Основные теоретические сведения. Линейные модели обычно применяются для анализа простых взаимосвязей между экономическими показателями

Линейные модели обычно применяются для анализа простых взаимосвязей между экономическими показателями. Однако в ряде случаев экономические соотношения имеют более сложный характер и их представление в виде линейной зависимости не всегда возможно, а часто и не корректно.

Однако часто нелинейные связи между объясняющими и объясняемой переменной можно с помощью определенных преобразований свести к линейным.

К таким нелинейным связям в частности относятся:

1) Нелинейные регрессии относительно объясняющих переменных Х_i, но линейные по оцениваемым параметрам _i .

а) Y = ₀ + ₁ Х + ₂ Х ² + …+ _m Х^m + - степенной полином.

б) Y = ₀ + ₁ + - равносторонняя гипербола.

2) Регрессии нелинейные по оцениваемым параметрам _i .

а) Y = А - показательная функция.

б) Y = A - степенная функция.

в) Y = - экспоненциальная функция.

Нелинейности первого вида приводятся к линейным регрессиям с помощью преобразования объясняющих переменных (введением новых переменных).

Примеры.

Y = ₀ + ₁ Х + ₂ Х ² + … Y = ₀ + ₁ Х ₁^* + ₂ Х ₂^* + …+ _m Х^m + , (3.1)

где Х ₁^* = Х; Х ₂^* = Х ², …, Х _m^* = Х ^m.

 

Y = ₀ + ₁ + Y = ₀ + ₁ Х ^* + , (3.2)

где Х ^* = .

 

Оценка коэффициентов осуществляется по уравнению (3.1) с использованием метода МНК оценки для множественной линейной регрессии.

Выражение (3.2) соответствует парной линейной регрессии.

Нелинейности второго вида приводятся к линейным с помощью операции логарифмирования.

Пример.

В качестве примера рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа

Y = A , (3.3)

где Y – объем производства; К – затраты капитала; L – затраты труда; - случайное возмущение; ₁, ₂ – коэффициенты частной эластичности объема производства Y по затратам капитала К и труда L; A – постоянный коэффициент.

Логарифмируя обе части уравнения (3.3) для i – го наблюдения, получим

ln y_i = ln A + ₁ ln K_i + ₂ ln L_i + ln _i . (3.4)

Переобозначив переменные в (3.4)

y_i ^* = ln y_i ; Х _{1 i} = ln K_i ; Х _{2 i} = ln L_i ; ₀ = ln A; = ln _i,

получим

y_i ^* = ₀ + ₁ Х _{1 i} + ₂ Х _{2 i} + (3.5)

Для выборки объема n в матричной форме уравнение (3.5) запишется в виде

, (3.6)

где = (y₁ ^* , y₂ ^* ,…, y_n ^* ) ^T ; В = ( ₀, ₁ , ₂ ) ^Т ;

.

Таким образом, алгоритм оценки параметров нелинейной регрессии состоит из предварительного преобразования нелинейной модели к линейной и оценки ее параметров обычным образом с использованием МНК. После чего осуществляются обратные преобразования и возврат к исходному нелинейному уравнению.

Для нелинейной регрессии значимость уравнения в целом характеризуется также, как и в линейной регрессии с помощью коэффициента детерминации :

= 1 – (1 – R ²) , (3.7)

 

где R ² = 1 - . (3.8)

В (3.8) определяется по исходному нелинейному уравнению регрессии.

Примечание. Значимость коэффициентов регрессии осуществляется по линеаризованному уравнению. Поэтому, если в линеаризованном уравнении присутствует не b_i, а ln b_i, тогда Т -статистика этого параметра будет:

Т_bi = ,

и характеризует значимость не самого коэффициента b_i, а его логарифма.

При описании статистической зависимости между экономическими переменными различными функциональными соотношениями выбор наилучшей модели осуществляется следующим образом. Выбираются уравнения с наибольшими значениями . Если таких уравнений несколько (примерно с одинаковыми значениями ), то выбирается модель, у которой наименьшая или наименьшая остаточная дисперсия

.