Сходимость метода гарантируется при выборе начального приближения вблизи 
.
В любом случае метод может остановитья в точке относительного метода.
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) встречаются при описании движения системы взаимодействующих материальных носителей (механике, химической кинетике, электрических цепях, сопротивлении материалов и многих других явлениях жизни).Ряд важнейших задач сводится к задачам с обыкновенными дифференциальными уравнениями, а именно теория автоматического управления базируется на ОДУ, а также и другие курсы специальности АЭП
Простейшим ОДУ является уравнение 1-го порядка:
ОДУ n-го порядка имеет вид:
Однако любое уравнение n-го порядка можно свести к системе из n уравнений 1-го порядка:
или
Таким образом, решение дифференциального уравнения n-го порядка сводится к решению системы дифференциальных уравнений 1-го порядка (количество дифференциальных уравнений в системе = n).
Если ввести следующие обозначения:
,
то систему дифференциальных уравнений можно переписать в векторно-матричном виде:
(1)
Известно, что система n-го порядка имеет множество решений,, которые в общем случае зависят от постоянных С, общее количество которых -n. Общее решение системы ОДУ может быть записано в виде:
,где 
Для определения значения этих параметров, т.е. выделения единственного решения необходимо учитывать дополнительные условия. В зависимости от выбора дополнительных условий определены следующие типы задач для обыкновенных дифференциальных уравнений:
- задача Коши;
- краевая задача;
- задача на собственные значения.
Задача Коши.
Задача Коши, или задача с начальными условиями, имеет следующие дополнительные условия:
Краевая задача.
Когда дополнительные условия заданы как в точке 
, так и в точке 
.
Задача на собственные значения.
Если функция 
зависит от параметров 
:
,
где .
Число дополнительных условий должно быть соответственно 
. Функции 
где 
; 
удовлетворяющее всем уравнениям, называются собственными дифференциальными или собственными значениями задачи.
Методы решения ОДУ.
Обыкновенные дифференциальные уравнения могут быть решены следующими методами:
- аналитическими;
- численными;
- графическими;
- приближенными.
Аналитические методы дают решение в виде аналитического выражения.
Графические методы дают приближенное решение в виде графика.
Численные методы дают частное решение для определенных в виде таблицы, Численные методы применяются только к корректно поставленным задачам, т.е. к таким, у которых малое изменение начальных значений, приводит к малому изменению интегральных кривых.
Пример.
Пусть дано следующее ОДУ:
.
Необходимо решить задачу Коши для 
.
Начальные условия имеют вид:
Общее решение имеет вид:
при 
решение 
.
Однако при малом изменении начальных условий:
решение в точке 
: 
. То есть имеет место плохо обусловленная задача.
