Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќсновные свойства неопределенного интеграла.




1. (в частности, ).

2. .

3. .

 

Ќеобходимо знать интегралы основных элементарных функций (табличные интегралы):

()

„астные случаи формулы .

1∞. .

2∞. .

3∞. .

4∞. .

5∞. .

6∞. .

7∞. .

8∞. .

 

ƒл€ нахождени€ интегралов используютс€ следующие методы.

1) ѕреобразование подынтегрального выражени€, при помощи которого интеграл преобразуетс€ к одному или нескольким табличным интегралам.

1∞.

2∞.

 

2) ѕодведение под знак дифференциала, основанное на формуле .

,

где .

1∞.

.

2∞.

3∞.

 

3) «амена переменной. ≈сли , то

.

1∞.

.

2∞.

.

3∞.

.

 

4) »нтегрирование по част€м:

.

1∞.

.

2∞.

.

3∞

.

 

5) »нтегрирование рациональных дробей вида (где , - многочлены) основано на представлении дроби в виде суммы многочлена и простейших рациональных дробей вида

.

–азложение рациональных дробей в сумму простых дробей осуществл€етс€ с помощью метода неопределенных коэффициентов, который будет продемонстрирован ниже, на частном примере.

»меют место формулы

,

().

»нтеграл можно найти, выдел€€ полный квадрат в знаменателе: , с последующей заменой .

»нтеграл сводитс€ к интегралу следующего вида:

.

1∞. ْ

—оставим комбинацию простых дробей, в знаменател€х которых присутствуют все возможные делители знаменател€ исходной функции:

ѕосле приведени€ этих п€ти дробей к общему знаменателю, получим:

ѕриравн€в числители полученной дроби и дроби , получим:

Ќеобходимо, чтобы это соотношение было выполнено при всех значени€х . ѕодставим в него п€ть (по числу неизвестных коэффициентов , , , , ) различных значений . ѕолучим систему линейных уравнений на , , , , :

ћожно показать, что у такой системы всегда существует единственное решение. –ешив эту систему (например, методом √аусса), получим требуемое представление , , , , :

ќкончательно,

 

6) ‘ункции, содержащие иррациональности, интегрируютс€ в том случае, когда интеграл от них сводитс€ к интегралу от рациональной дроби с помощью какой-либо замены переменной. ѕриведем несколько примеров интегрируемых иррациональных функций.

) »нтегралы вида

где - рациональна€ функци€, а , ¼, - натуральные числа. ћетод интегрировани€ - замена , где - наименьшее общее кратное чисел , ¼, .

) »нтегралы вида свод€тс€ к табличным при помощи замены .

) »нтегралы , где , и - рациональные числа. »нтегралы такого вида свод€тс€ к элементарным только при следующих соотношени€х параметров , и .

≈сли целое, то следует использовать замену , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей , .

ѕусть теперь - наименьшее общее кратное знаменателей дробей , . ≈сли - целое, то интеграл сводитс€ к интегралу от рациональной функции с помощью замены .

≈сли целое, то интегрирование осуществл€етс€ при помощи замены .

) ѕодстановки Ёйлера. ќни примен€ютс€ к интегралам вида , где рациональна€ функци€. »меетс€ три вида подстановок Ёйлера.

;

;

,

где , -корни многочлена .

“ригонометрические замены. ƒл€ интегралов используетс€ замена . ƒл€ интегралов используетс€ замена . ƒл€ интегралов используетс€ замена . ¬ каждом из трех случаев получаетс€ интеграл от рациональной функции, завис€щей от и .

7) »нтегрирование выражений вида , где Ц рациональна€ функци€ от . ¬ разных случа€х используютс€ замены , , , . ≈сли ни одна из этих замен не позвол€ет получить интеграл от рациональной функции, то используетс€ универсальна€ тригонометрическа€ подстановка . “огда , , , и подынтегральное выражение сведетс€ к рациональной дроби.

¬ задачах 3.5.а-3.5.ж. требуетс€ вычислить неопределенные интегралы.

«адача 3.5.а. .

–ешение. .

«адача 3.5.б. .

–ешение.

1)

2) .

ќтвет: .

«адача 3.5.в. .

–ешение. = = = = = = = = = .

«адача 3.5.г. .

–ешение. »нтегрируем по част€м: = .

»нтегралы вида наход€тс€ с помощью подстановки .

«адача 3.5.д. .

–ешение. = = = = = = = .

«адача 3.5.е. .

–ешение. –азложим подынтегральную функцию в сумму простых дробей. ¬оспользуемс€ методом неопределенных коэффициентов.

,

,

,

откуда

Û Û

—ледовательно,

1) ;

2)

= .

ќтвет: .

»нтегралы вида дл€ нечетного можно находить при помощи подстановки .

«адача 3.5.е. .

–ешение. .

–азложим подынтегральное выражение в сумму простых дробей:

,

,

ѕриравнива€ коэффициенты при одинаковых степен€х в левой и правой част€х тождества, получим систему четырех уравнений с четырьм€ неизвестными A, B, C, D:

Û Û

ќткуда

ќкончательно, получим . —ледовательно, разложение дроби в сумму простейших имеет вид:

.

¬ результате, получаем

= = = .

«адача 3.5.ж. .

–ешение. »спользуем универсальную тригонометрическую подстановку.

= = = = = .

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-24; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 448 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

¬аше врем€ ограничено, не тратьте его, жив€ чужой жизнью © —тив ƒжобс
==> читать все изречени€...

1297 - | 1277 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.05 с.