Общие выводы по задаче интерполяции

1. Для равноотстоящих узлов интерполирования лучше всего выбирать интерполяционные формулы Ньютона, при этом:

а) если значение в начале таблицы - 1ИФН

б) если значение в конце таблицы - 2ИФН

2. Существуют интерполяционные центральные формулы, позволяющие интерполировать в середине таблицы, используя близлежащие разности (Гаус, Стерлинг, Бессель)

3. Для неравноотстоящих узлов интерполирования существуют формулы Лагранжа, Ньютона.

4. Если количество узлов больше и существует возможность определения хотя бы первых производных в узлах, то лучше всего исрользовать интерполяцию сплайками.

5. Если существует возможность выбора узлов, то выбирают по условиям Чебышева, которое позволяет уменьшить погрешность аппроксимации.

6. Используя интерполяционные формулы, можно решать задачу обратного интерполирования.

7. Задача обратного интерполирования может быть использована при решении корней уравнения, а именно:

, необходимо найти корни. Составляем таблицу по формуле, а затем задаваясь значением => ищат .

 

Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

Если для функции интерполяционный полином Лагранжа принимает в точках заданные значения . Возникает вопрос, насколько близко построенный полином приближается к функции в других точках, то есть как велик остаточный член.

- абсолютная погрешность интерполяционной формулы Лагранжа (остаточный член)

Пример: с какой точностью можно вычислить с помощью ИФЛ для функции

Выбрав узлы интерполирования

, ,

ð

 

Решение системы линейных уравнений

Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений

Методы решения систем линейных уравнений в основном делятся на две группы:

1. Точные методы - представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы.

2. Итерационные методы - позволяющие получить корни системы уравнений с заданной точночтью путём бесконечных сходящихся процессов.

Введём следующие обозначения:

- матрица коэффициентов

- столбец свободных членов

- столбец неизвестных

Решение имеет место, если матрица - неособенная, то есть

- решение системы с помощью обратной матрицы

Сложность нахождения обратной матрицы для заключается в большом времени нахождения .

Это обстоятельство обходится с помощью правила Крамера

,

где - определитель матрицы

- определитель матрицы, полученный из матрицы путём замещения -го столбца на столбец свободных членов .

Пример:

Прямой метод

,

По правилу Крамера