Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ћетоди розвТ€зуванн€ ск≥нчених р≥вн€нь у задачах електроенергетики




 

–≥вн€нн€ виду

, (1)

де - вектор багатом≥рного аргументу називають ск≥нченими р≥вн€нн€ми. —юди належать системи л≥н≥йних ≥ нел≥н≥йних алгебрањчних р≥вн€нь, алгебрањчн≥ й трансцендентн≥ р≥вн€нн€ одн≥Їњ зм≥нноњ.

” розгорнутому вигл€д≥ запишемо:

(2)

” випадку одн≥Їњ зм≥нноњ (1) й (2) перетворюютьс€ у f(x)=0.

ƒе€ке числове значенн€ , €ке задовольн€Ї р≥вн€нн€ (1), називаЇтьс€ розвТ€зкою, або розвТ€занн€м.

ћетоди розвТ€зуванн€ р≥вн€нь под≥л€ютьс€ на анал≥тичн≥, граф≥чн≥ та чисельн≥.  р≥м того, розр≥зн€ють точн≥ та наближен≥ методи.

“очн≥ Ц це анал≥тичн≥, €к≥ дають розвТ€занн€ за алгоритмом з≥ строго визначеною к≥льк≥стю крок≥в при абсолютно точних обчисленн€х.

ƒо наближених в≥днос€ть чисельн≥ та граф≥чн≥ методи.

Ќайефективн≥шими наближеними методами розвТ€зуванн€ р≥вн€нь Ї чисельн≥. —уть њх пол€гаЇ у посл≥довних уточненн€х де€ких грубих, так званих нульових наближень розвТ€занн€ .

якщо процес уточненн€ зб≥жний, тобто посл≥довн≥ наближенн€ пр€мують до певного ст≥йкого значенн€, розвТ€занн€ на k-му кроц≥ обчислень та знаходженн€ корен≥в р≥вн€нь можна зд≥йснювати €к завгодно точно. ÷€ особлив≥сть, а також простота програмноњ реал≥зац≥њ ≥ визначили њх дальше найширше використанн€.

¬ивченн€ метод≥в розвТ€зуванн€ ск≥нчених р≥вн€нь маЇ надзвичайно важливе значенн€ дл€ задач електроенергетики. ѕрактично у вс≥х задачах анал≥зу, синтезу й керуванн€ енергетичних систем ≥ њх елемент≥в виникаЇ необх≥дн≥сть розвТ€занн€ р≥зних тип≥в ск≥нчених р≥вн€нь.

ƒо чисельних в≥дноситьс€ метод половинного д≥ленн€.

 

ћетод половинного д≥ленн€

 

ƒл€ знаходженн€ корен€ р≥вн€нн€ f(x)=0, в≥дд≥леного в пром≥жку [a;b],пром≥жок д≥л€ть навп≥л. якщо , то ― кор≥нь р≥вн€нн€. ≤накше вибирають половину пром≥жку чи , на к≥нц€х €кого функц≥€ маЇ протилежн≥ знаки. Ќовий пром≥жок знову д≥л€ть пополам.

ћетод хорд

 

≤нтервал в≥дд≥ленн€ корен€ [a;b] п≥д час його уточнень д≥литьс€ пропорц≥йно значенн€м функц≥њ на границ€х ≥нтервалу у в≥дношенн€х (У-У тому, що f(a)f(b)<0). “од≥:

 

 

. (*)

 

ќтже, функц≥€ зам≥нюЇтьс€ хордою, €ка перетинаЇ функц≥ю в точках, що в≥дпов≥дають границ€м абсцис ≥нтервалу.

Ќаступн≥ уточнен≥ значенн€ корен€ знаход€ть шл€хом посл≥довного застосуванн€ (*) до того з в≥др≥зк≥в , дл€ €кого аж до дос€гненн€ заданоњ точност≥.

јбсолютна похибка в≥дхиленн€ наближеного значенн€ на k-му кроц≥ обчислень в≥д д≥йсного корен€ :

,

де M, N Ц найб≥льше та найменше значенн€ модул€ пох≥дноњ df(x)dx в ≥нтервал≥ .

 

ћетод простоњ ≥терац≥њ (посл≥довного наближенн€)

 

 

f(x)=0 x =φ(x)

 

ѕ≥дставимо значенн€ , одержимо нове значенн€ корен€ ≥ т.д.

.

 

ћетод Ќьютона (дотичних)

 

,

де

       
   
 
 

 

 


І 5.2. јнал≥тичн≥ методи розвТ€зуванн€ системи л≥н≥йних р≥вн€нь

 

” випадку л≥н≥йноњ системи р≥вн€нь вектор-функц≥€ (1) набираЇ вигл€ду матрично-векторного р≥вн€нн€:

, (4)

 

. (3)

 

якщо ј Ц неособлива (det≠0), то (3) маЇ Їдиний розвТ€зок:

, (5)

 

де ; ,

 

в €к≥й - алгебрањчн≥ доповненн€ елемент≥в транспонованоњ матриц≥ коеф≥ц≥Їнт≥в р≥вн€нн€ (3).

ѕри високих пор€дках (4) пр€ме знаходженн€ оберненоњ матриц≥ вимагаЇ виконанн€ великого обс€гу обчислень з необх≥дн≥стю визначенн€ алгебрањчних доповнень.

Ўл€хом простих перетворень (5) одержуЇмо розвТ€занн€ (3) у вигл€д≥ алгоритму  рамера, зг≥дно з €ким вектор-стовпець нев≥домих:

, (6)

 

де , (7)

 

€кий одержуЇтьс€ з матриц≥ коеф≥ц≥Їнт≥в ј шл€хом зам≥ни њњ -го стовпц€ вектор-стовпцем в≥льних член≥в b.

” формул≥ (6) зд≥йснюЇтьс€ n-разове розкритт€ детерм≥нанта (7) матриц≥ n-го пор€дку, тод≥ €к у (5) раз≥в розкриваютьс€ детерм≥нанти матриц≥ (n-1)-го пор€дку. ќск≥льки з погл€ду розкритт€ детерм≥нанту n-го пор€дку виконуЇтьс€ ст≥льки ж операц≥й, що й п≥д час розкритт€ (n-1)-го пор€дку, то з погл€ду обс€гу обчислень формули (5) ≥ (6) р≥вноц≥нн≥ й дуже трудом≥стк≥. “ому розробленн≥ пр€м≥ методи розвТ€занн€ (3): методи √ауса, метод квадратних корен≥в, метод ’алицького й ≥нш≥.

І 5.2.1 ћетод √ауса

—уть методу Ц методу посл≥довних виключень Ц пол€гаЇ у зведенн≥ матриц≥ (3) до трикутноњ (верхньо- чи нижньо-трикутноњ) Ц пр€мий х≥д виключень чи до д≥агональноњ - пр€мий ≥ зворотний х≥д виключень.

ƒл€ зведенн€ матриц≥ р≥вн€нн€ (3) до трикутноњ необх≥дно виконати поетапне множенн€ цього р≥вн€нн€ на n n - м≥рну матрицю, значенн€ елемент≥в €коњ залежить в≥д пор€дкового номера компонента .

ƒл€ необх≥дно р≥вн€нн€ помножити зл≥ва на матрицю.

,

тод≥ отримаЇмо

або

 

дл€

 

одержимо

 

¬ результат≥ отримаЇмо:

 

. (8)

 

«веденн€ вих≥дного р≥вн€нн€ до вигл€ду (8) називаЇтьс€ Упр€мим ходомФ, д≥њ €кого пол€гають у перемноженн≥ цього р≥вн€нн€ почергово на матриц≥ , що перетворюють матрицю ј верхню трикутну. ¬икористовуючи (8), можна знайти вс≥ компоненти , починаючи в≥д .

¬ результат≥ зд≥йсненн€ оберненого ходу (множенн€ почергово на матриц≥ ). ј р≥вн€нн€ (3) зводитьс€ до д≥агональноњ:

отримуЇмо р≥вн€нн€, €ке множимо на .

¬ результат≥ отримуЇмо:

 

.

 

ƒл€ визначенн€ вектора х необх≥дно (9) перемножити на матрицю:

 

.

І 5.2.2 ≤терац≥йн≥ методи

1) ћетод простоњ ≥терац≥њ.

ƒл€ застосуванн€ простоњ ≥терац≥њ f(x)=0 запишемо у вигл€д≥:

 

,

 

де - д≥агональна в≥д ј;

або

 

 омпактно: . (*)

ѕроцес простоњ ≥терац≥њ пол€гаЇ у поступовому п≥дставленн≥ в праву частину р≥вн€нн€ (*) попереднього наближенн€, що на k+1-му кроц≥ обчислень зд≥йснюЇтьс€ за формулою:

.

«а нульове наближенн€ , коли не в≥дом≥ додатков≥ умови, приймають вектор , тобто = .

” процес≥ ≥терац≥њ д≥стаЇмо посл≥довн≥сть наближень:

 

ƒл€ одержанн€ розвТ€занн€ р≥вн€нн€ необх≥дно, щоб обчисленн€ було зб≥жним, тобто значенн€ при необмеженому зростанн≥ k повинно пр€мувати до певноњ границ≥.

ƒостатньою умовою зб≥жност≥ Ї те, що будь-€ка з нормальноњ матриц≥ ¬<1,

||¬||<1

1) m Ц норма Ц найб≥льша сума по р€дах матриц≥

;

 

2) e Ц норма Ц найб≥льша сума по стовпц€х матриц≥

;

3) k Ц норма Ц дор≥внюЇ кореню ≥з суми:

;

 

ћетод простоњ ≥терац≥њ маЇ пор≥вн€но невисоку швидк≥сть зб≥жност≥.

І 5.2.3 ћетод ≥терац≥њ «айдел€

ѕ≥д час знаходженн€ наближень УстаршихФ нев≥домих п≥дставл€Їмо наближене значенн€ УмолодшихФ, одержаних не на попередньому, а на цьому кроц≥ (тобто не .

÷е означаЇ, що процес ≥терац≥њ можна зд≥йснити так:

Ўвидк≥сть зб≥жност≥ набагато вища.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-24; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 495 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќасто€ща€ ответственность бывает только личной. © ‘азиль »скандер
==> читать все изречени€...

2141 - | 1867 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.029 с.