Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Метод Эйлера.

В основе метода Эйлера (метод ломаных) лежит идея графического построения решения дифференциальных уравнений, однако этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

Выбрав достаточно малый шаг h, строится система равноотстоящих точек .

В методе Эйлера приближенные значения вычисляются последовательно по формулам:

При этом искомая интегральная кривая , проходящая через точку , заменяется ломанной с вершинами ; каждое звено этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения , которая проходит через точку

Пример

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

Решение ОДУ имеет вид:


0.0	1.000
0.1	1.100
0.2	1.219

Особенности метода Эйлера.

Метод очень прост в реализации, но обладает малой точностью, поскольку погрешность каждого нового шага систематически возрастает. Существует модификации метода, повышающие его точность, - методы Эйлера-Коши – первая и вторая улучшенные формулы.

Первая улучшенная формула Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

Решение в каждой точке определяется по формуле:

где

Геометрически это означает, что отрезок ломанная между точками заменяется на два отрезка . Направление первого отрезка совпадает с направлением интегральной кривой в точке

, а направление второго отрезка определяется направлением, интегральной кривой в вспомогательной точке .

Пример.

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

Решение ОДУ имеет вид:


0.0	1.000
0.1	1.109
0.2	1.239

Вторая улучшенная формула Эйлера

Пусть дано дифференциальное уравнение:

с начальными условиями:

Решение в каждой точке определяется по формуле:

где

Геометрически это означает, что определяется направление интегральной кривой в исходной точке и во вспомогательной точке , а в качестве окончательного направления ломаной берется среднее этих направлений.