, если для любой послед-ти допустимых значений аргумента x_n,nEN(x_n=x₀), сходящейся к x₀, послед-ть соотв-х значений фун-й f(x_n), n E N, сходится к числу А(т.е lim f(x_n)=A).

Число А наз-ся пределом фун-и в точке х₀, если для любого положит-го $ найдется такое полож-е число б, что для всех х=х₀, удовлет-х нерав-ву |x-x₀|<б, вып-ся нерав-во |f(x)-A|<$

Основные теоремы о пределах:

Теорема 1. Предел суммы(разности) двух фун-й равен сумме(разности) их пределов: lim(f(x)+_ф(x))=lim f(x)+_lim ф(х).

Следствие. Фун-я может иметь только один предел при х-х₀

Теорема 2.Предел произ-ния двух фун-й равен произведению их пределов: lim (f(x)*ф(x))=lim f(x)*lim ф(х)

14. Бесконечно большая функция (б.б.в.). Бесконечно малые функции (б.м.в.). Основные теоремы
Фун-я y=f(x) наз-ся бесконечно большой при х-х₀, если для любого числа М>0 сущ-ет число б=б(М)>0, что для всех х,удовлет-щих нерав-ву 0<|x-x₀|<б, вып-ся нерав-во |f(x)>M, записывают lim f(x)=8 или f(x)-8 при х-х₀.

Фун-я y=f(x), заданная на всей числовой прямой,наз-ся бескончено большой при х-8,если для любого числа М>0 найдется такое число N=N(M)>0,что при всех х, удовлет-щих нерав-ву |x|>N,вып-ся нерав-во |f(x)>M.

Фун-я y=f(x) наз-ся бесконечно малой при х-х₀, если lim f(x)=0.Бесконечно малые фун-и часто наз-ют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обоз-ют обчно греч-ми буквами a, b и.т.д. Примерами б.м.ф служат фун-и у=х² при х-0.

Теорема1. Алгебраич-я сумма конечного числа бесконечно малых фун-й есть бесконечно малая фун-я. Теорема2. Произведение ограниченной фун-и на бесконечно малую фун-ю есть фун-я бесконечно малая.Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой фун-и на фун-ю, имеющую отличный от нуля предел, есть фун-я бесконечно малая.Теорема4.Если фун-я а(х)-бесконечно малая (а=0), то фун-я 1\а(х) есть бесконечно большая фун-я и наоборот: если фун-я f(x)-бесконечно большая, то 1\f(x)-бесконечно малая.

15. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел
При вычислении пределов выражений, содерж-х тригоном-е фун-и, часто используют предел lim sin x\x=1, называемый первым замеч-м пределом.Читается:предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю.

Предел числовой послед-ти x_n=(1+1\n)ⁿ, nE N, имеет предел, равный е: lim(n-8)(1+1\n)ⁿ=e.

Если в рав-ве lim(n-8)(1+1\n)ⁿ=e положить 1\х=а(а-0 при х-8), оно запишется в виде: lim(a-0)(1+a)^1\a=e. Рав-ва lim(n-8)(1+1\n)ⁿ=e и lim(a-0)(1+a)^1\a=e наз-ся вторым замеч-м пределом. Они широко используются при вычислении пределов. Фун-я у=е^х наз-ся экспоненциальной,употреб-ся также обозначение e^x=exp(x)

Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентных величин

Если то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (при х→x0); это обозначается так: α~ß.Теор-а.Предел отношения двух бесконечно малых функций не изменится, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой.

Теорема. Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая более высокого порядка, чем каждая из них..Теорема.Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.Докажем теорему для двух функций. Пусть α→0, ß→0 при х→хо, причем α — б.м.ф. высшего порядка, чем ß, т. е. Тогда

Для раскрытия неопределённостей вида 0/0 часто бывают полезным применять принцип замены бесконечно малых эквивалентными и другие свойства эквивалентных бесконечно малых функций. Как известно, sinx~х при х→0, tgx~х при х→0.Таблица эквив.величин:

1.Sinx~х при х→0; 2.tgx~х (х→0); 3.arcsinх ~ х (х→0); 4.arctgx~х (х→0); 5.1-cosx~x2/2 (х→0); 6.ех-1~х (х→0); 7.αх-1~х*ln(a) (х→0); 8.ln(1+х)~х (х→0); 9.loga(l+х)~х•logaе (х→0); 10.(1+х)k-1~k*х, k>0 (х→0);

17. Непрерывность функций в точке. Основные определения. Непрерывность функции на множестве
Фун-я f(x) наз-ся непрерывной в точке х₀,если она удовлетворяет след-м 3м условиям: 1)определена в точке х₀; 2)имеет конечный предел фун-и при х-х₀;3)этот предел равен значению фун-и в точке х₀, т.е lim f(x)=f(x₀)).Св-ва фун-й,непрерывных в точке: 1. Если фун-и f(x) и ф(х) непрерывны в точке х₀, то их сумма f(x)+ф(х), произведение f(x)ф(х) и частное f(x)\ф(х). Док-во следует из опред-я непрерывностии аналогичных св-в пределов фун-й. 2. Если фун-я у=f(x)непрерывна в точке х₀ и f(x)>0, то сущ-ет такая окрестность точки х₀, в кот-й f(x)>0. Док-во этого св-ва основывается на том,что при малых приращениях аргумента х-0 в соотв-и со вторым опред-ем непрерывности фун-и можно получить как угодно малое приращение фун-и у, так что знак фун-и у=f(x) в окрестности (x₀-x, x₀+x) не измен-ся. 3.Если фун-я у=f(u) непрерына в точке u₀=ф(х₀), то сложная фун-я y=f[ф(х)] непрерывна в точке х₀. Док-во состоит в том, что малому приращению аргумента х-0 в силу второго определения непрерывности фун-и u=ф(х) cоотв-ет как угодно малое приращение u-0, приводящее в силу того же определения непрерывности фун-и у=f(u) к как угодно малому приращению у-0.

Фун-я f(x),наз-ся непрерывной на множестве Х, или говорят,что фун-я f(x) принадлежит множеству всех фун-й,непрерывных на множ-ве Х, если она непрерывна в каждой точке множества Х.Например, функция f(x)=1\x непрерывна на множестве (0,8), но не яв-ся непрерывной на множ-ве (-8, 8), поскольку в точке х=0 она не задана. Если фун-ю доопределить при х=0, то х=0 точка разрыва второго рода.

 

18. Точки разрыва функции I-го рода

Функция f(x) имеет точку разрыва при х=а, если она определена слева и справа от точки а, но в точке а не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности.

Точка а является точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы

=A₁ и =A₂, т.е. выполняется второе условие непрерывности и не выполняются остальные условия или хотя бы одно из них.

При этом: а)если А₁₌А₂, то точка х₀ наз-ся точкой устранимого разрыва; б)если А₁ не равно А_2, то точка х₀ наз-ся точкой конечного разрыва.Величину |A₁-A₂| наз-ют скачком фун-и в точке разрыва первого рода.