Метод Эйлера.
В основе метода Эйлера (метод ломаных) лежит идея графического построения решения дифференциальных уравнений, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Выбрав достаточно малый шаг h, строится система равноотстоящих точек 
.
В методе Эйлера приближенные значения 
вычисляются последовательно по формулам:
.
При этом искомая интегральная кривая 
, проходящая через точку 
, заменяется ломанной 
с вершинами 
; каждое звено 
этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения 
, которая проходит через точку 
y
Пример
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Решение ОДУ имеет вид:
| 
|
| 0.0 | 1.000 |
| 0.1 | 1.100 |
| 0.2 | 1.219 |
Особенности метода Эйлера.
Метод очень прост в реализации, но обладает малой точностью, поскольку погрешность каждого нового шага систематически возрастает. Существует модификации метода, повышающие его точность, - методы Эйлера-Коши – первая и вторая улучшенные формулы.
Первая улучшенная формула Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Решение в каждой точке 
определяется по формуле:
,
где
.
Геометрически это означает, что отрезок ломанная между точками 
заменяется на два отрезка 
. Направление первого отрезка совпадает с направлением интегральной кривой в точке
, а направление второго отрезка определяется направлением, интегральной кривой в вспомогательной точке 
.
Пример.
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Решение ОДУ имеет вид:
|
|
|
| 0.0 | 1.000 |
| 0.1 | 1.109 |
| 0.2 | 1.239 |
Вторая улучшенная формула Эйлера
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Решение в каждой точке определяется по формуле:
,
где
Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке 
, а в качестве окончательного направления ломаной берется среднее этих направлений.
Пример.
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Решение ОДУ имеет вид:
|
|
|
| 0.0 | 1.000 |
| 0.1 | 1.110 |
| 0.2 | 1.241 |
Метод Рунге-Кутта.
Метод Эйлера относится к семейству методов Рунге-Кутта.
Метод Рунге-Кутта 
-го порядка имеет вид:
,
где при фиксированных значениях некоторых параметров:
последовательно вычисляются:
Наибольшее применение на практике получил метод Руте-Кутта 4-го порядка:
,
где
Метод Рунге-Кутта имеет ряд важнейших достоинств:
1) высокая точность
2) явная схема вычислений 
за определенное количество шагов и по определенным формулам.
3) возможен переменный шаг, т.е. можно сменить шаг, где функция быстро меняется.
4) легко оформляется.
Пусть дано дифференциальное уравнение:
с начальными условиями:
.
Решение ОДУ имеет вид:
|
|
|
| 0.0 | 1.000 |
| 0.1 | 1.110 |
| 0.2 | 1.241 |
