Основные свойства неопределенного интеграла.

1. (в частности, ).

2. .

3. .

 

Необходимо знать интегралы основных элементарных функций (табличные интегралы):

()

Частные случаи формулы .

1°. .

2°. .

3°. .

4°. .

5°. .

6°. .

7°. .

8°. .

 

Для нахождения интегралов используются следующие методы.

1) Преобразование подынтегрального выражения, при помощи которого интеграл преобразуется к одному или нескольким табличным интегралам.

1°.

2°.

 

2) Подведение под знак дифференциала, основанное на формуле .

,

где .

1°.

.

2°.

3°.

 

3) Замена переменной. Если , то

.

1°.

.

2°.

.

3°.

.

 

4) Интегрирование по частям:

.

1°.

.

2°.

.

3°

.

 

5) Интегрирование рациональных дробей вида (где , - многочлены) основано на представлении дроби в виде суммы многочлена и простейших рациональных дробей вида

.

Разложение рациональных дробей в сумму простых дробей осуществляется с помощью метода неопределенных коэффициентов, который будет продемонстрирован ниже, на частном примере.

Имеют место формулы

,

().

Интеграл можно найти, выделяя полный квадрат в знаменателе: , с последующей заменой .

Интеграл сводится к интегралу следующего вида:

.

1°. ْ

Составим комбинацию простых дробей, в знаменателях которых присутствуют все возможные делители знаменателя исходной функции:

После приведения этих пяти дробей к общему знаменателю, получим:

Приравняв числители полученной дроби и дроби , получим:

Необходимо, чтобы это соотношение было выполнено при всех значениях . Подставим в него пять (по числу неизвестных коэффициентов , , , , ) различных значений . Получим систему линейных уравнений на , , , , :

Можно показать, что у такой системы всегда существует единственное решение. Решив эту систему (например, методом Гаусса), получим требуемое представление , , , , :

Окончательно,

 

6) Функции, содержащие иррациональности, интегрируются в том случае, когда интеграл от них сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью какой-либо замены переменной. Приведем несколько примеров интегрируемых иррациональных функций.

) Интегралы вида

где - рациональная функция, а , ¼, - натуральные числа. Метод интегрирования - замена , где - наименьшее общее кратное чисел , ¼, .

) Интегралы вида сводятся к табличным при помощи замены .

) Интегралы , где , и - рациональные числа. Интегралы такого вида сводятся к элементарным только при следующих соотношениях параметров , и .

Если целое, то следует использовать замену , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей , .

Пусть теперь - наименьшее общее кратное знаменателей дробей , . Если - целое, то интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью замены .

Если целое, то интегрирование осуществляется при помощи замены .

) Подстановки Эйлера. Они применяются к интегралам вида , где рациональная функция. Имеется три вида подстановок Эйлера.

;

;

,

где , -корни многочлена .

Тригонометрические замены. Для интегралов используется замена . Для интегралов используется замена . Для интегралов используется замена . В каждом из трех случаев получается интеграл от рациональной функции, зависящей от и .

7) Интегрирование выражений вида , где – рациональная функция от . В разных случаях используются замены , , , . Если ни одна из этих замен не позволяет получить интеграл от рациональной функции, то используется универсальная тригонометрическая подстановка . Тогда , , , и подынтегральное выражение сведется к рациональной дроби.

В задачах 3.5.а-3.5.ж. требуется вычислить неопределенные интегралы.

Задача 3.5.а. .

Решение. .

Задача 3.5.б. .

Решение.

1)

2) .

Ответ: .

Задача 3.5.в. .

Решение. = = = = = = = = = .

Задача 3.5.г. .

Решение. Интегрируем по частям: = .

Интегралы вида находятся с помощью подстановки .

Задача 3.5.д. .

Решение. = = = = = = = .

Задача 3.5.е. .

Решение. Разложим подынтегральную функцию в сумму простых дробей. Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

,

,

,

откуда

Û Û

Следовательно,

1) ;

2)

= .

Ответ: .

Интегралы вида для нечетного можно находить при помощи подстановки .

Задача 3.5.е. .

Решение. .

Разложим подынтегральное выражение в сумму простых дробей:

,

,

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях тождества, получим систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными A, B, C, D:

Û Û

Откуда

Окончательно, получим . Следовательно, разложение дроби в сумму простейших имеет вид:

.

В результате, получаем

= = = .

Задача 3.5.ж. .

Решение. Используем универсальную тригонометрическую подстановку.

= = = = = .