Первый замечательный предел.

Можно показать, что справедливо соотношение, называемое первым замечательным пределом:

Рассмотрим на примере, как можно использовать данную формулу для разрешения особенностей тригонометрических функций в конечных точках.

Задача 2.1.в. Вычислить

Решение. Убедимся, что мы имеем дело с неопределенностью вида . При получаем:

Прежде всего, сделаем замену переменной , так, чтобы новая переменная стремилась к 0, когда :

Используя формулу преобразования суммы синусов в произведение и формулу для косинуса двойного угла, получаем

Отсюда

Пусть сначала , тогда . Чтобы свести полученное выражение к формуле , поделим и умножим на , а на :

Заменяя пределы дробей и на 1, получаем

При имеем , и предел отличается только знаком:

Второй замечательный предел.

Справедлива формула

Задача 2.1.г.Вычислить.

Решение. Выделим в основании показательной функции выражение вида , где при . Для этого прибавим и вычтем 1 из :

Получаем:

Используя формулу второго замечательного предела, заменим выражение в пределе при на :

Осталось найти предел показателя степени:

Ответ:

Комбинация первого и второго замечательных пределов.

Задача 2.1.д.Вычислить.

Решение. Убедимся сначала, что мы имеем дело с неопределенностью вида . Предел основания степени равен . Предел показателя степени равен . Неопределенность вида указывает, что для ее раскрытия следует воспользоваться вторым замечательным пределом. Выделим структуру второго замечательного предела в нашей формуле: