Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ќпределенные интегралы. ѕлощади плоских фигур.




ќпределенный интеграл (–имана) позвол€ет распространить формулу площади пр€моугольника на площадь более или менее произвольной плоской геометрической фигуры. ¬ основе пон€ти€ определенного интеграла лежит так называема€ интегральна€ сумма, определ€ема€ следующим образом. ѕусть задана функци€ , определенна€ на отрезке . –азобъем отрезок произвольным образом на частей , ¼, (, ). ¬ частности, можно разбить на равных частей, тогда длина каждого отрезка разбиени€ будет равна . ¬ общем случае, пусть

.

¬озьмем, оп€ть же произвольным образом, внутри каждого из отрезков по точке . »нтегральной суммой функции на по разбиению называетс€ число

 

 

 

 

≈сли , то интегральна€ сумма есть площадь фигуры, состо€щей из пр€моугольников со сторонами и , . »нтуитивно €сно, что, чем меньше максимальна€ длина отрезков разбиени€ , тем точнее эта фигура из пр€моугольников приближает криволинейную трапецию с основани€ми , и Убоковыми сторонамиФ , . »нтеграл от функции по отрезку есть предел по всевозможным разбиени€м , когда .

ѕредел понимаетс€ здесь в обычном смысле: число называетс€ определенным интегралом от по (обозначаетс€ как ), если дл€ произвольного найдетс€ такое , что, как только разбиение отрезка удовлетвор€ет условию , интегральна€ сумма , отвечающа€ этому разбиению, будет отличатьс€ от не больше, чем на : .

√еометрический смысл определенного интеграла.

«начение (с точностью до знака) есть площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиком функции , осью абсцисс и пр€мыми , . ¬ частности, если на отрезке заданы две функции и , причем , то площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиками этих двух функций, равна .

—в€зь между определенным и неопределенным интегралом заключена в формуле Ќьютона-Ћейбница:

,

или, в другой записи, , где - произвольна€ первообразна€ функции .

—праведливы следующие две формулы Ц замена переменной интегрировани€ и интегрирование по част€м.

«амена переменной.

ѕусть - произвольна€ непрерывно дифференцируема€ функци€, определенна€ на некотором отрезке , причем , , и при любом . “огда

»нтегрирование по част€м.

.

«адача 3.6.а. Ќайти площадь фигуры, ограниченной лини€ми , .

–ешение. «аметим, что первое уравнение €вл€етс€ уравнением параболы, ветви которой направлены вправо. ¬торое уравнение определ€ет пр€мую линию.

Ќайдем пересечени€ графиков функций и сделаем рисунок. ƒл€ этого решим систему

Û

откуда , что дает и .

 

 

3

 

0

 

 

»з рисунка видно, что фигура состоит из двух частей. ѕри получаем сегмент параболы . ѕри криволинейна€ трапеци€ заключена между пр€мой и параболой . —ледовательно, площадь фигуры равна сумме двух следующих двух интегралов:

ƒл€ первого интеграла получаем:

ƒл€ второго интеграла получаем:

“аким образом, . ќтвет: .

 

«адача 3.6.б. Ќайти площадь фигуры, ограниченной лини€ми , , .

–ешение. Ќа отрезке выполн€етс€ неравенство . ѕоэтому найдем площадь, использу€ формулу .

= .

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-24; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 443 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

80% успеха - это по€витьс€ в нужном месте в нужное врем€. © ¬уди јллен
==> читать все изречени€...

1964 - | 1812 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.019 с.