Пересечение геометрических объектов, когда

Оба геометрических объекта проецирующие

3.1.1. Построение линии пересечения двух горизонтально-проецирующих плоскостей. На рис. 3.1 заданы горизонтально-проецирующие плоскости Σ и Τ. Так как обе плоскости горизонтально-проецирующие, то и линия их пересечения ℓ также является горизонтально-проецирующей прямой, т. е. Σ ∩Τ=ℓ, Σ┴Π₁ и Τ┴Π₁, следовательно, ℓ┴Π₁ _.

3.1.2. Виды линий пересечения прямого кругового цилиндра с плоскостями. Такими линиями являются:

- окружность, когда секущая плоскость Τ перпендикулярна оси цилиндра;

- две параллельные прямые, если плоскость Ω параллельна оси цилиндра ί;

- эллипс – в любом другом положении секущей плоскости Σ (рис. 3.2).

На рисунке 3.3 дано построение проекций и натуральной величины линии пересечения (эллипс) прямого кругового цилиндра с плоскостью Σ. На плоскость Π₂ эллипс проецируется в виде отрезка, совпадающего с Σ₂, на Π₁ – в виде окружности.

Таким образом, фронтальная и горизонтальная проекции линии пересечения на чертеже в данном случае уже очевидны (определены). Натуральная величина эллипса построена по точкам с помощью введения дополнительной плоскости Π₅; х₂₅||Σ₂, т.е. Π₅||Σ и Π₅┴Π₂ _.

3.1.3. Определение проекций линии пересечения двух круговых цилиндров. На рис. 3.4 ось ί одного цилиндра задана перпендикулярно Π₁, ось j другого цилиндра перпендикулярна Π₂, т. е. обе поверхности являются проецирующими.

Следовательно, фронтальная проекция линии пересечения цилиндров ℓ (ℓ₂)совпадает с фронтальной проекцией боковой поверхности цилиндра с осью j (окружностью диаметра d), а горизонтальная проекция ℓ (ℓ₁)совпадает с горизонтальной проекцией боковой поверхности цилиндра с осью i (окружностью диаметра D).

Проекции линии пересечения ℓ (ℓ₁,ℓ₂) должны находиться внутри очерков поверхностей.

Итак, когда оба пересекающихся геометрических объекта проецирующие, то проекции линии пересечения на чертеже уже заданы, их надо только отметить.

Пересечение геометрических объектов, когда один

Из геометрических объектов проецирующий,

А другой непроецирующий

3.2.1. Построение линии пересечения двух плоскостей. На рис. 3.5, а заданы Τ (а ∩ b) – плоскость общего положения, и Σ – фронтально-проецирующая плоскость. Фронтальная проекция линии пересечения плоскостей ℓ (ℓ₂) совпадает со следом плоскости Σ (Σ₂), т. е. Σ₂≡ℓ₂. Горизонтальную проекцию линии ℓ (ℓ₁) находим по принадлежности линии ℓ плоскости Τ (рис. 3.5, б)

3.2.2. Линии пересечения конической поверхности с плоскостями. Прямой круговой конус имеет пять видов линий пересечения в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к оси конуса.

Обозначим угол между образующей конуса и его осью буквой φ, а угол между секущей плоскостью и осью конуса буквой α (рис. 3.6).

Возможны следующие виды линий пересечения:

1) если α =90°, то плоскость P пересекает поверхность по окружности;

2) если 90°> α > φ, то плоскость Σ пересекает поверхность по эллипсу;

3) если α=φ, т. е. секущая плоскость Τ параллельна одной образующей, то поверхность пересекается по параболе;

4) если 0≤ α < φ, т. е. секущая плоскость Ψ параллельна двум образующим, то поверхность пересекается по гиперболе;

5) если 0≤ α < φ и секущая плоскость Ω проходит через вершину конуса, то поверхность пересекается по двум образующим.

3.2.3. Построение проекций и натуральной величины линии пересечения конической поверхности с плоскостью. На рис. 3.7 заданы коническая поверхность и фронтально-проецирую-щая плоскость Т. В данном случае при пересечении получается парабола. Так как плоскость Τ┴Π₂, то фронтальная проекция параболы совпадает с Τ₂.

Для того, чтобы построить горизонтальную проекцию параболы, на её фронтальной проекции отмечаем ряд точек 1₂,…,7₂. Горизонтальные проекции точек 1₁,…,7₁ строим с помощью параллелей.

Натуральную величину параболы строим по точкам с помощью введения дополнительной плоскости проекций Π₅||Τ. Так как парабола является симметричной фигурой, то для удобства построений ось х₁₂ взята совпадающей с осью симметрии горизонтальной проекции конуса. Ось х₂₅||Τ₂. Построение видно из чертежа.

3.2.4. Построение проекций и натуральной величины линии пересечения сферы с плоскостью. При пересечении сферы с любой плоскостью образуется окружность.

На рис. 3.8 сфера пересекается горизонтально-проецирующей плоскостью Σ. Окружность, получаемая при пересечении плоскости Σ со сферой, при проецировании на Π₁ совпадает со следом плоскости Σ (Σ₁) – это отрезок 1₁-2₁. На фронтальную плоскость Π₂ окружность проецируется в виде эллипса, причём 1₂-2₂ – малая ось эллипса, 3₂-4₂ – большая ось эллипса. Промежуточные точки можно построить с помощью параллелей.

Натуральная величина окружности построена с помощью введения дополнительной плоскости проекций Π₄||Σ. Ось х₁₄ проводим параллельно Σ₁.

Построение видно из чертежа.

3.2.5. Построение проекций линии пересечения конуса и призмы. Нарис. 3.9 заданы конус и призма. В данном случае три грани призмы перпендикулярны Π₂, поэтому фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальной проекцией призмы 1₂-3₂-5₂.

Горизонтальная проекция линии пересечения построена по принадлежности конусу с помощью параллелей.

Таким образом, когда один из пересекающихся геометрических объектов проецирующий, а другой непроецирующий, то одна из проекций линии пересечения на чертеже уже определена, а другая проекция определяется по принадлежности непроецирующему геометрическому объекту.