Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


«адача 4.3.г»сследовать сходимость р€да.




–ешение. ѕодберем р€д дл€ сравнени€. — учетом неравенств , , выполненных при всех , имеем

.

ƒл€ р€да воспользуемс€ интегральным признаком  оши. ѕоложим . “огда

.

—ледовательно, и р€д , и р€д сход€тс€.

‘ункциональным р€дом называетс€ выражение вида

ƒл€ каждого фиксированного значени€ параметра сходимость р€да определ€етс€ как предел частичных сумм соответствующего числового р€да. ќбласть сходимости Ц множество значений , при которых р€д сходитс€. ƒл€ степенного р€да

областью сходимости €вл€етс€ интервал , где . «десь обозначает верхний предел последовательности , то есть наибольший из пределов всех сход€щихс€ подпоследовательностей . ¬нутри данного интервала р€д сходитс€ абсолютно (то есть сходитс€ р€д, составленный из модулей членов). —ходимость степенного р€да в граничных точках исследуетс€ отдельно.

–€дом “ейлора функции в точке называетс€ степенной р€д

где

.

≈сли значение равно сумме ее р€да “ейлора , то функци€ называетс€ аналитической в точке . –€д “ейлора определен однозначно в том смысле что, если дл€ какого-либо степенного р€да, то тогда . —тепенные р€ды внутри области сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать: если , то тогда

,

«адача 4.4. ¬ыписать р€д “ейлора функции с центром в точке . Ќайти область сходимости р€да.

–ешение. ¬оспользуемс€ формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии:

при .

ƒл€ этого сначала поделим с остатком числитель дроби на знаменатель:

.

ƒалее,

где .

—ледовательно,

.

ќкончательно,

„тобы найти область сходимости р€да, воспользуемс€ признаком ƒаламбера. «афиксируем и рассмотрим р€д из модулей:

“огда общий член р€да записываетс€ формулой , , и, следовательно,

—огласно признаку ƒаламбера при р€д сходитс€, а при р€д расходитс€. »нтервал сходимости р€да . »сследуем поведение р€да в граничных точках . ѕри получаем:

.

ѕоскольку , то необходимое условие сходимости р€да оказываетс€ невыполненным, и р€д расходитс€. ѕри р€д расходитс€ по той же причине.

 

«адача 4.5. ¬ычислить приближенно с точностью до e =0.001 значение интеграла , использу€ разложение подынтегральной функции в р€д “ейлора.

–ешение. ¬оспользуемс€ формулой

ѕодставл€€ вместо , получим:

.

»нтегриру€ почленно, получим

„тобы пон€ть, сколько членов р€да нужно вз€ть, чтобы найти сумму р€да с точностью до 0.001, воспользуемс€ оценкой остатка лейбницевского р€да: сумма отброшенных слагаемых по модулю не превосходит первого отброшенного числа. “аким образом, остаетс€ решить, дл€ какого натурального числа впервые будет выполнено неравенство

.

ѕоследовательно подставл€€ в данное неравенство значени€ , убеждаемс€, что впервые неравенство оказываетс€ выполненным при :

.

¬ частности, все слагаемые р€да, начина€ с , можно отбросить.

ќтвет: .

–€дом ‘урье на интервале называетс€ функциональный р€д вида

≈сли функци€ непрерывна (или имеет конечное число разрывов первого рода) на интервале , и ее производна€ существует всюду, кроме конечного числа точек, и при этом ограничена по модулю , то значение в точках непрерывности равно сумме р€да ‘урье

,

коэффициенты и которого определ€ютс€ по формулам

, , , ,.

«адача 4.6. ѕредставить функцию р€дом ‘урье в интервале (0,2p).

–ешение. »меем:

.

ќкончательно, получаем:

.

 

Ћитература.

1. ўипачев ¬.—. ¬ысша€ математика. ”чебник дл€ вузов. - ћ., ¬ысша€ школа, 2001.

2.  ремер Ќ.Ў. ¬ысша€ математика дл€ экономистов. ”чебник. 2 издание. ёнити - ƒана, 2002.

3. Ѕугров я.—., Ќикольский —.ћ. Ёлементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - ћ., Ќаука, 1984.

4. Ѕугров я.—., Ќикольский —.ћ. ƒифференциальное и интегральное исчисление. - ћ., Ќаука, 1988.

5. Ѕугров я.—., Ќикольский —.ћ. ƒифференциальные уравнени€.  ратные интегралы. –€ды. “‘ ѕ. - ћ., Ќаука, 1985.

6.  летеник ƒ.¬. —борник задач по аналитической геометрии. - ћ., Ќаука, 1984.

7. Ѕорисова ќ.Ќ. ћатематика: ”чебна€ программа и методические материалы. -  оролев:  »”Ё—, 2003, 26 с.

 

 

—ќƒ≈–∆јЌ»≈

 

  –аздел —тр.
  Ћинейна€ алгебра  
  ¬екторна€ алгебра и аналитическа€ геометри€  
  ѕределы  
  ѕроизводна€  
  ‘ункции нескольких переменных  
  »нтегралы  
  ƒифференциальные уравнени€  
  –€ды  
  Ћитература  
  —одержание  

 

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-24; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 447 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћюди избавились бы от половины своих непри€тностей, если бы договорились о значении слов. © –ене ƒекарт
==> читать все изречени€...

2139 - | 1937 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.018 с.