Если определитель матрицы 
системы линейных уравнений равен нулю (или число уравнений системы меньше числа неизвестных), то либо имеется бесконечно много решений, либо система противоречива, и решений нет вовсе. Разберем на примере, как можно описать все решения вырожденной системы уравнений, используя метод Гаусса последовательного исключения неизвестных.
Задача 1.2. Решить систему уравнений
Решение. С помощью первого уравнения исключим переменную 
из второго и третьего уравнений системы.
Получаем:
Исключим теперь с помощью второго уравнения системы переменную 
из третьего уравнения.
В результате третье уравнение системы превращается в тождество 
, и остается только два уравнения:
Мы привели систему к верхнетреугольному виду, однако для двух неизвестных (а именно, для 
и для 
) не хватило “своего” уравнения для преобразования исключения. В этом случае переменные , объявляются свободными (то есть их значения могут выбираться произвольным образом), а значения остальных переменных (они называются базисными) могут быть выражены через значения свободных переменных.
Отсюда:
Ответ: 
, где 
- произвольные параметры.
Геометрия на плоскости.
Каноническое уравнение прямой на плоскости имеет вид
,
где 
¾ произвольная точка на прямой, а 
– направляющий вектор. Если уравнение прямой записано в виде
,
то 
– направляющий вектор, а 
- вектор нормали (направленный по перпендикуляру к прямой). Нам потребуется еще формула деления отрезка пополам: если задан отрезок 
, и координаты точек 
, 
известны, то серединой отрезка является точка
.
Задача 1.3. В треугольнике ABC с вершиной A (10,7) известны уравнения высоты BB 1:
2 x - y+ 37=0
и медианы CC 1:
8 x+ 11 y -162=0.
Написать уравнения всех сторон треугольника ABC.
C
B 1
A (10,7)
C 1 B
Решение. Проще всего написать уравнение стороны 
, поскольку мы знаем точку 
, через которую проходит прямая , и знаем направляющий вектор 
(вектор нормали к высоте 
). Следовательно, уравнение имеет вид
Чтобы написать уравнение прямой 
, найдем сначала координаты точки 
. Обозначим эти координаты через 
. С одной стороны, точка лежит на прямой , и, следовательно,
С другой стороны, поскольку 
является серединой отрезка , то 
. Но лежит на прямой 
, поэтому
Решая совместно систему уравнений
получаем
Итак, точка имеет координаты 
, направляющий вектор прямой равен 
. Уравнение прямой имеет вид
Прежде чем написать уравнение прямой 
, найдем координаты точки 
. Она лежит на пересечении прямых и , поэтому ее координаты являются решением системы уравнений
За направляющий вектор прямой можно взять вектор
,
а уравнение запишется в виде
Аналитическая геометрия в пространстве.
Нам необходимо знать следующие три операции над векторами в трехмерном пространстве.
1) Скалярное произведение векторов:
где 
, 
– длины векторов 
и 
, а 
- угол между ними. В координатах: если 
, 
, то
2) Векторное произведение векторов: 
есть вектор,
а) направленный по нормали к плоскости, натянутой на вектора , ;
б) имеющий длину, равную площади параллелограмма 
, построенного на векторах , ;
в) и, наконец, направление вектора должно быть таким, что вращение от вектора к вектору внутри параллелограмма будет осуществляться против часовой стрелки, если глядеть с конца стрелки вектора .
В координатах:
.
3) Смешанное произведение векторов:
В координатах:
Геометрический смысл смешанного произведения векторов состоит в том, что 
есть объем параллелепипеда, построенного на векторах 
Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид:
где 
- координаты произвольной точки прямой, а 
есть произвольный направляющий вектор.
Имеется два типа уравнения плоскости в пространстве
а) 
.
Здесь 
- вектор нормали к плоскости, а - координаты произвольной точки плоскости.
б) 
,
где 
, 
- любые два неколлинеарных вектора, параллельных плоскости, а , по-прежнему, произвольная точка плоскости.
Задача 1.4. В пирамиде ABCD с вершинами A (10,7,1), B (7,10,0), C (1,10,7 ), D (7,1,17) найти:
а) угол между ребрами AB и AD;
б) угол между ребром AD и плоскостью ABC;
в) площадь основания ABC;
г) объем пирамиды;
д) расстояние от вершины D до плоскости ABC.
Написать уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость ABC, и уравнение плоскости ABC.
Решение. а). Найдем векторы 
и 
в координатах. Напомним, что для этого следует из координат конца вектора вычесть координаты начала:
,
.
Чтобы найти угол между векторами , , вычислим скалярное произведение векторов и в координатах, затем найдем длины векторов и , и подставим полученные значения в формулу скалярного произведения. Получаем:
,
,
.
Подставляем в формулу скалярного произведения:
,
откуда 
, 
.
б) Угол между ребром AD и плоскостью ABC равен 
, где - угол между ребром AD и нормалью к плоскости ABC. Начнем поэтому с вычисления нормали к плоскости ABC. В качестве вектора нормали можно взять векторное произведение векторов и 
(поскольку 
). Вектор в координатах имеет вид
.
Следовательно,
Обозначим для краткости 
. Теперь, как и в пункте а) вычислим скалярное произведение векторов и 
, и с его помощью определим угол между векторами и .
,
,
,
.
Следовательно, угол между ребром AD и плоскостью ABC равен 
.
в) Площадь основания ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . По второму свойству векторного произведения, длина вектора 
как раз и равна площади этого параллелограмма. Следовательно,
.
г) Объем пирамиды равен одной шестой от объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Объем параллелепипеда можно вычислить как модуль смешанного произведения 
. Имеем:
.
Заметим, однако, что нам нет необходимости заново вычислять этот определитель, поскольку он равен скалярному произведению векторов и , а эта величина была найдена выше, в пункте б). Следовательно,
.
д) Расстояние от вершины D до плоскости ABС можно найти, используя формулу объема пирамиды
,
поскольку все величины в ней, кроме высоты 
(которая и равна расстоянию от точки D до плоскости ABС), уже известны. Получаем:
.
В заключение, напишем уравнение высоты, опущенной из вершины D на плоскость ABC, и уравнение плоскости ABC.
Направляющий вектор высоты равен 
(21,27, 18). Высота проходит через точку D (7, -1,17). Следовательно, каноническое уравнение высоты имеет вид
.
Чтобы написать уравнение плоскости 
, воспользуемся уравнением . В качестве вектора 
вновь можно использовать вектор нормали , а в качестве – точку A (10,7,1). Получаем:
Задача полностью решена.
Предел и производная.
