На горизонтальной проекции видна вся боковая поверхность конуса вращения.
Пусть требуется построить недостающие проекции точек М и К, расположенных на поверхности конуса вращения, определитель которого W (l, i) (рис.2.65, а); требуется также построить фронтальный и горизонтальный очерки конуса.
Для решения задачи через М2 проводим главную проекцию 
плоскости вращения 
так, что ^ i2 (рис.2.65, б). Строим О2= 
Ç i2 и N2= Ç l2. По линии проекционной связи находим О1 º i1 и N1 Î l1. Очевидно, радиус вращения R точки N равен О1N1. Радиусом вращения R=O1N1 с центром в точке О1 строим горизонтальную проекцию окружности вращения точки N. Фронтальная проекция окружности вращения проецируется в виде отрезка 
, совпадающего с , где 
и 
- соответственно фронтальные проекции точки N в крайнем левом и крайнем правом положениях относительно наблюдателя.
Фронтальные очерковые образующие конуса проходят через точки 
, S2 и 
, S2.
Для нахождения М1 через М2 проводим линию проекционной связи до пересечения с построенной окружностью. Далее находим К2. Для этого через К1 проводим параллель радиусом R=O1K1, отмечаем крайнее правое (можно крайнее левое) положение 
и по линии проекционной связи в точке пересечения с фронтальной очерковой образующей, проходящей через точки S2 и , находим 
. Проекция расположена на главной проекции Т2 плоскости вращения точки К. На фронтальной проекции окружности вращения 
по линии проекционной связи находим К2. Проекция К2 не видна.
Очерк поверхности конуса содержит не только проекции очерковых образующих, но и проекции основания. Поэтому, обозначая некоторую точку А на образующей l и используя рассмотренный прием введения плоскости вращения Р точки А, имеем фронтальный очерк конуса в виде треугольника 
и горизонтальный очерк в виде окружности радиуса R=O1A1.
Линию на поверхности строят по точкам, задаваясь крайними точками на границе видимости (при наличии таковых), ближайшими к оси вращения и промежуточными. Следует иметь в виду, что очерковые образующие являются границей видимости. Общее количество выбранных на кривой линии точек должно быть не менее 4-6. Аналогичный подход сохраняется и для других поверхностей вращения, рассматриваемых ниже.
Цилиндр вращения. Имеет определитель Ф(l, i), где l – образующая прямая линия, i – ось вращения. Боковая поверхность такого цилиндра горизонтально–проецирующая, т.к. все его образующие перпендикулярны П1 и, перемещаясь в пространстве, пересекают все точки окружности основания (рис.2.66).
Проекции образующих 
и 
вместе с проекциями верхнего 
и нижнего A2B2C2D2 оснований являются фронтальным очерком цилиндра. На фронтальной проекции видна часть поверхности 
и не видна 
. На горизонтальной проекции боковая поверхность цилиндра проецируется в окружность. Верхнее основание 
видно на горизонтальной проекции, нижнее ABCD не видно. Построение проекций точек М и N и их видимость показаны на рис.2.66.
Сфера. Имея определитель вида Ф (m, i), поверхность сферы образуется вращением полуокружности (меридиана) m вокруг оси i, проходящей через её центр и лежащей в плоскости этой полуокружности (рис. 2.67).
|
|
Две другие проекции экватора проецируются в отрезки прямых
Э2 || х12 и Э3 || у3. При рассечении сферы фронтальной плоскостью уровня S, проходящей через центр сферы О и ее ось i, поверхность рассекается по окружности N. Горизонтальная проекция N1 этой окружности есть отрезок прямой, равный диаметру сферы. Фронтальная проекция N2 есть натуральная величина окружности и является фронтальным очерком сферы. Профильная проекция N3 также представляет из себя отрезок прямой, равный диаметру сферы.
Если рассечь сферу профильной плоскостью уровня Т, проходящей через центр О и ось i, то поверхность сферы также рассечется по окружности L. Фронтальная L2 и горизонтальная L1 проекции ее являются отрезками прямых, равными диаметру сферы. Профильная проекция L3 есть натуральная величина окружности и является профильным очерком сферы.
На рис. 2.68 показаны проекции точек К, Е и F, расположенных на соответствующих очерковых окружностях Э, N и L. Все проекции точек видимые, поскольку на горизонтальной проекции видно верхнее полушарие,
ограниченное экватором Э (нижнее не видно), на фронтальной проекции видно переднее полушарие, ограниченное проекцией окружности N фронтального очерка (задняя часть не видна) и на профильной проекции видно левое полушарие, ограниченное проекцией окружности L профильного очерка.
Для нахождения проекций G1 и G3 точки G, заданной на сфере проекцией G2, через точку G проводим горизонтальную уровня плоскость Р, которая рассекает сферу по параллели. На горизонтальной проекции радиусом этой параллели в зоне расположения точки G проводим дугу окружности и на пересечении её с линией проекционной связи, проведенной из точки G2, находим G1. Проекция G3 расположена на линии проекционной связи, проведенной из точки G2, на расстоянии Dу от i3. Проекции G1 и G3 не видны.
Если задана G1 и необходимо найти G2 и G3, то построения проводят в обратном порядке.
Тор. Имеет определитель вида Ф (а, i), где а – окружность или часть ее, i – ось вращения. Поверхность тора образуется вращением окружности а или части ее вокруг оси i, лежащей в плоскости окружности или ее дуги и не проходящей через центр О (рис. 2.69).
В зависимости от расположения оси i относительно образующей а имеем различные разновидности поверхностей торов. Если ось i лежит вне окружности (рис. 2.69, а), то образуется открытая торовая поверхность, похожая на поверхность баранки. Если ось i пересекается с дугой окружности или её продолжением, то может получится вогнутая (рис. 2.69, б) или выпуклая (рис. 2.69, в) закрытая торовая поверхность.
Пусть требуется найти горизонтальную проекцию К1 точки К, расположенной на поверхности тора, заданного фронтальным и горизонтальным очерками (рис. 2.70). Тогда через точку К проводим плоскость вращения ^ i, которая рассекает поверхности по окружности, фронтальная проекция которой есть отрезок прямой А2В2. Радиусом R=О2А2=О2В2 строим горизонтальную проекцию параллели – окружность, на пересечении с которой линии проекционной связи, проведенной из точки К2, находим проекцию К1. Проекция К1 видимая, т.к. лежит на верхней половине тора выше экватора.
Если задана проекция К1, и надо найти проекцию К2 , то построение выполняем в обратном порядке.
ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
Это задачи, в которых решается вопрос о взаимном порядке, взаимном положении и взаимном пересечении геометрических объектов.
Задачи на взаимный порядок и взаимное положение геометрических объектов, а также задачи на взаимную принадлежность геометрических объектов были разобраны в разделах 1и2.Эти задачи не имеют самостоятельной методики и опираются на решение других позиционных задач. Наибольший практический интерес представляют задачи на пересечение поверхностей и задачи на пересечение линии и поверхности. Изучение этих задач рассмотрим методом индукции, т. е. от частного к общему.
В этих двух типах задач можно выделить три группы задач:
1)Оба пересекающихся геометрических объекта занимают проецирующее положение;
2)Один из пересекающихся геометрических объектов занимает проецирующее положение, другой – непроецирующее;
3) Оба пересекающихся геометрических объекта занимают непроецирующие положения.
Проецирующими геометрическими объектами могут быть: прямая, плоскость, цилиндрическая поверхность (см. рис. 1.11).
Рассмотрим первый тип задач – задачи на пересечение поверхностей.
Вначале рассмотрим задачи на пересечение проецирующих геометрических объектов и когда один из объектов непроецирующий. После этого рассмотрим задачи на построение линии пересечения непроецирующих геометрических объектов.
