Основные теоретические сведения. На любой экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов

На любой экономический показатель чаще всего оказывает влияние не один, а несколько факторов. Обозначим через Х ₁, Х ₂,…, Х _m объясняющие переменные, влияющие на одну зависимую переменную Y. В этом случае возникает задача установления формы зависимости между переменными и определения функции регрессии. Тогда вместо парной регрессии рассматривается множественная регрессия.

Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими объясняющими (независимыми) переменными:

Y = f (х ₁, х ₂, …, х _m), (2.1)

т.е. условное математическое ожидание имеет вид (2.1):

М (Y / х ₁, х ₂, …, х _m) = f (х ₁, х ₂, …, х _m). (2.2)

Если между переменными наблюдается линейная зависимость, тогда модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:

Y = ₀ + ₁ Х ₁ + ₂ Х ₂ + …+ _m Х _m + , (2.3)

или для индивидуальных наблюдений i, i = 1,2,…, n:

y_i = ₀ + ₁ x_{i 1} + ₂ x_{i 2} + …+ _m x_{i m} + _i, (2.4)

= ( ₀, ₁, ₂, …, _m)^т – вектор параметров, подлежащий определению.

Как и в случае парной регрессии по выборочным данным мы можем получить только эмпирическое уравнение модели:

Y = b ₀ + b ₁ Х ₁ + b ₂ Х ₂ + …+ b_m Х_m + e. (2.5)

Или для индивидуальных наблюдений:

у_i = b ₀ + b ₁ x_{i 1} + b ₂ x_{i 2} + …+ b_m x_im + e_i. (2.5)

Здесь В = (b ₀, b ₁, b ₂, …, b _m)^т - оценка вектора .

Для определения оценок b ₀, b ₁, b ₂, …, b _m воспользуемся матричным МНК. Представим данные наблюдений и коэффициенты в матричном виде:

 

, , , .

 

Тогда уравнение множественной линейной регрессии второго рода запишем в виде: = Х В. (2.6)

Остаточная сумма квадратов в данном случае равна

. (2.7)

Результатом минимизации (2.7) является вектор:

B = (X^T X)^-1 X^T Y. (2.8)

 

Оценки вектора В (2.8) являются несмещенными и эффективными, если выполняются предпосылки множественного регрессионного анализа [1].

Вычислим дисперсии коэффициентов регрессии b ₀, b ₁, b ₂, …, b _m, которые используются для оценки их точности, определения доверительных интервалов для теоретических коэффициентов ₀, ₁, ₂, …, _m и проверки соответствующих гипотез. Вариации оценок параметров будут определять и точность уравнения множественной регрессии. Для измерения их в многомерном регрессионном анализе используют ковариационную матрицу вектора оценок

.

Дисперсии коэффициентов вычисляются по формулам [1]:

 

, (2.9)

 

В (2.9) S ² – дисперсия регрессии, вычисляется по формуле:

 

S ² = ( (е_i ²))/(n – m – 1), (2.10)

- j -й (j = 0, 1,…, m) диагональный элемент матрицы

Z ^-1 = (X^T X)^-1. (2.11)

 

Оценка качества уравнения множественной линейной регрессии 2-го рода определяется следующими характеристиками:

- доверительными интервалами для коэффициентов регрессии и их статистической значимостью;

- оценкой коэффициента детерминации и его статистической значимостью;

- выполнением предпосылок МНК;

- прогнозом значений зависимой переменной и его параметрами

1. Проверка статистической значимости коэффициентов регрессии.