Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


 омплексный двухкартинный чертеж точки. 2 страница




ѕроекции кривых линий

 

 ривые линии могут быть плоскими и пространственными. ќни могут быть заданы аналитически с помощью уравнений и графически с помощью чертежа. ¬ начертательной геометрии кривые линии задают с помощью чертежа.

ƒл€ построени€ проекций кривых линий необходимо знать приемы построени€ некоторых локальных характеристик: радиуса и центра кривизны, касательной, нормали и др.

2.3.1. ѕлоские кривые линии. ѕлоскими называютс€ кривые линии, все точки которых принадлежат одной единственной плоскости. »скривленность кривой характеризуетс€ радиусом кривизны или кривизной.

ќкружность, соприкасающа€с€ с кривой а в данной точке M (рис. 2.29) проходит через точку M и бесконечно близкие от нее точки M1 и M2. –адиус этой окружности называетс€ радиусом кривизны, а центр ее - центром кривизны.  ривизной ( ) называетс€ величина, обратна€ радиусу, т. е. K= 1/ R.

 асательной в данной точке M к кривой a (рис. 2.30) называетс€ предельное положение секущей пр€мой, проведенной через точку M, когда ее длина становитс€ равной нулю. Ќа рис. 2.30 проведена секуща€

MM1. ѕусть точка M1 двигаетс€ вдоль кривой по направлению к точке M. ¬ момент совпадени€ точек M1 и M секуща€

становитс€ касательной.

Ќормалью в данной точке M называетс€ пр€ма€, перпендикул€рна€ к касательной.

÷ентр кривизны (центр соприкасающейс€ окружности) всегда лежит на нормали.  асательна€ как с плоской, так и с пространственной кривой имеет одну точку соприкосновени€. —ледовательно, проекци€ касательной к пространственной кривой будет касательной к проекции кривой, так как будет иметь с проекцией кривой только одну точку соприкосновени€.

–ассмотрим практические способы построени€ касательных к плоским изображени€м кривых, которые также могут быть проекци€ми пространственных кривых.

ѕостроение касательной с помощью зеркальца.   изображению кривой в данной точке ребром приставл€ют зеркальце. —тав€т его поперек кривой и поворачивают его до тех пор, когда отражение кривой и сама крива€ будут представл€ть собой плавную, без изломов линию. ¬ этот момент ребро зеркальца направлено точно по нормали.  асательна€ будет к ней перпендикул€рна.

ѕостроение касательной с помощью кривой ошибок.  ривой ошибок называетс€ крива€ лини€, кажда€ точка которой строитс€ по некоторому правилу. “олько одна точка кривой ошибок отвечает необходимому условию. ¬се остальные точки €вл€ютс€ ошибками.

ѕусть, например, через точку K требуетс€ провести касательную t к кривой l (рис.2.31). ƒл€ этого выполн€ем следующие действи€:

1) „ерез точку K проводим несколько секущих AB (A1B1, A2B2 и A3B3) и каждую делим пополам, обозначив середины секущих буквой C (C1, C2 и C3).

2) —оедин€ем точки C1, C2 и C3 плавной кривой и получаем кривую ошибок m. ѕродолжаем m до пересечени€ с заданной кривой l в точке M. ¬ точке касани€ длина секущей равна нулю и ее середина совпадает с точкой касани€. ѕоэтому считаем, что точка M пересечени€ кривой ошибок m с заданной кривой l и есть точка касани€.

3) “очку K соедин€ем с M и получаем касательную t.

ѕусть через точку M кривой l необходимо построить касательную t и нормаль n (рис. 2.32).

ѕоследовательность построений в этом случае будет следующа€:

1) ¬ произвольном месте чертежа проводим пр€мую i примерно перпендикул€рно будущей касательной.

2) „ерез точку M проводим р€д секущих a, b, c с одной и d, e, f с другой стороны от точки M, продолжа€ их до пересечени€ с пр€мой i.

3) ќт точек A, B, C пересечени€ секущих a, b, c с пр€мой i вдоль их откладываем длины секущих MA1, MB1, и MC1 слева от пр€мой i и получаем точки A2, B2 и C2. ƒл€ секущих d, e, f длины MD1, ME1 и MF1 откладываем справа от пр€мой i и получаем точки D2, E2 и F2.

4) “очки A2, B2, C2, Е, F2 соедин€ем плавной кривой и получаем кривую ошибок m, котора€ пересекаетс€ с пр€мой i в точке K.

5) —оедин€ем точку M с точкой K пр€мой t, котора€ €вл€етс€ секущей нулевой длины, т. е. касательной к заданной кривой l в точке M.

6) „ерез точку M перпендикул€рно касательной t проводим нормаль n.

 
 


b
a
A

 
 


2.3.2. ѕространственные кривые линии. ѕространственные кривые линии имеют дво€кую кривизну. ¬се точки пространственной кривой не лежат в одной плоскости. ќзнакомимс€, в качестве примера, с цилиндрической винтовой линией, котора€ имеет большое применение в технике.

÷илиндрическа€ винтова€ лини€ располагаетс€ на поверхности пр€мого кругового цилиндра. ќна образуетс€ при сложном движении точки. “очка движетс€ равномерно и пр€молинейно вдоль образующей цилиндра и равномерно вращаетс€ вместе с образующей вокруг оси цилиндра.

¬интова€ лини€ называетс€ правой, если при своем поступательном движении от наблюдател€ точка вращаетс€ по ходу часовой стрелки, и левой, если против хода часовой стрелки. ѕостроение проекций цилиндрической винтовой линии дано на рис. 2.33.

ѕусть имеетс€ цилиндр диаметром d, с осью i. Ќаметим 12 образующих цилиндра, расположенных на равных рассто€ни€х от друг друга. Ѕудем считать, что образующа€, переход€ из одного положени€ в другое, равномерно вращаетс€ вокруг оси i. ¬верх вдоль образующей движетс€ точка. ѕри повороте образующей на 1/12 оборота точка перемещаетс€ вверх на 1/12 шага h. Ўагом винтовой линии называетс€ величина перемещени€ точки параллельно оси при ее повороте на один полный оборот.

—оедин€€ последовательно фронтальные проекции полученных точек, строим фронтальную проекцию винтовой линии, котора€ представл€ет собой синусоиду.

√оризонтальной проекцией винтовой линии €вл€етс€ окружность. ≈сли развернуть цилиндрическую поверхность вместе с нанесенной на нее винтовой линией, то вращательное движение образующей на развертке превращаетс€ в ее поступательное движение вдоль развернутой окружности основани€ цилиндра.

¬ результате сложени€ двух равномерных поступательных движений вдоль развернутой окружности вправо и вдоль образующей вверх образуетс€ пр€ма€ лини€. ”гол наклона развернутой винтовой линии к основанию:

Ψ= arctg ,

где h - шаг винтовой линии; d - диаметр образующего цилиндра.

”гол Ψ называетс€ углом наклона винтовой линии. ≈сли навернуть винтовую линию обратно на цилиндр, то касательные в каждой точке винтовой линии наклонены к плоскости основани€ цилиндра под посто€нным углом Ψ.

ѕостроим касательную к винтовой линии в точке M.  ак было показано выше, проекци€ касательной к кривой линии касательна к проекции этой кривой.

¬озьмем некоторую точку M, принадлежащую винтовой линии и заданной проекци€ми M1 и M2, и проведем через нее касательную к винтовой линии.

√оризонтальна€ проекци€ касательной к винтовой линии будет касательна к окружности, в которую она проецируетс€ на ѕ1, и перпендикул€рна радиусу i1M1. ѕри построении касательной к фронтальной проекции винтовой линии используем свойство одинакового наклона всех касательных.

ќтметим на развертке винтовой линии точку M1, соответствующую пространственной точке M, лежащей на винтовой линии. »з M1 опускаем перпендикул€р к развернутому основанию цилиндра и получаем точку M2. ѕри этом отрезок основани€ O1M2 равен дуге окружности, на которую опираетс€ часть винтовой линии от ее начала до точки M. ќтрезок O1M2 называетс€ подкасательной.

»з горизонтальной проекции M1 проводим касательную к окружности и откладываем на ней отрезок, равный подкасательной O1M2, и получим точку A1 - основание касательной. “очка A1 лежит на плоскости ѕ1, т. к. A ѕ1. ‘ронтальна€ проекци€ A2 этой точки лежит на оси x12. ‘ронтальна€ проекци€ касательной проходит через проекции A2 и M2.

ћожно представить себе винтовую линию и на других поверхност€х, например на конической поверхности, на сфере и т. д. ≈сли вращать образующую конической поверхности и перемещать вдоль нее точку, то образуетс€ коническа€ винтова€ лини€. ≈сли вращать окружность вокруг своей оси и вдоль нее перемещать точку, то образуетс€ сферическа€ винтова€ лини€.

ѕроекции поверхностей. «адание поверхности на чертеже

ѕоверхностью в геометрии называетс€ граница, отдел€юща€ геометрическое тело (цилиндр, конус, шар и т.д.) от внешнего пространства. Ќа чертежах (эпюрах) изображают только точки и линии (пр€мые или кривые). ѕоэтому поверхность можно изобразить только тогда, когда она проецируетс€ в линию или совокупность линий.

ѕоверхность может быть задана с помощью модели (обувна€ колодка, манекен и др.), с помощью уравнени€, кинематически Ц как след движущейс€ в пространстве линии, и др. ¬ начертательной геометрии прин€т кинематический способ образовани€ поверхности. ћожно сказать, что поверхность Ц это непрерывна€ совокупность последовательных положений движущейс€ в пространстве пр€мой или кривой линии. Ћини€, котора€ при своем движении образует поверхность, называетс€ образующей.

2.4.1. «адание поверхности с помощью определител€. ƒл€ того, чтобы задать поверхность, достаточно задать образующую поверхности и определить закон, по которому она перемещаетс€ в пространстве. «аконы движени€ образующих могут задаватьс€ различно:

1) ќбразующа€ движетс€, пересека€ какую-либо неподвижную линию, котора€ называетс€ направл€ющей.

2) ќбразующа€ движетс€, пересека€ две или три направл€ющие линии.

3) ќбразующа€ движетс€ параллельно самой себе или параллельно некоторой плоскости, котора€ называетс€ плоскостью параллелизма и др.

ќбразующа€ вместе с геометрическими фигурами, определ€ющими ее движение, а также закон ее движени€ составл€ют определитель поверхности. ћожно сказать, что определитель поверхности представл€ет собой совокупность независимых параметров, однозначно задающих поверхность.

ќпределитель состоит из двух частей:

1) √еометрическа€ часть Ц фигуры (точки, линии, поверхности) подвижные и неподвижные, с помощью которых образуетс€ поверхность.

2) јлгоритмическа€ часть Ц правило движени€ (закон движени€) образующей по отношению к неподвижным фигурам определител€.

¬ р€де случаев образующа€ при своем движении может деформироватьс€, что тоже оговариваетс€ в алгоритмической части определител€. ќснованием к составлению определител€ €вл€етс€ анализ способа образовани€ поверхности и ее основных свойств.  ажда€ поверхность может быть задана разными определител€ми.

ƒл€ примера рассмотрим определитель произвольной цилиндрической поверхности (рис. 2.34). «апись определител€ имеет вид:

 

(l, a) - цилиндрическа€ поверхность

(геометрическа€ часть) (алгоритмическа€ часть)

Ёта запись даетс€ совместно с чертежом. ¬ записи геометрической части буквой обозначаетс€ поверхность, буквой l Ц образующа€, буквой а - направл€юща€. ‘орма и положение в пространстве образующей и направл€ющей определ€ютс€ по чертежу.

¬ записи алгоритми-ческой части даетс€ название поверхности. ƒл€ поверх-ности с данным названием общеизвестно, какое движе-ние совершает l, образу€ поверхность . Ќо можно и подробно записать характер движени€ образующей. ¬ нашем случае образующа€ l движетс€ параллельно самой себе и все врем€ пересекает направл€ющую а. ќпределитель вполне определ€ет поверхность, т.к. с его помощью можно построить ее проекции.

Ќа рис. 2.35, а задан комплексный чертеж определител€ цилиндрической поверхности (l, a) и проекци€ ј2 точки ј, принадлежащей поверхности. Ќеобходимо построить горизонтальную проекцию ј1 точки ј.

«на€ алгоритмическую часть определител€, выполним следующие построени€ (рис. 2.35, б):

1) „ерез ј2 параллельно l2 проводим и находим фронтальную проекцию ¬2 точки пересечени€ с а2 (этап 1). Ётапы указаны стрелками.

2) — помощью линии проекционной св€зи на а1 находим ¬1 (этап 2).

3) „ерез точку ¬1 проводим параллельно l1 (этап 3).

4) Ќа с помощью линии св€зи строим ј1 (этап 4).

2.4.2.  аркас поверхности. ≈сли построить некоторое количество образующих по описанному в алгоритме определител€ способу, то получим каркас или сеть поверхности (рис. 2.36).

»зображенный на рис. 2.36, а каркас называетс€ однопараметрическим, т.к. он состоит из линий, принадлежащих одному семейству. Ёто дискретный каркас, он состоит из конечного числа линий.

ћожно представить себе и непрерывный каркас образующих. Ќепрерывный каркас Ц это множество линий, заполн€ющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит только одна лини€ каркаса.

Ќа одной и той же поверхности, в зависимости от определител€, можно представить себе и другие каркасы. ≈сли в определителе цилиндрической поверхности образующую и направл€ющую помен€ть местами и считать, что крива€ а будет образующей, котора€ движетс€ параллельно самой себе и все врем€ пересекает направл€ющую l, то получитс€ другой однопараметрический каркас (рис. 2.36, б).

≈сли на поверхности построить два каркаса, то получитс€ двупараметрический каркас (рис. 2.36, в). „ерез каждую точку поверхности, заданной двупараметрическим каркасом, проход€т две линии каркаса.

2.4.3. «адание поверхности, не имеющей определител€. —уществуют незакономерные поверхности, к которым относ€тс€ манекен, обувна€ колодка, кузова автомобилей, фюзел€жи самолетов, корпуса морских и речных судов, рельеф земной поверхности и др. “акие поверхности называютс€ графическими и задаютс€ дискретным каркасом. „аще всего линии этого каркаса представл€ют собой плоские кривые, параллельные какой-либо плоскости проекций. ≈сли плоскости линий каркаса параллельны горизонтальной плоскости проекций, то такие линии называютс€ горизонтальными.

2.4.4. ќчерк поверхности. Ћини€ пересечени€ проецирующей поверхности, огибающей заданную поверхность, с плоскостью проекций называетс€ очерком поверхности. Ќа рис. 2.37 показано проецирование сферы на плоскость ѕ1. ћножество горизонтально-проецирующих лучей, касательных к поверхности сферы, образуют огибающую горизонтальноЦпроецирующую цилиндрическую поверхность . Ћини€ пересечени€ и ѕ1 представл€ет собой горизонтальный очерк поверхности Ц окружность а1.

ќчерковой линией повер-хности называетс€ лини€, по которой огибающа€ проеци-рующа€ поверхность касаетс€ данной поверхности. ¬ нашем случае очерковой линией будет больша€ окружность сферы а (экватор).

»зображени€ поверхнос-тей, заданных определителем, не всегда нагл€дны. Ѕолее нагл€дны изображени€ поверхностей с помощью очерков. ќчерк поверхности почти всегда включает в себ€ ее определитель. ѕри построении проекций точки, лежащей на поверхности, изображенной очерком, необходимо сначала выделить проекции определител€, а потом, пользу€сь алгоритмом определител€, построить проекции точки.

Ќа рис. 2.38, а поверхность наклонного эллиптического цилиндра задана определителем, а на рис. 2.38, б очерком. √оризонтальный очерк представл€ет собой линию, состо€щую из отрезков пр€мых и кривых ; фронтальный очерк представл€ет собой параллелограмм .

ќбразующие горизонтального очерка и и образующие фронтального очерка и не совпадают друг с другом. »з проекций очерка можно выделить геометрическую часть определител€, котора€ будет состо€ть из эллипса и какой-нибудь образующей, например .

2.4.5. ѕроекции плоскостей. ѕлоскость можно рассматривать как частный случай поверхности. ѕлоскость Σ может быть образована за счет движени€ пр€молинейной образующей l параллельно самой себе, при этом образующа€ пересекает все точки направл€ющей пр€мой а (рис. 2.39). ќпределитель плоскости в этом случае имеет вид: Σ (а, l).

»з геометрии известно, что плоскости вполне определ€ютс€:

1) “рем€ точками ј, ¬ и , не лежащими на одной пр€мой (рис.2.40, а).

2) ѕр€мой а и точкой ј вне еЄ (рис. 2.40, б).

3) ƒвум€ параллельными пр€мыми а и b (рис. 2.40, в).

4) ƒвум€ пересекающимис€ пр€мыми а и b (рис. 2.40, г).

«адание плоскости пересекающимис€ пр€мыми а и b (рис. 2.40, г) можно рассматривать, как универсальный способ задани€ плоскости, так как все остальные можно привести к нему. “ак, например, если плоскость задана трем€ точками ј, ¬ и (рис. 2.40, а), то, соедин€€ точки ј с ¬ и ¬ с , получаем пересекающиес€ пр€мые ј¬ и ¬—.

 


2.4.6. ¬иды плоскостей по их расположению в пространстве. ѕо расположению относительно плоскостей проекций плоскости можно разбить на три вида:

1) плоскости общего положени€ Ц плоскости, не параллельные и не перпендикул€рные плоскост€м проекций;

2) плоскости проецирующие Ц плоскости, перпендикул€рные к какой-либо плоскости проекций;

3) плоскости уровн€ Ц плоскости, параллельные какой-либо одной плоскости проекций и перпендикул€рные двум другим.

–ассмотрим некоторые особенности каждого из перечисленных видов плоскостей.

ѕлоскости общего положени€. Ќа рис. 2.40 изображены плоскости общего положени€. ƒл€ этих плоскостей характерно, что задающие их элементы (точки, пр€мые и др.) ни на одной проекции не сливаютс€ в пр€мую линию, т.е. не лежат на одной пр€мой.

Ќа рис. 2.41 задана плоскость Σ () и одна проекци€ ј2 точки ј, принадлежащей плоскости Σ. Ѕудем считать, что а Ц направл€юща€, а b - образующа€ плоскости Σ. ѕомн€, что все образующие параллельны между собой и все пересекаютс€ с направл€ющей, выполним следующие построени€:

1) „ерез точку ј2 проведем проекцию образующей m2b2 и построим точку  2 пересечени€ m2 с а2 (этап 1).

2) Ќа линии св€зи и на а1 находим  1 (этап 2).

3) „ерез  1 проводим m1b1 (этап 3).

4) — помощью линии св€зи на m1 находим ј1 (этап 4).

¬ данном построении образующа€ m1, лежаща€ в плоскости Σ, строилась по точке и известному направлению. ќднако при построении точки, лежащей в плоскости, можно воспользоватьс€ не только образующей, лежащей в плоскости. Ќа рис. 2.42 горизонтальна€ проекци€ точки ј построена с помощью произвольной пр€мой. ѕри этом выполнены построени€:

1) „ерез заданную проекцию ј2 проводим произвольную пр€мую m2 и, счита€, что m лежит в плоскости Σ (), отмечаем точки ее пересечени€  2 и ћ2 с а2 и b2 (этап 1).

2) —троим  1 и ћ1 на а1 и b1 с помощью линий св€зи (этап 2).

3) —оединим  1 и ћ1 и получим m1 (этап 3).

4) Ќа m1 с помощью линии св€зи находим ј1 (этап 4).

ќчевидно, дл€ того, чтобы в плоскости построить точку, необходимо в этой плоскости провести пр€мую и затем на пр€мой вз€ть точку. ѕри этом пр€ма€ расположена в плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие плоскости.

ѕроецирующие плоскости. –азличают три вида проецирующих плоскостей:

1) √оризонтально-проецирующие, перпендикул€рные ѕ1.

2) ‘ронтально-проецирующие, перпендикул€рные ѕ2.

3) ѕрофильно-проецирующие, перпендикул€рные ѕ3.

ѕри изображении проецирующих плоскостей надо иметь в виду, что одноименна€ проекци€ такой плоскости всегда вырождаетс€ в пр€мую, как было показано ранее. Ёта пр€ма€ называетс€ главной проекцией или следом проецирующей плоскости; эту проекцию также называют вырожденной. ƒл€ того, чтобы отличать проецирующую плоскость от пр€мой, главную проекцию проецирующей плоскости на чертеже часто изображают с утолщением конца.

Ќа рис. 2.43, а показано нагл€дное изображение произвольной горизонтально-проецирующей плоскости Σ (аb) и ее главной проекции Σ1.  омплексный чертеж этой плоскости приведен на рис.2.43, б. Ќа главную проекцию плоскости проецируютс€ все точки, лежащие в плоскости.

‘ронтально-проецирующа€ плоскость (с d) изображена на рис. 2.44, а, профильно-проецирующа€ плоскость (е f) - на рис. 2.44, б и профильно-проецирующа€ плоскость (аb) - на рис. 2.44, в.

Ѕлагодар€ проецирующему свойству прое цирующие плоскости можно задавать одной своей главной проекцией (следом, вырожденной проекцией). Ќа рис. 2.45 задана фронтально-проецирующа€ плоскость Σ.

»з стереометрии известно, что плоскости перпендикул€рны, если одна из них проходит через перпендикул€р к другой. ѕоэтому в каждой проецирующей плоскости можно построить одноименную проецирующую пр€мую. Ќа рис. 2.43, б в плоскости Σ (аb) построена горизонтально-проецирующа€ пр€ма€ с. Ќа рис. 2.44, а в плоскости (с d) построена фронтально-проецирующа€ пр€ма€ f.

¬ плоскост€х (е f) (рис. 2.44, б) и (аb) (рис. 2.44, в) есть пр€мые, перпендикул€рные ѕ3. —ледовательно, эти плоскости €вл€ютс€ профильно-проецирующими. “аким образом, профильно-проецирующие плоскости можно задавать только проекци€ми на ѕ1 и ѕ2.

¬опрос о принадлежности точки и пр€мой к проецирующей плоскости решаетс€ проще, чем у плоскости общего положени€. ѕроекци€ точки или пр€мой всегда находитс€ в главной проекции плоскости, выродившейс€ в линию. “ак, на рис.2.46, а показаны проекции точки ј, а на рис. 2.46, б - пр€мой а, принадлежащих соответственно горизонтально- проецирующей плоскости Σ и фронтально-проецирующей плоскости .

ѕлоскости уровн€. –азличают три вида плоскостей уровн€:





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-24; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 867 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќачинать всегда стоит с того, что сеет сомнени€. © Ѕорис —тругацкий
==> читать все изречени€...

1527 - | 1322 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.082 с.