Постановка задачи
Дана система линейных уравнений
(1)
Введём обозначения: вектор 
- вектор аргументов:
Аналогично вектор функций
Тогда систему 1 можно переписать в виде:
Система линейных уравнений в общем виде неразрешима. Поэтому мы будем рассматривать только численные методы решения системы линейных уравнений.
Метод Ньютона
Для уравнения имеет вид:
По анологии метод Ньютона для системы линейных уравнений
где 
- вектор аргументов на 
-ом шаге итерации
- значения вектора функций (системы уравнений) при
- обратная матрица Якоби
- матрица, Якоби-матрица, состоящая из частных производных
Вполне естественно очевидно, что формулу Ньютона можно применять в том случае, когда Якоби-матрица неособенная, невырождённая, то есть 
.
Пример:
Дано: 
Матрица Якоби
Превоначальная оцнка
1) 
2) 
3) 
- 
= - 
= 
и так далее
Результаты итераций лучше всего сводить в таблицу
| 
| 
| 
| 
|
| 3,4 | 0,097 | 2,2 | 0,076 | |
| 3,497 | 2,276 | |||
Прекращаем вычисления, когда 
- заданная точность.
Как и в любых численных методах встают следующие задачи: о сходимости метода и о выборе начального значения.
Сходимость метода Ньютона
Вопросами сходимости метода Ньютона занимались такие учёные, как Виллус, Стёпин, Островский, Канторович и другие. Мы же будем рассматривать сходимость, единственность корня и выбор начального условия по Канторовичу. При рассмотрении этих характеристик метода ипользуются понятия нормы. Поэтому прежде дадим определения:
-нормой - называется максимальная сумма модулей элементов по строкам.
-нормой - называется максимальная сумма модулей элементов по столбцам.
-нормой - нызывается квадратный корень из суммы квадратов модулей элементов матрицы
Пример:
Для оценки матриц, используемых в методе Ньютона для нелинейных систем, будем использовать 
-нормы, а именно
Теорема о существовании корней и сходимости процесса Ньютона
Пусть дана нелинейная система уравнений
,
где 
- вектор-функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными первого и второго порядков в некоторой области 
. Положим, что 
- есть точка, лежащая в вместе со своей замкнутой 
-окрестностью. При этом выполняются следующие условия:
1) матрица Якоби при 
имеет обратную функцию
2) 
3) 
4) постоянные 
удовлетворяют неравенству
Тогда процесс Ньютона при начальном приблежении сходится к решению 
- есть решение такое, что 
Для проверки условия 
даёт оценку расходимости начального и первого приблежения.
