Задача 2.4. Исследовать функцию 
с помощью производных первого и второго порядка и построить её график.
Решение. Исследование функции производится по следующей схеме.
1. Общие особенности функции: область определения, непрерывность и точки разрыва, вертикальные асимптоты, четность – нечетность, периодичность.
В нашем случае область определения функции
;
прямая 
– вертикальная асимптота, функция общего вида.
2. Нули функции и интервалы знакопостоянства.
Применим метод интервалов для исследования знаков функции.
- + - +
7 10 20 
3. Возрастание – убывание функции, точки экстремума. Этот пункт связан с исследованием знаков первой производной функции. Имеем:
Корни квадратного многочлена 
равны
Знаки 
определим, используя метод интервалов.
+ - - +
8.6 20 31.4
max min 
Точки 
и 
являются точками локального максимума и минимума соответственно.
4. Выпуклость – вогнутость функции, точки перегиба. Данный пункт связан с исследованием второй производной функции. Если 
, то функция выпукла вверх (как функция 
), а если 
, то функция выпукла вниз (как функция 
).
+ 
20 
5. Наклонные асимптоты функции.
Наклонная асимптота функции (если она существует) есть такая прямая 
на плоскости 
, к которой “прижимается” график функции 
при 
, то есть 
. Коэффициенты 
и 
определяются из соотношений
, 
.
В нашем случае
Следовательно, прямая 
является наклонной асимптотой функции.
 |
3. Функции нескольких переменных.
Интегралы.
Частной производной функции 
по переменной 
в точке 
называется предел
.
Аналогично определяются частные производные по 
и по 
. При дифференцировании по одной переменной все остальные считаются постоянными.
Например, если 
, то
, 
, 
.
Градиентом функции называется вектор
Производной функции по направлению вектора 
, где 
, называется число
.
Теорема о полном дифференциале гласит, что
.
Поэтому
.
Если 
, то для взятия производной по направлению нужно предварительно нормировать вектор 
, поделив его на длину 
.
Касательная к кривой, заданной неявным уравнением 
, в точке 
определяется уравнением
.
Нормаль к той же кривой определяется уравнением
.
Задача 3.1. Найти градиент функции 
в точке (1,5).
Решение. Имеем:
Подставляя 1 вместо 
и 5 вместо , получим
.
Аналогично,
откуда 
. Окончательно,
.
Задача 3.2. Вычислить производную функции 
по направлению вектора 
в точке (1,1).
Решение. Длина вектора 
равна 
, поэтому перейдем к вектору 
, имеющему то же направление, что и вектор , но единичную длину. Далее,
, 
.
В точке имеем 
. По определению производной по направлению получаем:
.
Задача 3.3. Найти производные 
функции 
.
Решение. Имеем:
,
.
По определению вторых частных производных, имеем:
Задача 3.4. Для кривой, задаваемой уравнением 
, написать уравнения касательной и нормали в точке (1,1).
Решение. Подставим в уравнение касательной и нормали значения частных производных функции 
в точке 
.
, 
.
Уравнение касательной имеет вид:
Û 
.
Уравнение нормали имеет вид
Û 
.
Неопределенные интегралы.
Операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования.
Определение 1. Функция 
называется первообразной для функции , если 
.
У функции имеется бесконечное множество первообразных, при этом все они отличаются друг от друга на константу: если 
и 
- две первообразные для функции , то 
, где С =const.
Определение 2. Множество всех первообразных для функции называется неопределенным интегралом от и обозначается символом 
.
Если - любая первообразная для , то 
, где С = const.