Методи розв’язування скінчених рівнянь у задачах електроенергетики

 

Рівняння виду

, (1)

де - вектор багатомірного аргументу називають скінченими рівняннями. Сюди належать системи лінійних і нелінійних алгебраїчних рівнянь, алгебраїчні й трансцендентні рівняння однієї змінної.

У розгорнутому вигляді запишемо:

(2)

У випадку однієї змінної (1) й (2) перетворюються у f(x)=0.

Деяке числове значення , яке задовольняє рівняння (1), називається розв’язкою, або розв’язанням.

Методи розв’язування рівнянь поділяються на аналітичні, графічні та чисельні. Крім того, розрізняють точні та наближені методи.

Точні – це аналітичні, які дають розв’язання за алгоритмом зі строго визначеною кількістю кроків при абсолютно точних обчисленнях.

До наближених відносять чисельні та графічні методи.

Найефективнішими наближеними методами розв’язування рівнянь є чисельні. Суть їх полягає у послідовних уточненнях деяких грубих, так званих нульових наближень розв’язання .

Якщо процес уточнення збіжний, тобто послідовні наближення прямують до певного стійкого значення, розв’язання на k-му кроці обчислень та знаходження коренів рівнянь можна здійснювати як завгодно точно. Ця особливість, а також простота програмної реалізації і визначили їх дальше найширше використання.

Вивчення методів розв’язування скінчених рівнянь має надзвичайно важливе значення для задач електроенергетики. Практично у всіх задачах аналізу, синтезу й керування енергетичних систем і їх елементів виникає необхідність розв’язання різних типів скінчених рівнянь.

До чисельних відноситься метод половинного ділення.

 

Метод половинного ділення

 

Для знаходження кореня рівняння f(x)=0, відділеного в проміжку [a;b],проміжок ділять навпіл. Якщо , то ― корінь рівняння. Інакше вибирають половину проміжку чи , на кінцях якого функція має протилежні знаки. Новий проміжок знову ділять пополам.

Метод хорд

 

Інтервал відділення кореня [a;b] під час його уточнень ділиться пропорційно значенням функції на границях інтервалу у відношеннях (“-“ тому, що f(a)f(b)<0). Тоді:

 

 

. (*)

 

Отже, функція замінюється хордою, яка перетинає функцію в точках, що відповідають границям абсцис інтервалу.

Наступні уточнені значення кореня знаходять шляхом послідовного застосування (*) до того з відрізків , для якого аж до досягнення заданої точності.

Абсолютна похибка відхилення наближеного значення на k-му кроці обчислень від дійсного кореня :

,

де M, N – найбільше та найменше значення модуля похідної df(x)dx в інтервалі .

 

Метод простої ітерації (послідовного наближення)

 

 

f(x)=0 x =φ(x)

 

Підставимо значення , одержимо нове значення кореня і т.д.

.

 

Метод Ньютона (дотичних)

 

,

де

 

 

§ 5.2. Аналітичні методи розв’язування системи лінійних рівнянь

 

У випадку лінійної системи рівнянь вектор-функція (1) набирає вигляду матрично-векторного рівняння:

, (4)

 

. (3)

 

Якщо А – неособлива (det≠0), то (3) має єдиний розв’язок:

, (5)

 

де ; ,

 

в якій - алгебраїчні доповнення елементів транспонованої матриці коефіцієнтів рівняння (3).

При високих порядках (4) пряме знаходження оберненої матриці вимагає виконання великого обсягу обчислень з необхідністю визначення алгебраїчних доповнень.

Шляхом простих перетворень (5) одержуємо розв’язання (3) у вигляді алгоритму Крамера, згідно з яким вектор-стовпець невідомих:

, (6)

 

де , (7)

 

який одержується з матриці коефіцієнтів А шляхом заміни її і -го стовпця вектор-стовпцем вільних членів b.

У формулі (6) здійснюється n-разове розкриття детермінанта (7) матриці n-го порядку, тоді як у (5) разів розкриваються детермінанти матриці (n-1)-го порядку. Оскільки з погляду розкриття детермінанту n-го порядку виконується стільки ж операцій, що й під час розкриття (n-1)-го порядку, то з погляду обсягу обчислень формули (5) і (6) рівноцінні й дуже трудомісткі. Тому розробленні прямі методи розв’язання (3): методи Гауса, метод квадратних коренів, метод Халицького й інші.

§ 5.2.1 Метод Гауса

Суть методу – методу послідовних виключень – полягає у зведенні матриці (3) до трикутної (верхньо- чи нижньо-трикутної) – прямий хід виключень чи до діагональної - прямий і зворотний хід виключень.

Для зведення матриці рівняння (3) до трикутної необхідно виконати поетапне множення цього рівняння на n n - мірну матрицю, значення елементів якої залежить від порядкового номера компонента .

Для необхідно рівняння помножити зліва на матрицю.

,

тоді отримаємо

або

 

для

 

одержимо

 

В результаті отримаємо:

 

. (8)

 

Зведення вихідного рівняння до вигляду (8) називається “прямим ходом”, дії якого полягають у перемноженні цього рівняння почергово на матриці , що перетворюють матрицю А верхню трикутну. Використовуючи (8), можна знайти всі компоненти , починаючи від .

В результаті здійснення оберненого ходу (множення почергово на матриці ). А рівняння (3) зводиться до діагональної:

отримуємо рівняння, яке множимо на .

В результаті отримуємо:

 

.

 

Для визначення вектора х необхідно (9) перемножити на матрицю:

 

.

§ 5.2.2 Ітераційні методи

1) Метод простої ітерації.

Для застосування простої ітерації f(x)=0 запишемо у вигляді:

 

,

 

де - діагональна від А;

або

 

Компактно: . (*)

Процес простої ітерації полягає у поступовому підставленні в праву частину рівняння (*) попереднього наближення, що на k+1-му кроці обчислень здійснюється за формулою:

.

За нульове наближення , коли не відомі додаткові умови, приймають вектор , тобто = .

У процесі ітерації дістаємо послідовність наближень:

 

Для одержання розв’язання рівняння необхідно, щоб обчислення було збіжним, тобто значення при необмеженому зростанні k повинно прямувати до певної границі.

Достатньою умовою збіжності є те, що будь-яка з нормальної матриці В<1,

||В||<1

1) m – норма – найбільша сума по рядах матриці

;

 

2) e – норма – найбільша сума по стовпцях матриці

;

3) k – норма – дорівнює кореню із суми:

;

 

Метод простої ітерації має порівняно невисоку швидкість збіжності.

§ 5.2.3 Метод ітерації Зайделя

Під час знаходження наближень “старших” невідомих підставляємо наближене значення “молодших”, одержаних не на попередньому, а на цьому кроці (тобто не .

Це означає, що процес ітерації можна здійснити так:

Швидкість збіжності набагато вища.