Если выполнимы все четыре условия теоремы 1, то для последовательных приближений 
, 
справедливо неравенство:
где 
- искомое решение, а 
При 
сходимость метода - сверхбыстрая.
Единственность решения
Если выполнимы все четыре условия, в области
то содержится единственное решение системы
Выбор начального условия
Если выполнимы все четыре условия и 
, то процесс сходится к единственному решению в основной области при любом выборе начального условия из области
Модифицированный метод Ньютона
При использовании метода Ньютона наиболее трудоёмким является процесс вычисления обратной матрицы Якоби.
Если матрица 
невырождённая для некоторого приближения 
, и достаточно близко к 
(искомому решению), то можно использовать модифицированный метод Ньютона.
Метод итераций
Дана система нелинейных уравнений:
или
(1)
Допустим, что систему 1 можно привести к виду:
(2)
Введём обозначения:
, 
,
Можно систему уравнений 2 переписать в виде:
Приведённое матричное уравнение и есть формула метода итераций
Необходимое и достаточное условие сходимости процесса итерации
Пусть функции 
и 
непрерывны в области 
, причём в области выполнимо неравенство:
где 
- некоторая константа.
Если последовательные приближения
, 
не выходят из области , то этот процесс сходится к единственному решению системы.
Следствие:
оценка пиближённо
На практике лучше всего рассматривать матрицу с элементами
Для сходимости должно выполнятся условие
1) 
2) 
3) 
Метод скорейшего спуска (градиентный метод)
Дана система линейных уравнений:
(1)
В матричном виде
Считаем, что 
действительны и непрерывно дифференцируемы в их общей области определения.
Рассмотрим функцию
(2)
Очевидно, что если мы найдём решение системы уравнений 1 , то это решение является и решением системы уравнений 2 и наоборот.
Предполагаем, что система 1 имеет лишь одно изолированное решение, представляющего собой точку строго минимум функции 
. Таким образом задача сводится к нахождению минимум функции в 
-мерном пространстве.
Берём точку - нулевое приближение. Через точку проходит поверхность уровня и 
. Если близка , то поверхность = 
будет похожа на элипсоид.
Из точки движемся по нормали к поверхности 
до тех пор, пока эта нормаль не коснётся 
другой поверхности:
И так далее.
Так как 
, то двигаясь таким образом, мы быстро приближаемся к точке с минимальным значением 
, которая соответствует некоему корню .
Градиент функции U
- набла или grad - есть вектор приложенный к точке , имеющий направление нормали. Из векторных произведений
, 
(3)
Как определить 
? Для этого рассматривают скалярную функцию 
:
Уравнение 3 можно преобразовать так, чтобы не было явного выражения градиента. Введем обозначения 
, тогда итерационная формула градиентного метода будет иметь вид:
,
где 
Вычисления производятся до тех пор, пока не станет справедливым следующее неравенство:
e,
где e - заданная точность вычисления.
Пример. Дана система нелинейных уравнений:
Найти решение системы градиентным методом с точностью e=0,01
Определим начальное приближение как:
Вектор-функция 
имеет вид:
Якобиан, или матрица частных производных имеет вид:
1 итерация
2 итерация
Решение системы нелинейных уравнений представлено в таблице:
| K | x | ½Dx½ | y | ½Dy½ | z | ½Dz½ |
| 0.000 | 0,100 | 0.000 | 0,200 | 0.000 | 0,300 | |
| 0.100 | 0,030 | -0.200 | 0,250 | 0.300 | 0,250 | |
| 0,130 | 0,095 | 0,050 | 0,251 | 0,050 | 0,209 | |
| 0,035 | 0,018 | -0,201 | 0,016 | 0,259 | 0,013 | |
| 0,017 | 0,003 | -0,185 | 0,007 | 0,246 | 0,001 | |
| 0,014 | -0,178 | 0,245 |
Таким образом, решение системы уравнений имеет вид:
