Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕрискоренн€ швидкост≥ зб≥жност≥




≈фективн≥сть метод≥в простоњ ≥терац≥њ ≥ ≥терац≥њ «айдел€ можна набагато п≥двищити за рахунок застосуванн€ спец≥альних способ≥в прискоренн€ швидкост≥ зб≥жност≥ обчислювального процесу.

¬иконують л≥н≥йне прискоренн€ зб≥жност≥. —уть його пол€гаЇ в тому, що на k+1- кроц≥ п≥сл€ визначенн€ за звичайними формулами обчислюють його пол≥пшене значенн€:

,

де - пол≥пшене значенн€ попереднього кроку, α Ц коеф≥ц≥Їнт прискоренн€, €кий лежить у межах 1...2.

як показуЇ практика, п≥д час розвТ€зуванн€ р≥вн€нь усталених електромагн≥тних режим≥в ≈≈—, коеф≥ц≥Їнт прискоренн€ дл€ у€вних складових координат режиму сл≥д дати на 20%÷30% б≥льшим в≥д коеф≥ц≥Їнта дл€ д≥йсних складових. ќптимальне значенн€ коеф≥ц≥Їнта прискоренн€ дл€ д≥йсних складових режиму лежить у межах =1,2... 1,6; дл€ у€вних Ц 1,6... 1,8.

 оеф≥ц≥Їнт прискоренн€ сл≥д вводити не на перших кроках, а приблизно тод≥, коли процес ≥терац≥њ стане монотонним, без стрибкопод≥бних зм≥н нев≥домих.

«астосувавши л≥н≥йне прискоренн€ ≥терац≥й «айдел€, к≥льк≥сть крок≥в, що необх≥дн≥ дл€ дос€гненн€ належноњ точност≥, грубо можна оц≥нити к≥льк≥сть р≥вн€нь системи.

≤ все ж таки процеси простоњ ≥терац≥њ вимагають великоњ к≥лькост≥ крок≥в наближень.

І 5.2.4 ћетод найшвидшого спуску

Ќехай р≥вн€нн€ (1) неперервне ≥ маЇ неперервн≥ пох≥дн≥ в кол≥ його визначенн€. ќбчисленн€ корен≥в р≥вн€нн€ зводитьс€ до знаходженн€ м≥н≥муму скал€рноњ функц≥њ:

. (2)

«адача розвТ€занн€ р≥вн€нн€ (1) зводитьс€ до знаходженн€ нульового м≥н≥муму функц≥њ (2) у багатом≥рному простор≥ координат .

‘ормула скал€рноњ функц≥њ (2):

,

 

де Ц матриц€ якоб≥.

 

¬ектор ортогональний до поверхн≥ р≥вн€ функц≥њ ≥ його напр€м в≥дпов≥даЇ напр€му найшвидшого зростанн€ . –ухаючись протилежно до напр€му град≥Їнта, перем≥щаЇмось до м≥н≥муму функц≥њ , тобто можемо визначити вектор-кор≥нь р≥вн€нн€ (1).

ћетоди, що ірунтуютьс€ на такому п≥дход≥, називаютьс€ град≥Їнтними.

якщо в≥доме наближене розм≥щенн€ нульового м≥н≥муму, тобто в≥доме де€ке грубе (нульове) наближенн€ розвТ€зку (1) , то, обчисливши , можна провести через точку пр€му, протилежну до напр€мку град≥Їнта Ц в напр€м≥ м≥н≥муму функц≥њ , ≥дучи по ц≥й пр€м≥й потрапл€Їмо на поверхню м≥н≥мального в даному напр€м≥ р≥вн€ у де€к≥й точц≥ . ƒал≥ в≥дправл€ючись з точки , проти зд≥йснюЇмо под≥бний рух до точки поверхн≥ нового м≥н≥мального р≥вн€ ≥ т.д. аж до точки нульовоњ м≥н≥мальноњ функц≥њ .

Ћаману л≥н≥ю, по €к≥й ≥де перем≥щенн€ з точки х до м≥н≥муму , називають л≥н≥Їю найшвидшого спуску, а в≥дпов≥дний такому перем≥щенню град≥Їнтний метод Ц методом найшвидшого спуску, або оптимальним град≥Їнтний методом.

ƒл€ л≥н≥йного матрично-векторного р≥вн€нн€ (1):

 

ќбчисленн€ k Ї першого наближенн€ розвТ€зку такого р≥вн€нн€ сформулюЇмо у вигл€д≥ алгоритму:

1) за знайденим на попередньому k-му кроц≥ наближенн€ одержуЇмо багатом≥рний вектор невТ€зок:

;

2) обчислюЇмо вектор:

;

3) визначаЇмо вектор:

;

4) шукаЇмо параметр ≥терац≥њ:

;

5) знаходимо наступне (k+1) уточненн€ нев≥домого вектора :

.

 

“очн≥сть розвТ€занн€ оц≥нюЇтьс€ ≈вкл≥довою нормою багатом≥рного вектора невТ€зок :

· .

–озрахунок зак≥нчитьс€ при дос€гненн≥ бажаного значенн€.

 

І 5.3. „исельн≥ методи розвТ€зуванн€ систем нел≥н≥йних р≥вн€нь

І 5.3.1ћетод простоњ ≥терац≥њ

ƒл€ розвТ€зуванн€ р≥вн€нн€ f(x)=0 запишемо у вигл€д≥:

 

(1) або , (2)

де с Ц де€ка квадратна матриц€.

« (1) ≥ (2) знайдемо:

.

якщо f(x) маЇ пох≥дну в де€к≥й област≥ G, то знаходимо:

.

ƒостатньою умовою зб≥жност≥ процесу ≥терац≥њ в ц≥й област≥ Ї умова:

,

де норма розгл€даЇтьс€ в сенс≥ ℓ - або m Ц норми.

”мова повинна задовольн€тис€ на вс≥х кроках посл≥довних наближень, починаючи в≥д .

ћатрицю с вибирають так, щоб:

чи (*)

ƒл€ нел≥н≥йних систем р≥вн€нь:

.

≤терац≥йний процес зб≥гаЇтьс€ з швидк≥стю геометричноњ прогрес≥њ, що визначаЇтьс€ з сп≥вв≥дношенн€:

, (3)

де .

“ут розгл€даЇтьс€ максимальне значенн€ ℓ - або m Ц норми в област≥ G при значенн≥ вектора , €кий в≥н набираЇ у процес≥ ≥терац≥њ.

ќц≥нка точност≥ вектор-корен€ на k-му кроц≥ обчислень:

, (4)

де - точне значенн€ вектор-корен€.

¬ (3) ≥ (4) норми визначаютьс€ в сенс≥ ℓ - або m Ц норми.

Ќеобх≥дною ≥ достатньою умовою зб≥жност≥ простого ≥терац≥йного процесу Ї умова:

,

де λ Ц вектор власних значень матриц≥ якоб≥.

І 5.3.2ћетод ≥терац≥њ «айдел€.

ѕод≥бно €к в л≥н≥йних системах значенн€ наближених УмолодшихФ нев≥домих, знайдених на даному кроц≥, використовуютьс€ дл€ визначенн€ УстаршихФ при цьому ж кроц≥ наближенн€.

ќтже, одержуЇмо таку посл≥довн≥сть обчислень:

,

де матриц≥ р€дки Ї в≥дпов≥дними р€дками матриц≥ с, €ка визначаЇтьс€ (*).

¬с≥ операц≥њ (знаходженн€ с ≥ наближень) зд≥йснюютьс€ так само, €к ≥ в прост≥й ≥терац≥њ.

 

І 5.3.3 ћетод найшвидшого спуску.

1) за одержаними на попередньому k-му кроц≥ значенн€ми багатом≥рного вектора обчислюють багатом≥рний вектор в≥дхилень (невТ€зок): ;

2) багатом≥рний вектор: ;

3) вектор: ;

4) параметр ≥терац≥њ: ;

5) знайти наступне k+1-ше наближенн€ нев≥домого багатом≥рного вектора: .

ћетод град≥Їнта в застосуванн≥ до системи нел≥н≥йних р≥вн€нь под≥бно €к у випадку л≥н≥йних систем забезпечуЇ абсолютну зб≥жн≥сть до м≥н≥муму функц≥њ . якщо цей м≥н≥мум нульовий, то д≥стаЇмо розвТ€зок системи умови та швидкост≥ зб≥жност≥ на кроц≥ ≥терац≥њ, визначений так само, €к ≥ дл€ системи л≥н≥йних р≥вн€нь.

 


–озд≥л 6. ћатематичн≥ основи метод≥в анал≥зу перех≥дних процес≥в електроенергетичноњ системи

ѕерех≥дн≥ процеси в≥дпов≥дають узагальненому стану систем ≥ вони описуютьс€ диференц≥йними (чи ≥нтегрально-диференц≥йними) та ск≥нченими р≥вн€нн€ми.

” класичному вар≥ант≥ задача анал≥зу перех≥дного процесу ≈≈— з математичного погл€ду зводитьс€ до формуванн€ та розвТ€зуванн€ диференц≥йних ≥ ск≥нчених р≥вн€нь њњ стану.

≈лектромагн≥тн≥ ≥ електромехан≥чн≥ €вища ≈≈— та њхн≥х елемент≥в у загальному випадку описуютьс€ системами нел≥н≥йних ≥нтегрально-диференц≥йних ≥ ск≥нчених р≥вн€нь.

” найпрост≥шому випадку, коли не враховуютьс€ залежност≥ параметр≥в елемент≥в систем в≥д ≥нтенсивност≥ процес≥в, ц≥ р≥вн€нн€ л≥н≥йн≥ з пост≥йними коеф≥ц≥Їнтами за умови, що параметри незм≥нн≥ в час≥, та з≥ зм≥нними коеф≥ц≥Їнтами, €кщо параметри елемент≥в Ї функц≥€ми часу.

«деб≥льшого п≥д час анал≥зу електроенергетичних систем, особливо при глибоких збуренн€х ≥ њхн≥х режим≥в, необх≥дно враховувати залежн≥сть параметр≥в системи в≥д ≥нтенсивност≥ процес≥в ≥ стан систем, тим самим описуЇтьс€ нел≥н≥йними ск≥нченими та диференц≥йними р≥вн€нн€ми.

ѕ≥д час анал≥зу ≈≈— та њх елемент≥в основн≥ дв≥ задач≥:

1) визначенн€ к≥льк≥сних характеристик €вищ, точн≥ше встановленн€ за тою чи ≥ншою формою (анал≥тичною, числовою чи граф≥чною) залежностей њх ф≥зичних величин в≥д координат простору ≥ часу;

2) вивченн€ €к≥сноњ сторони Ц €к ст≥йкост≥ режим≥в ≈≈—.

ѕерша задача в математичному розум≥нн≥ у загальному випадку зводитьс€ до розвТ€зуванн€ ск≥нчених ≥ диференц≥йних р≥вн€нь (задача  ош≥ чи крайова задача).

ƒругу задачу з математичного боку можна охарактеризувати €к задачу оц≥нки ст≥йкост≥ розвТ€занн€ ск≥нчених ≥ диференц≥йних р≥вн€нь стану. ѕри цьому, €кщо розгл€даютьс€ неглибок≥ збуренн€ системи, задача часто розвТ€зуЇтьс€ шл€хом л≥неаризац≥њ його диференц≥йних р≥вн€нь, €к≥ п≥д час досл≥дженн€ ст≥йкост≥ Ц нел≥н≥йн≥.

«агальним випадком звичайних диференц≥йних р≥вн€нь Ї система р≥вн€нь першого пор€дку, €ку можна записати у вигл€д≥ не€вного матрично-векторного р≥вн€нн€:

,

де - вектор-функц≥€ в≥д вектора зм≥нних , його пох≥дних по аргументу х ≥ самого аргументу.

¬ €вному вигл€д≥:

Ч нормальна форма  ош≥.

ћетоди розвТ€зуванн€ диференц≥йних р≥вн€нь Ц точн≥ й наближен≥.

“очн≥ Ц це анал≥тичн≥, €к≥ дають алгоритм розвТ€зуванн€ з≥ строго визначеним числом крок≥в при виконанн≥ абсолютно точних обчислень. «агальн≥ точн≥ розвТ€занн€ ≥снують т≥льки дл€ л≥н≥йних диференц≥йних р≥вн€нь у звичайних пох≥дних.

ƒо наближених в≥днос€тьс€ наближен≥ анал≥тичн≥ методи, граф≥чн≥ та чисельн≥.

јнал≥тичн≥ методи наближеного ≥нтегруванн€ диференц≥йних р≥вн€нь вимагають застосуванн€ квадратур, що часто не виражаютьс€ в елементарних функц≥€х ≥ не задовольн€ють вимог точност≥, компактност≥ та огл€дност≥ розвТ€зань:

- ≥нтегруванн€ диференц≥йних р≥вн€нь за допомогою ступеневих р€д≥в;

- метод посл≥довних наближень (метод ѕ≥кара) нагадуЇ метод простоњ ≥терац≥њ;

- метод малого параметра.

√раф≥чн≥ методи дуже обмежен≥ щодо кола задач,0 оск≥льки њхн≥ алгоритми вузькоспец≥ал≥зован≥ й не можуть задовольнити точност≥.

Ўироке застосуванн€ мають чисельн≥ методи, €к≥ забезпечують розвТ€зуванн€ практично вс≥х задач ≥нтегруванн€ диференц≥йних р≥вн€нь з заданою точн≥стю ≥ Ї основними методами розвТ€зуванн€ диференц≥йних р≥вн€нь, анал≥зу, синтезу та керуванн€ ≈≈— ≥ њх п≥дсистем.

—уть чисельних метод≥в ≥нтегруванн€ диференц≥йних р≥вн€нь, €к≥ часто називаютьс€ чисельними методами анал≥зу, пол€гаЇ в посл≥довному обчисленн≥ наближених значень ≥нтегральноњ вектор-функц≥њ на множин≥ точок аргументу , k=0,1..., n в ≥нтервал≥ визначенн€ вектор-функц≥њ при . ¬еличину називають кроком ≥нтегруванн€.

„исельн≥ методи анал≥зу под≥л€ютьс€ на однокроков≥, багатокроков≥, а також на €вн≥ та не€вн≥.

¬ одно крокових методах наступне дискретне значенн€ вектор-функц≥њ визначаЇтьс€ з використаного значенн€ ц≥Їњ ж вектор-функц≥њ т≥льки в одн≥й попередн≥й точц≥ Ц k-≥й ().

” багатокрокових використовуЇтьс€ значенн€ вектор-функц≥њ в дек≥лькох попередн≥х точках (тобто при = 0, 1, 2... n).

¬ €вних методах зд≥йснюЇтьс€ пр€ме обчисленн€ ≥нтегральноњ вектор-функц≥њ у вигл€д≥:

.

” не€вних Ц таке обчисленн€ зд≥йснюЇтьс€ на основ≥ не€вних ск≥нчених р≥вн€нь вигл€ду =0, що одержуютьс€ з диференц≥йних р≥вн€нь.

 

1. як записують в загальному вигл€д≥ диференц≥альне р≥вн€нн€ за формою задач≥  ош≥?

2. як≥ переваги маЇ форма задач≥  ош≥ дл€ розв'€зуванн€ диференц≥ального р≥вн€нн€?

3. як≥ електричн≥ величини в≥д≥грають роль зм≥нних стану дл€ електричних систем?

4. як≥ переваги маЇ метод зм≥нних стану в пор≥вн€нн≥ з методами контурних струм≥в та вузлових напруг?

5. ќхарактеризуйте суть перетворень повноњ системи р≥вн€нь електричноњ системи до форми р≥вн€нь зм≥нних стану.

6. як повинн≥ бути зам≥нен≥ резистивн≥ струми ≥ напруги дл€ одержанн€ р≥вн€нь за зм≥нними стану?

7. ѕо€сн≥ть застосуванн€ методу суперпозиц≥њ дл€ формуванн€ р≥вн€нь зм≥нних стану. Ќавед≥ть приклад дл€ простоњ електричноњ системи.

8. як≥ матричн≥ сп≥вв≥дношенн€ дозвол€ють отримати р≥вн€нн€ дл€ зм≥нних стану?

9. як можна за допомогою сигнальних граф≥в отримати р≥вн€нн€ дл€ зм≥нних стану?

10. як можна перетворити р≥вн€нн€ зм≥нних стану до р≥вн€нь з пост≥йними або синусоњдними джерелами електричноњ енерг≥њ?

11. ѕо€сн≥ть геометричну суть однокрокових метод≥в чисельного ≥нтегруванн€ диференц≥альних р≥вн€нь.

12. як визначають пор€док методу чисельного ≥нтегруванн€ диференц≥альних р≥вн€нь?

13. як≥ фактори зумовлюють похибку в процес≥ чисельного ≥нтегруванн€ диференц≥альних р≥вн€нь?

14. ¬≥д €ких фактор≥в залежить ст≥йк≥сть чисельних метод≥в ≥нтегруванн€ диференц≥альних р≥вн€нь? Ќавед≥ть приклад про€ву чисельноњ нест≥йкост≥.

15. ” чому пол€гаЇ суть не€вних метод≥в ≥нтегруванн€ диференц≥альних р≥вн€нь. як≥ переваги вони мають перед €вними методами?

16. як можна виразити дл€ л≥н≥йноњ електричноњ системи р≥вн€нн€ дл€ зм≥нних стану?

17. ўо €вл€Ї собою системна матриц€, €к≥ способи њњ обчисленн€ можна застосувати?

18. ѕо€сн≥ть суть системних метод≥в чисельного ≥нтегруванн€ диференц≥альних р≥вн€нь за методикою –акитського‑ƒем≥рчана?

19. ќпиш≥ть алгоритм автоматизованого формуванн€ систем р≥вн€нь за методом зм≥нних стану.

20. ” чому суть кусково-л≥н≥йноњ апроксимац≥њ нел≥н≥йних характеристик електричних двополюсник≥в?

21. як застосовують метод припасовуванн€ дл€ анал≥зу динам≥ки нел≥н≥йних систем перетворенн€ електричноњ енерг≥њ?

22. ѕо€сн≥ть алгоритми уточненн€ момент≥в перемиканн€ нап≥впров≥дникових д≥од≥в та тиристор≥в при анал≥з≥ динам≥чних режим≥в електричних систем перетворенн€ електроенерг≥њ.

 

 


≈кзаменац≥йн≥ запитанн€

 

1. ÷≥л≥ ≥ задач≥ курсу.

2. ќсобливост≥ метод≥в розгл€дуваних в курс≥.

3. «астосуванн€ метод≥в.

4. —труктурн≥ елементи електричного кола.

5. јнал≥тичний запис структури електричного кола.

6. ќсновн≥ закони електричного кола.

7. ќсновн≥ закони електричного кола в координатах струм≥в.

8. ќсновн≥ закони електричного кола в координатах напруг.

9. ћетод незалежних струм≥в.

10. ћетод контурних струм≥в.

11. ћетод незалежних напруг.

12. ћетод вузлових напруг.

13. ћатриц≥ вх≥дних ≥ взаЇмних адм≥танс≥в.

14. ћатриц€ коеф≥ц≥Їнт≥в розпод≥лу.

15. ћатриц€ вузлових ≥мпеданс≥в.

16. ¬изначенн€ под≥й ≥ взаЇмозвТ€зки м≥ж ними.

17. –озрахунок ≥мов≥рностей.

18. ќсновн≥ теореми теор≥й ≥мов≥рностей: теореми додаванн€; мно≠женн€ ≥мов≥рностей; формула повноњ ≥мов≥рност≥; теорема г≥потез; повторенн€ досл≥д≥в.

19. ¬ипадков≥ величини в енергетиц≥.

20. —пособи заданн€ закон≥в розпод≥лу: р€д, функц≥€ ≥ густина розпод≥лу випадковоњ величини ≥ њх властивост≥.

21. «акони розпод≥л≥в випадкових величин.

22. „ислов≥ характеристики випадкових величин ≥ њх властивост≥: математичне спод≥ванн€, дисперс≥€, середньо-квадратичне в≥дхиленн€.

23. ѕон€тт€ моменту випадковоњ величини.

24. „ислов≥ характеристики випадкових величин, розпод≥лених за р≥вном≥рним законом розпод≥лу.

25. „ислов≥ характеристики випадкових величин, розпод≥лених за нормальним законом розпод≥лу.

26. „ислов≥ характеристики випадкових величин, розпод≥лених за б≥ном≥альним законом розпод≥лу.

27. „ислов≥ характеристики випадкових величин, розпод≥лених за законом розпод≥лу ѕуассона.

28. ѕон€тт€ системи випадкових величин.

29. ‘ункц≥€ ≥ густи≠на розпод≥лу системи випадкових величин ≥ њх властивост≥.

30. ‘ункц≥€ ≥ гус≠тина розпод≥лу окремих компонент системи випадкових величин.

31. „ислов≥ характеристики системи випадкових величин.

32.  орел€ц≥йний момент та коеф≥ц≥Їнт корел€ц≥њ системи випадкових величин та њх властивост≥.

33. ”мовне мате≠матичне спод≥ванн€.

34. ћатематична статистика. ќсновн≥ пон€тт€.

35. ѕервинна статистична сукуп≠н≥сть ≥ њњ впор€дкуванн€.

36. «групований статис≠тичний р€д.

37. √≥стограма.

38. ¬ир≥внюванн€ статис≠тичних закон≥в.

39.  ритер≥њ згоди ѕ≥рсона (χ2).

40.  ритер≥њ згоди —м≥рнова-  олмогорова.

41.  ритер≥њ згоди  олмогорова.

42. ƒов≥рчий ≥нтервал ≥ над≥йн≥сть.

43. ƒов≥рчий ≥нтервал дл€ математичного спод≥ванн€.

44. ƒов≥рчий ≥нтервал дл€ середньоквадратичного в≥дхиленн€.

45. ќц≥нка ≥стинного значенн€ вим≥≠рюваноњ величини ≥ точност≥ вим≥рювань.

46. ќц≥нка числових характеристик випадкового вектора по обмеженому числу досл≥д≥в.

47. —татистики числових характеристик.

48. ѕобудова функц≥њ л≥н≥йноњ регрес≥њ.

49. ѕон€тт€ випадкового процесу.

50. «акони розпод≥лу ≥ основн≥ характеристики випадкового процесу.

51. ¬изначенн€ з досл≥ду числових характеристик випадкового процесу.

52. ѕон€тт€ стац≥онарност≥ та ергодичност≥ випадкового процесу.

53. ¬изначенн€ з досл≥ду числових характеристик стац≥онарного випадкового процесу.

54. ¬изначенн€ з досл≥ду числових характеристик ергодичного стац≥онарного процесу по одн≥й реал≥зац≥њ.

55. ¬изначенн€ з досл≥ду числових характеристик нестац≥онарного випадкового процесу по одн≥й реал≥зац≥њ.

56. “еор≥€ над≥йност≥. ќсновн≥ положенн€.

57. —татистичн≥ характерис≠тики над≥йност≥.

58. ¬изначенн€ над≥йност≥ сис≠теми на основ≥ характеристики над≥йност≥ њњ елемент≥в.


—писок рекомендованоњ л≥тератури

1. ƒавиденко Ћ.¬. ‘ормал≥зован≥ методи анал≥зу електричних к≥л. ѕрограма та методичн≥ вказ≥вки до виконанн€ розрахунково-граф≥чних та контрольних роб≥т з курсу Ућатематичн≥ задач≥ електроенергетикиФ дл€ студент≥в спец≥альност≥ 6.090600 Д≈лектротехн≥чн≥ системи електроспоживанн€Ф вс≥х форм навчанн€. Ц Ћуцьк: Ћƒ“”, 1998.

2. ƒавиденко Ћ. ¬. ћатеметаична статистика. ћетодичн≥ вказ≥вки до практичних зан€ть з курсу Дћатематичн≥ задач≥ електроенергетикиФ дл€ студент≥в спец≥альност≥ 6.090600 Д≈лектротехн≥чн≥ системи електроспоживанн€Ф вс≥х форм навчанн€. Ц Ћуцьк: Ћƒ“”, 2001.

3. ƒавиденко Ћ.¬.  онспект лекц≥й з дисципл≥ни Дћатематичн≥ задач≥ електроенергетикиФ дл€ студент≥в спец≥альност≥ 6.090600 Д≈лектротехн≥чн≥ системи електроспоживанн€ вс≥х форм навчанн€. Ц Ћуцьк: Ћƒ“”, 2003.

3.ѕерхач ¬.—. ћатематичн≥ задач≥ електроенергетики.- Ћьв≥в: ¬ища шк.., 1989.

4. ћатематическа€ статистика /»ванова ¬.ћ.,  алинина ¬.Ќ., Ќешумова Ћ.ј. и др.-ћ.: ¬ысш. шк., 1981.

5. –. Ўторм. “еори€ веро€тностей. ћатематическа€ статистика. —татистический контроль качества. Ц ћ.: ћир, 1970.

6. —борник задач по теории веро€тностей, математческой статистике и теории случайных функций / ѕод.рец. ј.Ћ.—вешникова Ц »зд-во УЌаука", √л. ред. физ.-мат лит. 1970.

7. Ёлектрические сети и системы: ћатематические задачи элетроэнергетики/ ѕод ред. ¬еникова ¬.ј.- ћ.: Ёнергоатомиздат, 1988.

8. Ёлетрические сети и системы/ Ќ.¬.Ѕуслова, ¬.Ќ.¬инославский, √.Ќ.ƒенисенко, ¬.—.ѕерхач Ц  .: ¬ысш.шк., 1986.

9. ≈.—.¬ентцель, Ћ.ј.ќвчаров. “еори€ веро€тностей и ее инженерные приложени€.-ћ.:Ќаука, √л.ред.физ.-мат.лит., ≤988.

10. Ѕлажкевич Ѕ.≤. ќсновн≥ методи анал≥зу електричних к≥л. Ц  .: “ехн≥ка, 1971.

11. ѕугачев ¬.—. “еори€ случайных функц≥й. Ц ћ.: ‘изматтиз, 1960.


 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-24; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 433 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тремитесь не к успеху, а к ценност€м, которые он дает © јльберт Ёйнштейн
==> читать все изречени€...

1936 - | 1866 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.122 с.