оба геометрических объекта – непроецирующие
При взаимном пересечении поверхностей образуется общее множество точек, представляющих собой пространственную кривую линию. В частных случаях кривая распадается на несколько частей, каждая из которых может быть и плоской. Линию взаимного пересечения ещё называют линией перехода.
Пусть заданы две поверхности Φ и Τ (рис. 3.10). Требуется построить линию их пересечения ℓ = Φ ∩Τ.
Линию пересечения поверхностей строят по точкам, применяя способ вспомогательных поверхностей-посредников (плоскости, сферы и т. д.). Заданные поверхности пересекают вспомогательными поверхностями. Желательно, чтобы при пересечении вспомогательных поверхностей с заданными получались графически простые линии – прямые, окружности. Для упрощения построения в качестве поверхностей-посредников – применяют проецирующие поверхности.
3.3.1. Алгоритм построения линии пересечения двух поверхностей. Предварительно выполняем следующие действия:
1) Определяем, какие поверхности пересекаются.
2) Определяем характерные точки, принадлежащие линии пересечения (наивысшая и наинизшая, самая правая и самая левая точки пересечения и т. п., а также точки, принадлежащие очерковым и другим характерным образующим поверхностей).
3) Определяем, какой способ можно применять для построения линии пересечения.
Далее переходим к собственно построению линии пересечения:
4) Для определения промежуточных точек пересекаем обе поверхности вспомогательной поверхностью Σ 1:
а) строим линию пересечения а1= Σ 1∩Φ;
б) строим линию пересечения b1= Σ 1∩Τ1;
в) отмечаем точки пересечения линий К1= а1∩ b1.
Для построения других точек, принадлежащих линии пересечения, вводим ещё несколько вспомогательных поверхностей Σ ί и получаем ещё несколько точек К ί. Множество полученных точек будет представлять собой линию пересечения ℓ двух поверхностей;
5) определяем видимость линии пересечения и очерков поверхностей.
3.3.2. Построение линии пересечения двух плоскостей общего положения. На рис. 3.11 заданы плоскости Φ (m||n) и Τ (c∩d). Построение линии пересечения плоскостей заключается в нахождении двух точек, принадлежащих этой линии, т. к. при пересечении двух плоскостей получается прямая линия. Для определения двух точек достаточно двух плоскостей-посредников. На рис. 3.11 для нахождения одной точки K введена горизонтальная плоскость Σ || Π1.
Согласно указанному выше алгоритму:
Σ∩Φ=а, Σ∩Τ=b и а∩b=K.
Для определения второй точки K1 пересекаем плоскости Φ и Τ плоскостью Σ1 и аналогично строим вторую точку K1. Соединив точки K и K1, получаем линию пересечения ℓ = Φ ∩Τ.
3.3.3. Построение проекций линии пересечения двух кривых поверхностей с помощью вспомогательных секущих плоскостей. Сущность способа заключается в проведении семейства плоскостей, пересекающих обе поверхности по наиболее простым линиям – прямым и окружностям, либо пересекающих поверхности по кривым, проецирующимся в виде прямых и окружностей.
На рис. 3.12 показано построение проекций линии пересечения полусферы и тора.
Сначала отмечаем характерные точки: M –наивысшую, C и K – наинизшие, F и N - промежуточные.
Точка M принадлежит линии пересечения поверхностей, т. к. она располагается в общей фронтальной плоскости симмет-ии Τ (Τ1), т. е. глав-ные фронтальные меридианы n и m пересекаются в точке M, или n2∩m2=M2. . M1 находится на линии проекционной связи.
Наинизшие точки C и K находятся на пересечении экватора полусферы – Э и экватора тора b, т. е. Э1∩b1=K1 и C1. На линии проекционной связи находим точки K2 ≡ C2.
Промежуточные точки F и N находим с помощью вспомогательной горизонтальной плоскости Σ (см. вышеприведённый алгоритм), которая пересекает полусферу по окружности радиуса R1 и тор – по окружности радиуса R2. Эти окружности лежат в одной плоскости и пересекаются; их горизонтальные проекции пересекаются в точках N1 и F1, а проекции N2≡F2 расположены на линии проекционной связи на Σ2.
Проведя ещё несколько вспомогательных горизонтальных плоскостей, можно построить аналогичным путём ещё ряд промежуточных точек.
Соединив эти точки плавной кривой, получим проекции линии пересечения полусферы и тора. Затем определяем видимость линии пересечения и очерковых линий.
3.3.4. Пересечение соосных поверхностей вращения. Это поверхности, имеющие общую ось вращения ί.
На рис. 3.13 изображены соосные поверхности конуса и сферы, на рис. 3.14 – соосные цилиндр и сфера.
Соосные поверхности вращениявсегда пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения ί.
На рис. 3.13 и 3.14 поверхности пересекаются по окружностям a и b, концы диаметров (1-3 и 2-4) которых получаются при пересечении очерковых линий (главных меридианов).
Это свойство соосных поверхностей положено в основу способа вспомогательных секущих сфер.
3.3.5. Построение проекций линий пересечения поверхностей вращения с помощью вспомогательных сфер (концентрических). В этом способе при построении линии пересечения заданные поверхности пересекают сферами, соосными с данными поверхностями, причём центры всех вспомогательных сфер находятся в точке пересечения осей вращения.
Вспомогательная сфера пересекает каждую из заданных поверхностей по окружности. Эти окружности, расположенные на одной и той же сфере, будут пересекаться друг с другом. Точки пересечения окружностей принадлежат искомой линии пересечения.
Для применения этого способа необходимы следующие условия:
1) обе пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;
2) оси вращения поверхностей должны пересекаться и располагаться в плоскости, параллельной одной из плоскостей проекций.
На рис 3.15 показано построение линии пересечения двух прямых круговых конусов Φ ∩Τ. Оси вращения ί и j пересекаются в точке O (O1 , O2) и параллельны плоскости Π2. Это и будет центр вспомогательных сфер.
При пересечении очерковых линий конусов получаются точки: A – самая высокая и B – самая низкая, принадлежащие искомой линии пересечения.
При пересечении двух конусов плоскостью Γ (Γ2) получаем точки C и D: δ1∩n1=C1 и D1, и на линии проекционной связи определяем точки C2 и D2.
Далее необходимо отметить границы введения вспомогательных сфер.
Максимальный радиус вспомогательной сферы (Rmax=O2B2) определяется расстоянием от точки пересечения осей до наиболее удалённой точки пересечения очерковых линий, а минимальный радиус сферы Rmin равен радиусу сферы Σ, вписанной в наибольший из очерков поверхностей, т. е. в поверхность Φ, касающейся её по окружности m (m1, m2), и пересекающей другую поверхность T по окружности 3-4 (32-42). Плоскости этих окружностей перпендикулярны осям вращения поверхностей. При пересечении этих окружностей получаются точки K и 
, принадлежащие линии пересечения поверхностей: Σ∩Φ=1-2, Σ∩T=3-4 и далее 1-2∩3-4=K и (12-22∩32-42=K2≡ 
).
По такому же алгоритму с помощью промежуточных сфер строятся другие точки, принадлежащие линии пересечения,.
Радиусы промежуточных сфер берут произвольно в пределах между Rmin и Rmax.
На чертеже проведена одна из промежуточных сфер радиуса R и построены точки L (L1, L2) и N (N1, N2).
Проведя ещё несколько вспомогательных сфер, получим ряд точек, принадлежащих линии пересечения. Соединив одноимённые проекции полученных точек, получаем проекции линии пересечения. Затем определяем видимость линии пересечения и очерковых линий.
