Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ƒифференциальные уравнени€ второго пор€дка с посто€нными коэффициентами и специальной правой частью.




–ассмотрим уравнение

где и константы, а функци€ в правой части уравнени€ имеет один из следующих трех видов

, , ,

- произвольный многочлен степени . –ешение такого уравнени€ может быть получено следующим образом.  вадратное уравнение

назовем характеристическим уравнением дл€ нашего уравнени€. ѕусть , Ц корни этого квадратного уравнени€. ќбщее решение однородного уравнени€

имеет вид

,

если , - два различных вещественных числа; имеет вид

если и, наконец, решение имеет вид

если , - комплексно-сопр€женные корни характеристического уравнени€.

ќбщее решение неоднородного уравнени€ может быть получено как сумма общего решени€ однородного уравнени€ и произвольного частного решени€ неоднородного уравнени€ . Ёто частное решение можно найти методом неопределенных коэффициентов по следующему правилу.

—опоставим функции в правой части исходного уравнени€ число . ≈сли не €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€, то частное решение ищем в том же виде, в каком записана права€ часть, то есть

если , и в виде

если или . «десь , многочлены степени , коэффициенты которых можно определить, подставив в исходное уравнение и приравн€в коэффициенты при одинаковых функци€х. ≈сли €вл€етс€ корнем характеристического уравнени€ (эта ситуаци€ называетс€ резонансом), то степень многочленов , увеличиваетс€ на 1.

 

«адача 4.2.а. Ќайти решение задачи  оши дл€ дифференциального уравнени€.

–ешение. —начала найдем общее решение однородного уравнени€. ¬ыпишем характеристическое уравнение

Û

—ледовательно, общее решение линейного однородного уравнени€ имеет вид

.

ѕоскольку корни характеристического уравнени€ не совпадают с соответствующим показателем правой части , частное решение неоднородного уравнени€ будем искать в виде

.

ѕолучаем:

,

.

ѕодставл€€ , , в исходное уравнение, получаем:

—окраща€ на и привод€ подобные, получим

,

,

откуда

Û

ќбщее решение неоднородного уравнени€ имеет, следовательно, вид

.

“еперь найдем решение задачи  оши. »меем:

,

ѕоскольку , второе уравнение имеет вид . –ешаем систему линейных уравнений на неизвестные и :

”множа€ первое уравнение системы на 2 и вычита€ из него второе уравнение, получим:

Û .

ƒалее,

.

ќтвет: .

«адача 4.2.б. Ќайти решение задачи  оши дл€ дифференциального уравнени€.

–ешение. ’арактеристическое уравнение имеет вид:

,

откуда

,

где - мнима€ единица. —ледовательно, , , и общее решение однородного уравнени€ есть

.

ѕрава€ часть исходного неоднородного уравнени€ имеет то же собственное число, что и характеристическое уравнение, следовательно, мы имеем дело с резонансом. ѕоэтому частное решение неоднородного уравнени€ следует искать в виде

.

ѕодставл€€ в исходное уравнение, с учетом того, что

,

получим:

откуда

и, следовательно,

, .

“аким образом, частным решением неоднородного уравнени€ €вл€етс€ функци€

.

ќбщее решение неоднородного уравнени€ может быть записано в виде

.

Ќайдем константы и , при которых выполнены краевые услови€

, .

“ак как

,

получаем систему линейных уравнений на и :

откуда .

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-24; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 437 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬елико ли, мало ли дело, его надо делать. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

1539 - | 1219 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.022 с.