Примеры дифференцирования сложной функции.

1^°)

2^°)

3^°)

4^°)

5^°)

6^°)

В задачах 2.2.а-2.2.з для функции требуется найти производную .

Задача 2.2.а .

Задача 2.2.б .

Задача 2.2.в .

Задача 2.2.г .

Задача 2.2.д .

Решение. При дифференцировании этой функции удобно воспользоваться приемом, который называется логарифмическим дифференцированием. Прежде чем вычислять производную, найдем логарифм функции :

Теперь продифференцируем правую и левую часть полученной формулы, а затем приравняем соответствующие производные. Имеем:

;

Отсюда,

Задача 2.2.е .

Решение. Здесь также удобно воспользоваться приемом логарифмического дифференцирования.

;

откуда следует, что

Задача 2.2.ж , .

Решение. Функция задана в параметрической форме, поэтому следует воспользоваться формулой для параметрической производной:

Получаем:

откуда

Задача 2.2.з .

Решение. Функция задана неявным уравнением. Чтобы найти производную , продифференцируем тождество . Получаем:

Перегруппируем слагаемые, выделяя члены, содержащие производную :

откуда следует, что

Непрерывность и типы разрыва функций.

Имеется три типа разрывов функций.

а) Устранимый разрыв, когда существует предел функции в точке , но он не равен значению функции в предельной точке

б) Разрыв первого рода, когда в точке существует предел слева и предел справа, однако они не равны между собой

в) Все остальные виды разрыва называются разрывами второго рода.

Задачи 2.3.а-2.3. б. Найти точки разрыва функций

и определить тип разрыва. Сделать схематический чертеж.

Решение. Функция может иметь разрыв в точках , . В точке в пределе имеет место соотношение , то есть функция становится неограниченной в окрестности . Поскольку при , и при , то функция стремится к при , и к при .