3.4.1. Пересечение линии с поверхностью, когда оба геометрических объекта проецирующие. На рис. 3.16 показано пересечение фронтально-проецирующей плоскости Σ и горизонтально-проецирующей прямой m.
Так как плоскость Σ и прямая m проецирующие, то проекции точки их пересечения (точка K) на чертеже уже определены, их надо только отметить (K2 и K1).
3.4.2. Пересечение линии с поверхностью, когда один из пересекающихся геометрических объектов проецирующий, а другой – непроецирующий. На рис. 3.17 показано определение точки пересечения плоскости Σ (a||b) и прямой m.Σ∩m=K.
Так как прямая m┴Π2 (рис. 3.17, а), то K2≡m2 (рис. 3.17, б), а K1 находим из условия принадлежности точки K плоскости Σ с помощью вспомогательной прямой CE Î Σ. Ход построения указан на чертеже.
На рис. 3.18 показано построение точек пересечения прямых d и m с конической поверхностью Φ. d∩Φ=K, m∩Φ=C и B.
Так как d┴Π1, то K1≡d1, а K2 находим с помощью образующей S 
.
Прямая m┴Π2, поэтому фронтальные проекции C2 и B2 точек пересечения прямой m с конусом совпадают с m2, а C1 и B1 находим с помощью параллели.
3.4.3. Пересечение линии с поверхностью, когда оба геометрических объекта непроецирующие. Для определения точек пересечения линии с поверхностью (рис. 3.19) необходимо:
1) заключить линию (m)во вспомогательную поверхность: Σ 
m. Желательно, чтобы при пересечении Σ с заданной поверхностью Φ получались прямые или окружности;
2) определяем линию пересечения ℓ вспомогательной поверхности Σ и Φ. Σ∩Φ=ℓ;
3) определяем точки пересечения построенной линии ℓ с m, то есть ℓ∩m=Kί;
4) определяем видимость заданной линии.
На рис. 3.20 показано построение точки пересечения прямой общего положения m с плоскостью Φ (a||b) (рис. 3.20, а) иm∩Φ=K (рис. 3.20, б).
Ход построения:
1) заключаем прямую m во фронтально-проецирующую плоскость Σ (Σ m), то есть через m2 проводим Σ2;
2) строим линию пересечения плоскостей Σ и Φ. Это прямая CM (C1M1, C2M2). CM=Σ∩Φ;
3) определяем точку K пересечения m с CM. Сначала определяем точку K1 (K1= m1∩C1M1), а затем с помощью линии проекционной связи - точку K2 (K2 m2);
4) видимость прямой m и плоскости Φ определяем с помощью конкурирующих точек: на Π1 – с помощью N и F; на Π2 – с помощью L и M.
На рис. 3.21 показано построение точек пересечения горизонтали h со сферой Φ.
Ход построения:
1) заключаем прямую h в горизонтальную плоскость Σ h (Σ2 ≡ h2);
2) строим линию пересечения ℓ (окружность радиуса R) плоскости Σ со сферой. Σ ∩Φ=ℓ;
3) определяем точки пересечения линии ℓ с горизонталью h. ℓ∩h=K и M. Сначала отмечаем точки K1 и M1, а затем с помощью линий проекционной связи находим K2 и M2 на h2;
4) определяем видимость линии m.
Построение точек пересечения прямой общего положения m со сферой Φ приведено на рис 3.22.
 |
Для определения искомых точек пересечения выполним следующие построения:
1) заключаем прямую m в горизонтально-проецирующую плоскость Σ (Σ1 m1).
При пересечении Σ со сферой получается окружность, которая на Π2 спроецируется в виде эллипса. Чтобы избежать построения эллипса, с помощью метода замены плоскостей проекций преобразуем прямую m в положение линии уровня, тогда дальнейшее построение будет подобно примеру на рис. 3.21.
Для этого:
2) на прямой m задаём две точки A и B;
3) проводим дополнительную плоскость Π4||m (х14||m1);
4) Проецируем на Π4 прямую AB и сферу. В новой системе Π1-Π4 прямая m стала фронталью (m1, m4);
5 ) Σ∩Φ=ℓ (окружность радиуса R);
6 ) ℓ ∩ m=K и M, то есть ℓ4 ∩ m4=K4 и M4. K1 и M1, K2 и M2 находим по линиям проекционной связи;
7) Определяем видимость m на Π1 и Π2.
На рис. 3.23 показано построение точек пересечения прямой общего положения m с конусом.
В данном случае удобнее всего, чтобы вспомогательная плоскость Σ пересекала конус по двум образующим, то есть вспомогательная плоскость должна проходить через вершину конуса S. Эта плоскость уже задана на чертеже прямой m и точкой S, то есть Σ (S, m).
Для удобства построений переходим к заданию плоскости Σ пересекающимися прямыми. Для этого на прямой m задаём точку E (E1, E2) и соединяем её с вершиной S. Теперь плоскость Σ задана двумя пересекающимися прямыми: Σ (m∩SE).
Далее строим линию пересечения Σ с Π1, это линия CM. Для этого находим горизонтальные следы прямых m и SE, это C1 и M1.
Горизонтальный след Σ (CM) и основание конуса лежат в одной плоскости, поэтому линия CM пересекает основание конуса в точках A и B, которые соединяем с вершиной S и получаем образующие AS и SB, по которым Σ пересекает конус.
Затем строим точки пересечения AS и SB с прямой m. AS∩m=K, BS∩m=F.
Таким образом точки K и F - искомые точки. Далее определяем видимость прямой m.
